6.1菱形的性质与判定 课堂随练 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

第六章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 列清单划重点 知识点① 菱形的定义 一组 相等的 四边形叫做菱形. 知识点②菱形的性质 1.一般性质：菱形具有 的所有性质. 2.特殊性质： (1)定理1：菱形的四条边 . 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是 , B< ∴AB=BC=CD=DA. (2)定理2：菱形的对角线 . 几何语言：如图所示， ∵四边形 ABCD 是 , ∴AC⊥BD. 3.对称性：菱形既是 图形，对称中心是 的交点；又是 图形，有 条对称轴，分别是两条 所在的直线. 明考点 识方法 考点① 菱形的定义 典例 1 如图所示,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AD∥BC,欲使其变成菱形,可以添加条件 ( ) A. AB=CD B. AD=BC C. AC=BD D. AB=BC 思路导析由 AB ∥DC,AD ∥BC 知四边形ABCD 是平行四边形，根据定义只要有一组邻边相等就变成菱形. 变式1依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( ) 变式2 如图，在平行四边形 ABCD 中,AB=4,BC=6,将线段AB 水平向右平移a(0<a<6)个单位长度得到线段 EF，若四边形ECDF 为菱形,则a 的值为 . 考点② 菱形边的性质 典例 2如图,在菱形 ABCD中,∠D=60°,AC=6,则菱形 ABCD 的周长是( ) A.24 B.30 C. D. 思路导析先根据菱形的性质证明AB=BC=CD=AD，再根据已知条件证明△ABC 是等边三角形，求出AB=BC=AC=6,即可求出菱形周长. 变式 如图，菱形ABCD 中,点 E,F 分别是AB,BC 边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE. 考点③ 菱形角的性质 典例 3 如图，在菱形 ABCD 中,M,N分别在边 AB,CD上,且 AM = CN,MN 与 AC 交于点 O,连接 BO.若∠DAC=25°,则∠OBC 的度数( ) A.25° B.55° C.65° D.75° 思路导析运用菱形的性质和等腰三角形的性质来解决问题. 变式如图，在菱形ABCD 中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD 于 点 F.若∠B =40°,则∠EAF 的度数为 ( ) A.50° B.42° C.40° D.30° 考点④ 菱形对角线的性质 典例 4如图,在菱形 ABCD中,对角线AC 与BD 相交于点 F,AD = 10,BD=16,则平行线 CD与BA 之间的距离为（ ） A.2.4 B.4.8 C.6 D.9.6 思路导析先利用菱形的性质及勾股定理求得菱形的对角线长，再利用面积法求解即可. 变式 如图，菱形的对角线 AC,BD 相交于点O,E 是 CD 的中点.若 BC=4,则 OE的长为( ) A.4 B.3 C.2 D.2 第2课时菱形的判定 列清单划重点 知识点 菱形的判定 1.定义法：有一组 相等的平行四边形是菱形. 几何语言：如图所示，∵四边形 ABCD 是平行四边形且AB=BC,∴平行四边形 ABCD 是菱形. 2.定理1：对角线 的平行四边形是菱形. 几何语言：如图所示，∵四边形 ABCD 是平行四边形且 ，∴平行四边形 ABCD 是菱形. 3.定理2：四条边都 的四边形是菱形. 几何语言：如图所示， ∵ , ∴四边形 ABCD 是菱形. 规律总结 判定菱形的基本思路： (1)一般四边形四条边都相等→菱形. (2) 明考点识方法 考点① 根据菱形的定义进行判定 典例 1如图，在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点O,点 E,F 在BD 上,BE=EF=FD,且AC平分∠EAF,连接CE,CF. (1)求证:四边形 AECF 是菱形; (2)若△ABC 的周长为 36,BD=24,则四边形 AECF 的面积为 . 思路导析(1)由平行四边形的性质可得 OA=OC,OB=OD,又根据BE=FD,可得OE=OF,可证四边形 AECF 是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证AE=CE，即可得结论；(2)由菱形的性质可得AC⊥EF,AO=CO,EO=FO，可得AB=BC，由勾股定理可求AO 的长，由菱形的面积公式即可求解. 变式 如图,在△ABC中,AB=BC,点 D,E 分别是边AB,AC 的中点,连接 DE,过点 A 作AF∥DE,连接CF,EF,且 EF∥AD.求证:四边形 ADEF是菱形. 考点② 根据菱形的边进行判定 典例2如图,在▱ABCD中,E 是 AD 边上一点,将△CDE 沿着CE 翻折至△CFE.如图,当点 F 落在边 BC 上时,求证：四边形CDEF 为菱形. 思路导析根据四条边相等的四边形是菱形进行判定即可. 变式 如图,△ABC 为等腰三角形，如果把它沿底边 BC 翻折后，得到△DBC,那么四边形 ABDC 为 ( ) A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.一般平行四边形 考点③ 根据菱形的对角线进行判定 典例3 如图，在平行四边形 ABCD 中，分别以A，C为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于 M，N两点，作直线MN,分别与AD,BC,AC 相交于点E,F,O.连接AF,CE. (1)根据作图过程，判断 EF 与AC 的位置关系是 ； (2)求证:四边形 AFCE 是菱形. 思路导析(1)由作图可知直接得出结论；(2)证明△AOE≌△COF(AAS),得出AE=CF,即可推出结论. 变式已知：如图，在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是边AB,CD 的中点,AF,CE 与对角线 BD 分别相交于点G,H,连接EG,FH. (1)求证:AG=CH; (2)当 AD⊥BD 时,求证:四边形 EHFG是菱形. 第3课时菱形的性质和判定的应用 列清单划重点 知识点① 菱形的面积 1. S菱形ABCD=AB· = AC· . 2. S菱形ABCD= S△ABC= S△AOB. 知识点② 菱形的性质和判定 1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形. 2.作高构造直角三角形. 明考点识方法 考点① 菱形的面积及应用 典例1 如图,在菱形 ABCD中,对角线 AC,BD 交于点O,AB=5,AC=8.则菱形ABCD 的面积是 . 思路导析由菱形的性质推出 由勾股定理求出 OB,得到 BD 的长,从而得到菱形 ABCD 的面积. 变式1中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.小丰家有一个菱形中国结装饰如图1 所示，其示意图如图2所示,测得 AC=16 cm,BD=10 cm,则菱形 ABCD 的面积为 ( ) A. B. C. D. 变式2在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于点 E.若 AB=7,AE=5,则菱形 ABCD 的面积等于 . 考点② 菱形性质与判定的综合应用 典例 2 如图，在平行四边形 ABCD 中,点F 在边 AD 上,AB=AF,连接 BF,点 O为BF 的中点,AO 的延长线交边 BC 于点E,连接 EF. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若平行四边形 ABCD 的周长为 24,CE=2,∠BAD=120°,求 AE 的长. 思路导析(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；(2)证明△ABE 是等边三角形，求出AB 即可得到答案. 变式1 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形ABCD 中,若 AC =6,BD=8,则点 A 到BC 的距离为 . 变式2 如图，在平行四边形 ABCD 中,FA⊥AB,交 CD 于点E,交 BC 的延长线于点 F,且 CF=BC,连接AC,DF. (1)求证:四边形 ACFD 是菱形; (2)若AB=14,DF=25,求四边形 ACFD的面积. 第1课时 菱形的性质 【列清单·划重点】 知识点1 邻边 平行 知识点2 1.平行四边形 2.(1)都相等 菱形(2)互相垂直 菱形 3.中心对称 对角线 轴对称 2 对角线 【明考点·识方法】 典例1 D 变式1 B 变式2 2 典例2 A 变式 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, ∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF, ∴AE=CF, 在△DAE 和△DCF 中, ∴△DAE≌△DCF(SAS),∴DE=DF, ∴∠DEF=∠DFE. 典例3 C 变式C 典例4D变 式D 第2课时菱形的判定 【列清单·划重点】 知识点 1.邻边 2.互相垂直 AC⊥BD 3.相等 AB=BC=CD=DA 【明考点·识方法】 典例1 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD, 又∵BE=FD,∴OB-BE=OD-FD. ∴OE=OF, ∴四边形AECF 是平行四边形， ∴AF∥EC,∴∠FAC=∠ECA, 又∵AC平分∠EAF,∴∠EAC=∠FAC, ∴∠EAC=∠ECA,∴AE=CE, ∴四边形 AECF 是菱形; (2)∵四边形 AECF 是菱形, ∴AC⊥EF,AO=CO,EO=FO, ∴AB=BC, ∵四边形ABCD 是平行四边形,BD=24, ∴BO=DO=12, ∵△ABC 的周长为36,∴AB+AO=18, ∴AO=5,∴AC=10, ∵BE=EF=FD,∴EF=8, ∴ 四 边 形 AECF 的 面 积 故答案为：40. 变式 证明:∵AF∥DE,EF∥AD, ∴四边形 ADEF 是平行四边形， ∵D,E 分别是AB,AC 的中点, ∵AB=BC,∴AD=DE, ∴平行四边形ADEF 是菱形. 典例2 证明:如图,由翻折得 FE=DE,FC=DC,∠FCE=∠DCE, ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC∥AD, ∴∠FCE=∠DEC,∴∠DCE=∠DEC, ∴DE=DC, ∴FE=DE=FC=DC, ∴四边形CDEF 是菱形. 变式 A 典例3 解:(1)由作图可知,EF 垂直平分AC,故答案为：EF 垂直平分AC； (2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC, ∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC, ∵EF 垂直平分AC, ∴OA=OC, ∴△AOE≌△COF(AAS), ∴AE=CF, ∴四边形AFCE 是平行四边形， ∵EF 垂直平分AC, ∴四边形AFCE 是菱形. 变式 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD, ∵点 E,F 分别是边AB,CD 的中点, ∴AE=CF,且AE∥CF, ∴四边形AECF 是平行四边形， ∴AF=CE,AF∥CE, ∴∠AFD=∠FCH, ∵AB∥CD, ∴∠BEC=∠FCE,∠EBH=∠FDG, ∴∠DFG=∠BEH, ∴BE=DF, ∴△BEH≌△DFG(ASA), ∴EH=FG,∴AG=CH; (2)连接EF, 由(1)知,EH=FG,EH∥FG, ∴四边形EHFG 是平行四边形， ∵点 E,F 分别是边AB,CD 的中点, ∴AE=DF, ∵AE∥DF, ∴四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD∥EF, ∵AD⊥BD,∴EF⊥BD, ∴四边形 EHFG 是菱形. 第3课时 菱形的性质和判定的应用 【列清单·划重点】 知识点1 1. DH BD 2.2 4 【明考点·识方法】 典例1 24 变式1 B 变式2 35 典例2 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC, ∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA, ∵O为BF 的中点, ∴BO=FO, 在△AOF 和△EOB 中, ∴△AOF≌△EOB(AAS), ∴BE=FA, ∴四边形ABEF 是平行四边形， 又∵AB=AF, ∴平行四边形 ABEF 是菱形； (2)∵AD=BC,AF=BE, ∴DF=CE=2, ∵平行四边形 ABCD 的周长为24, ∴菱形ABEF 的周长为24-4=20, ∴AB=20÷4=5. ∵∠BAD=120°, 又∵AB=BE, ∴△ABE 是等边三角形, ∴AE=AB=5. 变式1245 变式2 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC. ∵点 F 在BC 的延长线上,且CF=BC, ∴AD∥CF,AD=CF, ∴四边形ACFD 是平行四边形. ∵CD∥AB,FA⊥AB, ∴FA⊥CD. ∴四边形ACFD 是菱形. (2)∵在平行四边形ABCD 中,AB=14, ∴CD=AB=14, ∵四边形 ACFD 是菱形, ∵∠DEF=90°,DF=25, ∴FA=2FE=48, ∴四边形 ACFD 的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $