精品解析：内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试题

内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试题 2026.05 （人教A版选择性必修二第五章､人教A版选择性必修三第六章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答题选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 函数在处的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 2. 从5名男生和3名女生中选出2名男生1名女生，组成一个学习小组，不同的选法共有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 45种 D. 90种 3. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 4. 若函数在处取得极值，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（ ） A. 15种 B. 18种 C. 21种 D. 24种 6. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 7. 已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于排列组合，下列说法正确的是（ ） A. 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 B. 组合数满足 C. D. 有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有480种不同的排法 11. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. . C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共__________种. 14. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号） ①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 ②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想 ③第9条斜线上各数之和为55 ④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某校为弘扬传统文化，开设了“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周. （1）若课程“乐”“数”排在相邻两周，求不同的安排方案种数； （2）若课程“礼”不排在第一周，“数”不排在最后一周，求不同的安排方案种数； 16. 记函数的导函数为，已知，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域． 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 18. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值； （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 19. 已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，试求函数在上的最值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年高二第二学期期中学业质量检测数学试题 2026.05 （人教A版选择性必修二第五章､人教A版选择性必修三第六章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答题选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 函数在处的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【详解】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 2. 从5名男生和3名女生中选出2名男生1名女生，组成一个学习小组，不同的选法共有（ ） A. 15种 B. 30种 C. 45种 D. 90种 【答案】B 【解析】 【分析】采用分步乘法计数原理结合组合数运算即可. 【详解】第一步：从5名男生中选出2名男生有种选法； 第二步：从3名女生中选出1名女生有种选法； 由分步乘法计数原理可知：共有种不同的选法. 3. 的展开式中常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得的通项公式为， 令，可得，即其常数项为 . 4. 若函数在处取得极值，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合结论函数在点处可导且取得极值，则求，再验证结论. 【详解】由题意知函数的定义域为， 由 可得 ， 函数在处取得极值， ， ，此时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 经检验时函数 在处取得极值. 5. 将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（ ） A. 15种 B. 18种 C. 21种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】利用隔板法求解即可. 【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法． 故选：C. 6. 已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C. 函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D. 函数的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 7. 已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值. 【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 故最大，因此第七项的系数最大， 故选：C． 8. 关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由指数函数的导数公式得，故A正确， 对于B，由正弦函数的导数公式得 ，故B错误， 对于C，由对数函数的导数公式和导数的乘法法则得，故C正确， 对于D，由导数的除法法则得，故D正确. 10. 关于排列组合，下列说法正确的是（ ） A. 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 B. 组合数满足 C. D. 有6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有480种不同的排法 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质，故B正确； 对于C，由，则，故C错误， 对于D，先将甲、乙以外的个人排好，形成个空位， 然后将甲、乙两人排入这个空位， 所以不同的排队方法有种，故D正确. 11. 已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. . C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得C正确；令，代入中即可求得A正确；令，由可推导得到D正确；设，由可知，结合可知，由此可得，知B错误. 【详解】由得：， ，关于中心对称，则， 为奇函数，，左右求导得：， ，为偶函数，图象关于轴对称， ， 是周期为的周期函数， ，C正确； ，，又， ，A正确； 令，则，， 又，，， 即，D正确； ，， 设，则，， 又为奇函数，，， 即，B错误. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论： ①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数； ②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数再求切线的斜率最后写出切线方程即可. 【详解】，所以 ，根据导数的几何意义可知切线的斜率为， 由点斜式写出切线方程为：，整理得：. 13. 花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共__________种. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下， 先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取， 所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故共有取法总数为 . 14. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角.由此可见我国古代数学的成就就是非常值得中华民族自豪的.如上图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为，以下关于杨辉三角的猜想中正确的序号有______.（写出所有正确的序号） ①由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 ②由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想 ③第9条斜线上各数之和为55 ④在第条斜线上，各数从左往右先增大后减小 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据二项式系数与杨辉三角判断①，②；通过观察归纳出第条斜线上的数的特征，进而判断③，④选项即可. 【详解】对于①，②，根据二项式系数的性质，结合杨辉三角， 可得，成立，故①，②正确； 对于③，④，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为， 第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为， 第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为， 第7条斜线上的数为， 由此归纳得到，第 条斜线上的数依次为， 第 条斜线上的数依次为， 所以第条斜线上各数字为， 和为，故③错误； 而结合二项式性质得在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减小，故④正确. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 某校为弘扬传统文化，开设了“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周. （1）若课程“乐”“数”排在相邻两周，求不同的安排方案种数； （2）若课程“礼”不排在第一周，“数”不排在最后一周，求不同的安排方案种数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 将课程“乐”“数”排在相邻的两周，共有种排法. 【小问2详解】 若课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周， 分两种情况进行讨论，若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法. 16. 记函数的导函数为，已知，． （1）求实数的值； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，即可代入求解， （2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得 【小问2详解】 由（1）可知 由，解得或；由，解得 所以函数在，单调递增；在单调递减 又，，，． 所以，， 所以函数在上的值域为． 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）1093 （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，； 当时，； 故； 【小问2详解】 当时，； 由（1）知， 所以； 【小问3详解】 由题意得， 左右两侧同时求导，可得， 令，得到. 18. 已知函数，. （1）若函数在上单调递增，求的最小值； （2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，对任意的恒成立，分析函数在上的单调性，根据可求得实数的取值范围，即可得解； （2）令，分析可知，函数的图象与直线只有一个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由已知可得，则， 因函数在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 又因为函数在上为增函数， 则，解得，故实数的最小值为. 【小问2详解】 解：，令，可得， 因为函数的图象与有且只有一个交点， 令，则函数的图象与直线只有一个公共点， 则，令，解得或，令，解得， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值为， 的图象如下所示：    由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 19. 已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，试求函数在上的最值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据导函数正负得出函数单调性计算求解； （2）由题意，得恒成立，当时，即恒成立，令，求导并且判断单调性，即可得最小值，得参数的取值范围；当，时，恒成立，时，取，则显然不成立，再取交集即可； （3）由（2）得，两边取对并且化简累加进而证明不等式. 【小问1详解】 当时，，， 当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得最小值， 易知，则最大值． 【小问2详解】 若对任意，不等式恒成立，即：恒成立 当时，恒成立． 令，则． 当，，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以时，取最小值，所以． 当时，若时，恒成立； 若，取，则显然不满足，所以 综上， 【小问3详解】 在（2）中，令可知对任意实数x都有，当时，取等号， 两边同量取对数得：，当时，取等号，故：(当时，取等号)， 所以： 则： 即： 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $