精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区2024-2025学年高二下学期5月期中学业质量检测数学试题

2024—2025学年第二学期期中学业质量检测 高二数学试题 2025.05 （人教A版选择性必修二第五章、人教A版选择性必修三第六章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算平均变化率，利用作差法即可判断. 【详解】由题意有，，所以，即， 故选：C. 2. 已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是s，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，代入即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：B. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 则根据导数的几何意义可知， 曲线在点处的切线的斜率 . 又， 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：A. 4. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字5，6，8（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有5，6，8这三个数字，则不同的填法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 72种 D. 216种 【答案】A 【解析】 【分析】分步填数，先填第一行三个数字，第二步填第二行的第一个数，第三步其它格子中的数字填法唯一，由分步计数原理可得． 【详解】先填第一行，有种不同填法， 再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定． 根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法． 故选：A． 5. 如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. 当或时，函数的值为0 C. 函数在上是增函数 D. 函数在上是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】 由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案． 【详解】解：由函数的导函数图象可知， 当时，，原函数为减函数； 当时，，原函数为增函数. 故D正确，C错误； 故不是函数的极值点，故A错误； 当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误； 故选：D. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 19 B. 33 C. 35 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理通项公式即可求解. 【详解】中，的系数为， 中，的系数为， 中，的系数为， 中，的系数为， 中，的系数为， 所以的展开式中，的系数为： ， 故选：C 7. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，成功将中国空间站建设完毕.如果空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，三舱中每舱至少有1人且甲、乙不在同一个舱，则不同的安排方法有（　　） A. 36种 B. 30种 C. 33种 D. 66种 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知可先将4名航天员分成3组，其中甲、乙不在同一组共有5种分法，再将三组人员分派到三个不同的舱即可得出结果. 【详解】根据题意可知，可将4人先分成三组共有种， 其中甲、乙在同一组有1种可能，所以符合题意的分组共有5种， 再将三组人员分配到不同的舱，共有种. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，进而令，易知为偶函数，再结合当时，得函数在上单调递增，由于不等式转化为，进而根据偶函数的性质解即可. 【详解】∵，∴， 令，则，即为偶函数， 当时， ∴，即函数在上单调递增. 根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：B. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性，单调性，解题的关键在于根据已知构造函数，进而将问题转化为，利用的性质求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列是组合问题的是（ ） A. 10人相互通一次电话，共通多少次电话？ B. 10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C. 从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D. 从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据受不受顺序影响判断每个选项是排列问题还是组合问题即可. 【详解】对于选项A，甲与乙打电话和乙与甲打电话是同一事件，即不受顺序影响，是组合问题； 对于选项B，两个队只打一场比赛，不受顺序影响，是组合问题； 对于选项C，三个人入选的顺序不影响结果，是组合问题； 对于选项D，同样的三个人如果每个人任职的科目不同对最后结果是有影响的，即顺序会影响最后结果，是排列问题，不是组合问题. 故选：ABC 10. 设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对函数求导，解得的范围，根据斜率和倾斜角之间的关系，即可容易求得. 【详解】因为，故可得； 设切线的倾斜角为，则， 故可得， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数求切线倾斜角的范围，属基础题. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的图像关于点中心对称，则 B. 当时，函数过原点的切线有且仅有两条 C. 函数在上单调递减的充要条件是 D. 若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意，可解的值；对于B，通过设切点利用导数求切线方程，代入原点坐标检验的方法判断；对于C，在上恒成立，分类讨论求解；对于D，利用韦达定理和差别式求解. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称，所以， 即， 整理得，所以，所以A正确． 时，原点在函数的图像上，因此过原点有一条切线； 若切点不是原点时，设切点为， 则切线方程为， 把代入可得，若，则函数过原点的切线有且仅有一条； 若，则函数过原点的切线有两条，因此B不正确． 函数在上单调递减，（不恒等于0）在上恒成立， 设，其图像对称轴为，（不恒等于0）在上恒成立， 则有或或， 即或或， 其中且时，则，也满足， 所以函数在上单调递减的充要条件是，C正确； ，由题意知实数是方程的两个不等实根， 所以，且，， 由，得，所以， 解得或，所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，列方程求解即可. 【详解】由可得， 令为函数在上的“拉格朗日中值点”， 则，解得. 故答案为： 13. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式可得前三项的系数，再解方程即可解决 【详解】由通项公式 得展开式前三项系数分别为1、、 所以1+=，解之得，或（舍） 故答案为：8 14. 若函数，满足，且，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】先求，再对两边求导后令可求的值. 【详解】因为函数，满足，且， 所以，则，对两边求导， 可得，所以，因此. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，含项的系数是. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）2 （2）0 【解析】 【分析】（1）利用的展开式与的展开式即可求得的值； （2）利用赋值法分别求得，的值，进而求得的值. 【小问1详解】 由， 可得在的展开式中含的项是由 的展开式中含项与的展开式中含项合并得到的， 则 【小问2详解】 由（1）得，， 令，则 令，则 则， 则. 16. 赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电， （1）求有多少种不同的充电方案； （2）若要求A、B两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．（用数字作答） 【答案】（1）； （2）168. 【解析】 【分析】（1）先选出三辆车安排在上午充电，余下的三辆车安排在下午充电，结合分步乘法计数原理即可计算求解； （2）根据“先排车，接着排，再排A、B”的顺序分析结合分步和分类计数原理即可计算求解. 【小问1详解】 先从A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴车中选出三辆车安排在上午充电，有， 余下的三辆车安排在下午充电，， 共有种方案． 【小问2详解】 先排车，第一种方案，车在上午充电，有种可能， 此时再排，车在下午充电，有种可能， 再排A、B，又分A、B同在下午和一个上午一个下午两种情况，有可能， 第二种方案，车在下午充电，有种可能， 此时再排，车在下午充电，有种可能， 再排A、B，只能一个上午一个下午，有可能， 最后再排剩下的两辆车，有种可能， 最后共有：种方案． 17. 如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁．矩形的高为，宽为．已知梁的抗弯强度为． （1）将表示为的函数，并写出定义域； （2）求的值使得抗弯强度最大． 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得出，即可得出关于的函数，结合实际情况写出该函数的定义域； （2）利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数取最大值时对应的的值. 【小问1详解】 由勾股定理可得，则， 所以，，其中，即该函数的定义域为. 【小问2详解】 对函数求导得，由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，当时，取得极大值，亦即最大值，且 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，的极小值为，求的最小值． 【答案】（1） 当时，在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，即可对讨论，根据导数的正负确定单调性即可， （2）根据（1）的单调性可得，根据的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 易知，恒成立， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，由，得到， 当时，；当时，， 所以时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，此时无极值， 当时，函数的极小值为： ， ，， 由于均为单调递增，故在上递增， 的最小值为． 19. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果； （2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果； （3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果. 【小问1详解】 因为 则，即，所以，经检验符合题意 【小问2详解】 ，则. 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问3详解】 当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图像有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中学业质量检测 高二数学试题 2025.05 （人教A版选择性必修二第五章、人教A版选择性必修三第六章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 2. 已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是s，则为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字5，6，8（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有5，6，8这三个数字，则不同的填法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 72种 D. 216种 5. 如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. 当或时，函数的值为0 C. 函数在上是增函数 D. 函数在上是增函数 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 19 B. 33 C. 35 D. 70 7. 中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，成功将中国空间站建设完毕.如果空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，三舱中每舱至少有1人且甲、乙不在同一个舱，则不同的安排方法有（　　） A. 36种 B. 30种 C. 33种 D. 66种 8. 已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列是组合问题的是（ ） A. 10人相互通一次电话，共通多少次电话？ B. 10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C. 从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D. 从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ 10. 设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的图像关于点中心对称，则 B. 当时，函数过原点的切线有且仅有两条 C. 函数在上单调递减的充要条件是 D. 若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________． 13. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则___________. 14. 若函数，满足，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，含项的系数是. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 赤峰市某5A级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设168个充电桩，其中包括90个新型交流有序充电桩、75个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电， （1）求有多少种不同的充电方案； （2）若要求A、B两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．（用数字作答） 17. 如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁．矩形的高为，宽为．已知梁的抗弯强度为． （1）将表示为的函数，并写出定义域； （2）求的值使得抗弯强度最大． 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，的极小值为，求的最小值． 19. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $