精品解析：新疆喀什地区莎车县2025-2026学年第二学期阶段性练习题高一数学

莎车县2025–2026学年第二学期阶段性练习题 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 化简 (    ) A. B. C. D. 3. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 8. 在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 10. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆半径为8 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 13. 若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____. 14. 已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为__________. 四､解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（为虚数单位） （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 16. 已知，且与的夹角为， （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知平面内三个向量，，. （1）若，求实数，的值； （2）若，求实数的值； （3）已知，求的最小值. 18. 如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm． （1）求四棱台的表面积； （2）现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 19. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莎车县2025–2026学年第二学期阶段性练习题 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以的虚部为. 2. 化简 (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 5. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积. 【详解】如图，的直观图是，则， 则的面积为. 故选：B 6. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知单位向量，满足，设与的夹角为 则 ，解得， 因为，故. 7. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据长方体的几何特征，我们可得两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，易知长方体的体积为. 不妨令. 由长方体，易知两两垂直， 所以， 于是. 故剩下几何体的体积， 因此， . 故选：B. 8. 在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出，然后根据向量的数量积定义求出，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据正弦定理得，化简得. 根据余弦定理知，，所以. 因为，所以. 因为，所以，解得， 所以的面积为. 故选：D. 二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数运算，及模的运算，结合复平面可作出各选项判断. 【详解】 对于A，，为纯虚数，A正确； 对于B，，B正确： 对于C，，C错误： 对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确. 故选：ABD. 10. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图可得，，根据向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】对于A，由图可知，，故A正确； 对于B，，则， ，故B正确； 对于C，，即不垂直，故C错误； 对于D，，， 由，解得， 因此当时，与共线，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆半径为8 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B、C. 【详解】对于A，由知，所以的外接圆半径为，故A错误； 对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对于C，由可得，即， 又，所以，故C正确； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确． 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为：. 故答案为： 13. 若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知也是实系数方程的一个复数根，利用根与系数的关系求出m、n的值即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以另一个根为， 故. 故答案为：. 14. 已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为． 四､解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（为虚数单位） （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，复数为纯虚数，所以，解得. 【小问2详解】 复数对应的点在第四象限，所以，解得. 故的取值范围是. 16. 已知，且与的夹角为， （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义，先求，再结合平面向量数量积的运算法则求值. （2）转化为，再结合平面向量数量积的运算法则求值. 【小问1详解】 因为，且与的夹角为， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 即. 17. 已知平面内三个向量，，. （1）若，求实数，的值； （2）若，求实数的值； （3）已知，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 ，又，，， 即， ，解得. 【小问2详解】 因为，， 又， ，即，解得. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以当时，取最小值. 18. 如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm． （1）求四棱台的表面积； （2）现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正四棱台的性质，求出侧面等腰梯形的高，再分别计算每个面的面积，相加即可得棱台的表面积； （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高，再根据圆台的体积公式计算即可. 【小问1详解】 正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接，作交于， 如图所示，因为，，且，则四边形为矩形， 则，，，， 所以， 所以四棱台的表面积为． 【小问2详解】 若要这块石料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高， 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 19. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合诱导公式即可求解； （2）由三角形面积公式结合余弦定理，即可解得各边长，进而求得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，则， 则， 因为，所以， 则有，解得，则. 【小问2详解】 由题意得，其中， 则，解得， 由余弦定理得， 因为，则， 则的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $