期末模拟培优卷2025—2026学年北师大版八年级下学期数学

**基本信息** 立足北师大版八年级下册知识，融合二十四节气图形、《四元玉鉴》古题及哪吒手办销售等情境，通过几何变换、函数与几何综合等问题，考查抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称（1题）、分式方程应用（7题）等|结合文化与生活情境，考查基础概念| |填空题|6/18|多边形内外角与对角线（14题）、分式值为零条件（12题）等|聚焦易错点，强化空间观念| |解答题|8/72|平行四边形性质与判定（20题）、函数与几何综合（22题）、动态几何探究（23题）等|分层设计，从基础证明到创新应用，突出推理与模型意识|

2025—2026学年北师大版八年级下学期数学期末考试模拟卷培优卷 注意事项: 1.本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟; 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符; 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;答非选择题必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题; 4.考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效. 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上. 1．下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 5．若分式有意义，则x满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 7．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点D，E，连接，若，，则的周长为（    ） A．9 B．14 C． D． 9．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（  ） A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC 10．如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上. 11．分解因式：________． 12．当______时，分式的值为零． 13．关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______． 14．一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是，过这个多边形的一个顶点可画出________条对角线． 15．若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 ____． 16．如图，射线互相垂直，，在线段的垂直平分线上取一点，连接．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离____________． 三、解答题:本大题共8小题，共72分.其中17、18、19、20每小题8分，21、22、23、24每小题10分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 17．（1）求不等式的正整数解；     （2）解方程：． 18．（1）解不等式组：； （2）先化简：，然后在，0，1，2中选取一个合适的数作为a代入求值． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点O逆时针旋转得到的；写出，，三点的坐标； (2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 20．如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， (1)若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． (2)若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 21．随着中国动画电影哪吒之魔童闹海的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵元按售价购买，用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍． (1)求每个“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别是多少元． (2)某班举办爱心义卖活动，准备从该玩具公司购进“哪吒”手办和“敖丙”手办共个进行售卖，且将每个“哪吒”手办的售价定为元，每个“敖丙”手办的售价定为元若本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)当时，请根据图象直接写出的取值范围； (3)已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 23．如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． (1)用含的代数式表示． (2)若是以为腰的等腰三角形，，求的长． (3)如图2，延长交于点F，若，求的长． 24．在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A A B B D D B 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15．且 16． 三、解答题 17．【详解】解：（1）， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的正整数解为：，； （2）， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 18．【详解】（1）解： 由不等式①得：， 由不等式②得： 原不等式组的解集为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 19．【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：设交轴于点，则点， 则， ∵的面积是面积的倍， ， ， ， ∴点的坐标为或． 20．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵为边上的中点， ∴是的中位线， ， ∵为边上的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， 证明如下： 如图，延长，交的延长线于点， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即． 21．【详解】（1）解：设每个“哪吒”手办的售价是元，则每个“敖丙”手办的售价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， （元）， 答：每个“哪吒”手办的售价是元，每个“敖丙”手办的售价是元； （2）解：设购进“哪吒”手办个，则购进“敖丙”手办个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值， 此时，（个）， 答：购进“哪吒”手办个，“敖丙”手办个才能获得最大利润，最大利润是元． 22．【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得，， 解得； （2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵与轴不垂直， ∴点不是直角顶点， ①当点为直角顶点时，如图， ∵， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则， 由勾股定理可得，，， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 23．【详解】（1）解：， ∴， 又， ∴， ， ； （2）解：若， ， ∴， ， 由勾股定理得：； 若， ， ∴ ∴根据解析（1）可得：， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，延长至点G使得， ， ， ， ， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 24．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，将沿平移至，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，而， ∴， 由平移可得：，，， ∴共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴. （3）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图，过作于，作于， 设（单位），则， ∴，，， ∴， 解得：，， ∴， 同理可得：，，， 设，， ∴，， 由勾股定理可得：， 整理得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $