第16章 函数及图象 一次函数与几何图形综合题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，以“函数表达式-面积计算-存在性问题”为梯度，系统整合数形结合与分类讨论思想，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数表达式求解|12题均涉及|用待定系数法求一次函数、反比例函数表达式|以函数概念为基础，通过已知点坐标建立方程，体现代数表达的严谨性| |面积计算与参数表示|8题重点考查|用参数表示动点坐标，结合割补法求三角形面积|衔接函数与几何，通过坐标转化将几何量代数化，培养运算能力| |几何图形存在性|10题核心突破|平行四边形、等腰三角形存在性问题，需分类讨论|综合函数性质与几何判定，通过中点坐标公式或边长关系推理，发展推理意识|

一次函数与几何图形综合题 1．综合与探究 如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于A（n，8），B（4，﹣2）两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是h． ①将△ABP的面积用含h的式子表示出来． ②当四边形APBQ是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时h的值． 2．综合与探究 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y（x＞0）的图象在第一象限内交于点A（1，4），B（4，a），P为x轴负半轴上一动点，作直线PA，连结PB． （1）求一次函数的表达式． （2）若△ABP的面积为12，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以PB为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究：直线y＝x+2与x轴和y轴分别交于点A、B，直线CD与AB交于点C，与y轴交于点D（0，8），过点C作CE⊥x轴于点E，点E的横坐标为3． （1）求直线CD的解析式； （2）点P是x轴上一动点，过点P（t，0）作x轴垂线分别与直线AB、CD交于点M、N，求线段MN的长（用t表示）； （3）在（2）的条件下，t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上． （1）求点A，B的坐标． （2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PACS△AOB，求直线PC的表达式． （3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，6），并与直线相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时，△OBQ的面积等于？请求出点Q的坐标； （3）在y轴上是否存在点P，使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．综合与探究． 如图，一次函数yx+4的图象与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为（4，0），点D是直线BC上一动点，点D的横坐标为m． （1）直接写出点A，B的坐标及直线BC的解析式； （2）当点D在线段BC上时，设△ABD的面积为S， ①请用含m的式子表示出S； ②当△ABD的面积等于△ACD面积的时，求出m的值； （3）在y轴上是否存在一点E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由． 7．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b经过定点B（﹣1，5）且与x轴交于点A．直线l1，l2交于点C（2，m）． （1）求直线l1的解析式； （2）在x轴上是否存在一点E，使△BDE与△ACD的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请求出其中一个点Q的过程）． 8．综合与探究： 如图，过A（0，6），B（6，0）两点的直线与直线y＝x交于点F，平行于y轴的直线l从y轴出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿x轴向右平移，到达F点时停止．直线l分别与AB，OF交于点C、D，以CD为斜边向左侧作等腰直角三角形CED，设△CED与△OAF重叠部分图形的周长为p，直线l的运动时间为t秒． （1）求直线AB的解析式及点F的坐标． （2）当点E落在y轴上时，求p的值． （3）试探究当直线l从y轴出发，向右移动过程中，p与t的函数关系式（直线l在y轴上与经过F点的两种情况不考虑）． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的解析式； （2）若点D在y轴上，且满足S△CODS△BOC，求点D的坐标； （3）在坐标平面内，是否存在点P，使得以O、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 10．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线l1：分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：交于A． （1）求出点A的坐标． （2）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围． （3）在平面内是否存在点Q，使以O、C、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．直线y＝﹣x+6与x轴交于A，与y轴交于B，直线CD与y轴交于C（0，2）与直线AB交于D，过D作DE⊥x轴于E（2，0）． （1）求直线CD的函数解析式； （2）P是x轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于M，N，设MN的长为d，P点的横坐标为t，求出d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出结果） 12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C；直线AB与x轴、y轴分别交于点M和点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）；点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，交x轴于点N． （1）直接写出点A的坐标和直线AB的解析式； （2）当BC＝2EF，请求出点F的坐标； （3）若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标． 参考答案与试题解析 1．【解答】解（1）把B（4，﹣2）代入，得：， 解得：m＝﹣8， ∴反比例函数表达式为， 把A（n，8）代入得：， 解得：n＝﹣1， 把B（4，﹣2），A（﹣1，8）代入y＝kx+b得： ， 解得：， 所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+6； （2）根据函数图象及点AB的坐标可知，关于x的不等式的解集为：﹣1＜x＜0或x＞4； （3）①把y＝0代入y＝﹣2x+6，得﹣2x+6＝0， 解得：x＝3， ∴C（3，0）， S△ABP＝S△ACP+S△BCP ＝5CP＝5|h﹣3|； ②如图，根据题意，四边形APBQ是平行四边形，且面积为10时可知，S△ABP＝5， 由①可知，S△ABP＝5丨h﹣3丨＝5， ∴h﹣3＝±1， 解得：h＝4或2． 2．【解答】解：（1）把A（1，4）代入y得m＝1×4＝4， ∴反比例函数解析式为y； 把B（4，a）代入y得a1， ∴B（4，1）， 把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+5； （2）如图，设直线AB交x轴于H，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E， 设P（x，0）， ∵A（1，4）、B（4，1）， ∴AD＝4，BE＝1， 在y＝﹣x+5中，令y＝0，得﹣x+5＝0， 解得：x＝5， ∴H（5，0）， ∴PH＝5﹣x， ∴S△PAB＝S△PAH﹣S△PBHPH•ADPH•BEPH（AD﹣BE）（5﹣x）×（4﹣1）（5﹣x）， ∵S△PAB＝12， ∴（5﹣x）＝12， 解得：x＝﹣3， ∴P（﹣3，0）； （3）存在， 设直线PA的解析式为y＝mx+n，把P（﹣3，0），A（1，4）坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线PA的解析式为y＝x+3， 设E（t，t+3），F（0，s）， 又P（﹣3，0）B（4，1）， 当PF、BE为平行四边形对角线时，PF与BE的中点重合， ∴， 解得， ∴E（﹣7，﹣4）； 当PE，BF为平行四边形对角线时，PE与BF的中点重合， ∴， 解得， ∴E（7，10）； 综上所述，点E的坐标为（﹣7，﹣4）或（7，10）． 3．【解答】解：（1）当x＝3时，y＝x+2＝3+2＝5， ∴C（3，5）， 设直线CD的解析式是y＝kx+b， 将C（3，5），D（0，8）坐标代入得，， 解得：， ∴直线CD的解析式是y＝﹣x+8． （2）由题知xP＝xM＝xN＝t， ∵点M在直线AB上， ∴yM＝t+2， ∴M（t，t+2）， ∵点N在直线CD上， ∴yN＝﹣t+8， ∴N（t，﹣t+8）， 当t≤3时，MN＝yN﹣yM＝（﹣t+8）﹣（t+2）＝﹣2t+6， 当t＞3时，MN＝yM﹣yN＝（t+2）﹣（﹣t+8）＝2t﹣6． （3）∵CE⊥x轴，MN⊥x轴， ∴CE∥MN，CE＝5， 若四边形MNCE是平行四边形，则CE＝MN， 即：﹣2t+6＝5或2t﹣6＝5， ∴或． 4．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0）； （2）将点P（1，m）代入y＝﹣x+3， ∴m＝2， ∴P（1，2）， 由（1）可得OA＝OB＝3， ∴S△AOB3×3， ∵S△PACS△AOB， ∴S△PAC（3﹣xC）×2， ∴xC， ∴C（，0）， 设直线PC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx； （3）存在点E，使得四边形EMNQ为正方形，理由如下： 设E（t，﹣t+3），则Q（t，﹣t+3）， ∴EQ＝|t|，EM＝|t﹣3|， 当四边形EMNQ为正方形时，EQ＝EM， ∴|t|＝|t﹣3|， 解得t或t， ∴E（，）或（，）． 5．【解答】解：（1）∵一次函数与相交于点B，其中点B的横坐标为3， ∴， 则点B（3，4）， 将点A（0，6）、B（3，4）的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b中，得， 解得：，b＝6， 所以一次函数的表达式为； （2）设点，则△OBQ的面积， 解得：m＝4.5或1.5， 故点Q（4.5，3）或（1.5，5）； （3）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，6），（3，4）， 则AB2＝13，AP2＝（m﹣6）2，BP2＝9+（m﹣4）2， 当AB＝AP时，13＝（m﹣6）2，解得：或； 当AB＝BP时，同理可得：m＝6（舍去）或2； 当BP＝AP时，同理可得：； 综上点P的坐标为：或或（0，2）或． 6．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， 令y＝0，则x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+4； （2）①∵点D在线段BC上， ∴0≤m≤4， ∵A（﹣3，0），C（4，0）， ∴AC＝7， ∵点D的横坐标为m， ∴D（m，﹣m+4）， ∴SAC×OBAC×（4﹣m）7×（4﹣4+m）m； ②∵△ABD的面积等于△ACD面积的， ∴m7×（4﹣m）， ∴m； （3）存在点E，使以点A，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设E（0，y）， ①当AB为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴E（0，﹣3）； ②当AD为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴E（0，﹣3）； ③当AE为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴E（0，11）； 综上所述：E点坐标为（0，﹣3）或（0，11）． 7．【解答】解：（1）将点B（﹣1，5）代入y＝﹣x+b， ∴1+b＝5， 解得b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∴A（4，0）， 将C（2，m）代入y＝﹣x+4， ∴m＝2， ∴C（2，2）， 将C（2，2）代入y＝kx+1， ∴2k+1＝2， 解得k， ∴yx+1； （2）存在点E，使△BDE与△ACD的面积相等，理由如下： 当y＝0时，x+1＝0， 解得x＝﹣2， ∴D（﹣2，0）， ∴AD＝6， ∴△ACD的面积2＝6， ∵△BDE与△ACD的面积相等， ∴5×DE＝6， 解得DE， ∴E（，0）或（，0）； （3）存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设Q（x，y）， 当AD为平行四边形的对角线时，2＝﹣1+x，5+y＝0， ∴Q（3，﹣5）； 当AB为平行四边形的对角线时，﹣2+x＝3，y＝5， ∴Q（5，5）； 当AQ为平行四边形的对角线时，4+x＝﹣3，y＝5， ∴Q（﹣7，5）； 综上所述：Q点坐标为（3，﹣5）或（5，5）或（﹣7，5）． 8．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+6， 联立方程组， 解得， ∴F（3，3）； （2）如图1，当点E落在y轴上时，∠DEC＝90°，DE＝CE， ∵OA＝BO， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∵∠BOF＝45°，∠AOF＝45°， ∴∠CFD＝90°， ∴四边形CEDF是正方形， ∴CD＝EF＝3， ∴EC＝ED， ∴p＝33； （3）由（2）知，四边形CEDF是正方形， 如图2，当0＜t≤3时，设EC与y轴交于M，ED与y轴交于N，连接EF交y轴于H，交CD于G， 由题意可知，HG＝0.5t， ∵HF＝3， ∴GF＝EG＝3﹣0.5t， ∴EH＝MH＝HN＝3﹣0.5t﹣0.5t＝3﹣t， CG＝GF＝GD＝3﹣0.5t， ∵ECCG，EMEH， ∴MC＝EC﹣EM（CG﹣EH）（3﹣0.5t﹣3+t）t， ∴p＝2MH+2CG+2MC＝2（3﹣t+3﹣0.5tt）＝12t﹣3t； 如图3，当3＜t＜6时，连接FE并延长交y轴于点Q， 由题意可知GQ＝0.5t， ∴GF＝3﹣0.5t， ∴EG＝CG＝GD＝3﹣0.5t， ∵ECCG， ∴EC（3﹣0.5t）， ∴p＝2EC+2CG＝2（3t+3﹣0.5t）＝6t+6﹣t； 综上所述：当0＜t≤3时，p＝12t﹣3t；当3＜t＜6时，p＝6t+6﹣t． 9．【解答】解：（1）∵点C的横坐标为1， ∴C（1，3）， 将点A（﹣2，6），C（1，3）代入y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+4； （2）∵y＝﹣x+4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∴S△BOC4×3＝2， ∵S△CODS△BOC， ∴S△COD＝21×|OD|， ∴OD＝4， ∴D（0，4）或（0，﹣4）； （3）存在点P，使得以O、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设P（x，y）， ①当BO为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴P（3，﹣3）； ②当BP为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴P（﹣3，3）； ③当BC为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴P（5，3）； 综上所述：P点坐标为（3，﹣3）或（﹣3，3）或（5，3）． 10．【解答】解：（1）联立两直线解析式可得， 解得：， ∴点A的坐标为（6，3）； （2）由点A（6，3）及图象知，当y1＜y2时，x＞6； （3）存在点Q，使以O、C、A、Q为顶点的四边形是平行四边形； 如图所示，分三种情况考虑： Ⅰ．当四边形OAQ1C为平行四边形时，点Q1的横坐标为6，纵坐标为点C的纵坐标+3＝9， ∴Q1的坐标为（6，9）， 当四边形OQ2AC为平行四边形时， Ⅱ．点Q2的横坐标为6，纵坐标为点A的纵坐标﹣6＝﹣3， ∴Q2的坐标为（6，﹣3）， Ⅲ．当四边形OACQ3为平行四边形时， 点Q3关于OC的对称点为点A， ∴Q3的坐标为（﹣6，3）， 综上点Q的坐标为：（6，9）或（6，﹣3）或（﹣6，3）． 11．【解答】解：（1）直线CD与y轴相交于C， 可设直线CD解析式为y＝kx+2，把x＝2代入y=-x+6中可得y＝4， ∴D（2，4）， 把D点坐标代入中可得 2K+2＝4， ∴k＝1 直线CD的函数解析式为y＝x+2； （2）根据题意可以知道，点P的横坐标为t， 把x＝t代入y＝﹣x+6中可得y＝﹣t+6 ∴M（t，﹣t+6）， 把x＝t代入y＝x+2中可得y＝t+2， ∴N（t，t+2）， 当t＜2时，d＝﹣t+6﹣（t+2）＝﹣2t+4， 当t≥2时，d＝t+2﹣（﹣t+6）＝2t﹣4； （3）由题意可知MN∥DE， ∵以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴MN＝DE＝4， ∴|2t﹣4|＝4，解得t＝0或t＝4， 即当t的值为0或4时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 12．【解答】解：（1）∵点A（m，2）在y＝x+4上， ∴m+4＝2，解得m＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，2）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2； （2）设点E的坐标为（a，a+4）， ∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上， ∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）， ∵直线y＝x+4与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，4）， ∵BC＝2EF， ∴2（a+4+2a+2）＝4+2或2（﹣2a﹣2﹣a﹣4）＝4+2， 解得：a＝﹣1或a＝﹣3， ∴点F的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，4）； （3）设点E的坐标为（a，a+4）， ∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上， ∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）， ∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|， ∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC， ∴EF＝OC， ∵直线y＝x+4与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，4）， ∴OC＝4，即|3a+6|＝4， 解得：a或a， ∴点E的坐标为（，）或（，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/18 17:11:16；用户：试用；邮箱：hanm@xyh.com；学号：38871860 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $