精品解析：福建厦门沧江高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

厦门沧江高级中学2025-2026学年高一下学期期中考 数学试题 命卷人：俞王斌 审核人：陈燊 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定位置填写本人准考证号､姓名等信息. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列物理量中不是向量的是（ ） A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角的对边分别为．若，则（ ） A. 7 B. C. D. 2 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 5. 在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 7. 已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ） A. 舰艇所需的时间为1小时 B. 舰艇所需的时间为2小时 C. D. 11. 如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. 的面积与点，的位置无关 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 三棱锥的体积与点，，的位置都有关 D. 三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 为虚数单位，则______. 13. 如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 14. 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 17. 在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． （1）求角A； （2）若，求的长． 18. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： （1）根据海伦公式求这个三角形的面积； （2）若为边上的中点，求中线的长度； （3）请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门沧江高级中学2025-2026学年高一下学期期中考 数学试题 命卷人：俞王斌 审核人：陈燊 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定位置填写本人准考证号､姓名等信息. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列物理量中不是向量的是（ ） A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移 【答案】B 【解析】 【详解】向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选B. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，，则. 3. 在中，内角的对边分别为．若，则（ ） A. 7 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】，则. 故选：B. 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 5. 在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，. 6. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 【答案】B 【解析】 【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案. 【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故. 故选：B 7. 已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥底面半径，再根据体积公式计算. 【详解】设圆锥底面半径为，则由题意可得，，则， 则该圆锥的体积为. 故选：A 8. 如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则， 所以. 设，则．所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的实部为1，正确； 对于B，的共轭复数为，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ） A. 舰艇所需的时间为1小时 B. 舰艇所需的时间为2小时 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果. 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得，解得或（舍去）， 故.由正弦定理得，解得 故选：AD. 11. 如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） A. 的面积与点，的位置无关 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 三棱锥的体积与点，，的位置都有关 D. 三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据平行、垂直关系分析可知为矩形，即可得的面积，即可得判断正误；对于BCD：根据题意利用转换顶点法求三棱锥的体积，即可得判断正误. 【详解】连接， 对于选项A：因为∥，且，可知为平行四边形， 且平面，平面，则，可知为矩形， 所以的面积， 即的面积为定值，与点，的位置无关，故A正确； 对于选项BCD：因为平面，且平面∥平面， 可知三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积， 即三棱锥的体积为定值，与点，，的位置均无关，故D正确，BC错误； 故选：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 为虚数单位，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求解即得. 【详解】. 故答案为： 13. 如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 14. 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为， 又因为是正三角形，易得高， 则， 所以勒洛三角形的面积. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知 【小问2详解】 ，， 16. 如图，在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 【答案】（1）证明见解析； （2）平面平面，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，交于，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）先证，利用线面平行的判定得平面，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行. 【小问1详解】 连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点， 又E为的中点，则，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 平面平面，证明如下： 由F为的中点，连接； E为的中点，易知， 所以为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面， 由（1）平面，且，平面， 所以平面平面. 17. 在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且． （1）求角A； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A； （2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因， 则， 即， 因为，则得， 因，则． 【小问2详解】 如图，因是的平分线，则，解得， 又， 则， 即，解得. 18. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式. 现已知的三条边为，，，请你解答下面问题： （1）根据海伦公式求这个三角形的面积； （2）若为边上的中点，求中线的长度； （3）请根据秦九韶公式，证明海伦公式. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求半周长，再代入公式即可得出； （2）利用中线性质代入相应数值，即可得出结果； （3）通过平方差公式和因式分解，即可将秦九韶公式转化为海伦公式. 【小问1详解】 由题意得：， 由海伦公式得：. 【小问2详解】 在中，因为为边上的中点，由余弦定理知，①② 又因为， 两式相加得：， 因为，所以， 所以，即. 【小问3详解】 证明： ， 设， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $