精品解析：福建厦门市翔安第一中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

厦门市翔安第一中学 2025~2026学年第二学期高一年期中考试卷 数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 2. 某圆锥的底面半径是2，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，圆锥的侧面积为 3. 已知两个非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模长计算式，将等式两边平方化简即可 【详解】由题，即 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 5. 如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值. 【详解】 设为的中点，连接， 由正方体的性质可得则四边形为平行四边形， 故，而为所在棱的中点，故， 故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为， 故选：C. 6. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部为4 B. C. 复数z的共轭复数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的基本概念（虚部、模、共轭复数）以及复数的四则运算法则，逐一判断各选项正误即可。 【详解】选项A：复数的虚部为，不是4，故A错误； 选项B：复数，所以，故B正确； 选项C：共轭复数的实部与原复数相同，虚部互为相反数，因此，故C正确； 选项D：复数，所以，故D正确。 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 【答案】AD 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则或，即或，则为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对于D，， 根据正弦定理 ，所以有两解，所以有两解，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，由图可知，将线条延伸即可得到梯形. 选项B，三棱锥如下图所示，，. 选项C，因为 平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值.不难得出正弦值最大时点处于点的位置，. 选项D，将平面与平面沿展开得到下图，可以看到最短的距离便是两点之间的连线，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____． 【答案】 【解析】 【详解】斜二测画法中直观图坐标系的夹角为， 由题意，分析可得为等腰直角三角形， 其面积. 斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍， 所以原图形的面积. 13. 若复数是纯虚数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是纯虚数，所以且，解得. 14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果． 【详解】设，， 则， 设，， 则， 又不共线，故，解得，则． 四、解答题：本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，根据向量平行得到方程，求出答案； （2）计算出，根据向量模长得到方程，求出，由向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 ， ，故，解得； 【小问2详解】 ， ，故，解得， 所以， . 16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 17. 某无人机测绘队对一块不规则平地进行测量，规划修建步道． 测量数据如下： 1．测量得区域面积为，内角； 2．测得线段，且另一侧； 3．经地形分析，是的角平分线，即． （1）计算必经步道的长度； （2）计算区域内的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式求出边长，再结合余弦定理计算的长度； （2）在中利用正弦定理求出，根据角平分线性质得到，最后在中利用正弦定理求解. 【小问1详解】 因为 ，、、， 所以，解得 . 又因为 ，代入、、， 所以 ， 因此 . 【小问2详解】 在中， ，代入、、， 所以，解得. 因为平分，所以，故， 在中，已知 ，由正弦定理：， 代入、、， 所以，解得. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安第一中学 2025~2026学年第二学期高一年期中考试卷 数学 考试时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某圆锥的底面半径是2，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ） A. B. 2 C. D. 7. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部为4 B. C. 复数z的共轭复数 D. 10. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则有两解 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____． 13. 若复数是纯虚数，则的值为__________. 14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 四、解答题：本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求． 16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 17. 某无人机测绘队对一块不规则平地进行测量，规划修建步道． 测量数据如下： 1．测量得区域面积为，内角； 2．测得线段，且另一侧； 3．经地形分析，是的角平分线，即． （1）计算必经步道的长度； （2）计算区域内的正弦值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $