第2节　两直线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 课标要求 1.两条直线的位置关系 直线l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，l3:A1x＋B1y＋C1＝0，l4:A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表: 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 _________________ ____________________________ (或B1C2-B2C1≠0) 垂直 ____________ _________________ 相交 ____________ ___________________ k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的______坐标. 交点 3 (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 ______ 直线l1与l2的公共点的个数 一个 _________ 零个 直线l1与l2的位置关系 ______ 重合 ______ 无解 无数个 相交 平行 4 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1:Ax＋By＋C1＝0，l2:Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d ＝. 5 常用结论与微点提醒 1.四种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y). (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b的对称点为(x，2b－y). (4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x). 6 常用结论与微点提醒 2.若直线l1∥l2，则k1＝k2或者k1，k2都不存在;若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1或者k1，k2一个为0，一个不存在. 3.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地，在两平行线间的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等. 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)如果两条直线l1与l2平行，则它们的倾斜角和斜率分别相等.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　) (1)倾斜角相等，但当两直线都与x轴垂直时，斜率均不存在. (2)当l1⊥l2时，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在，不满足题意. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × × √ 8 2.(人教A选修一P102T1(3)原题)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　) A.3x＋4y－5＝0 B.3x＋4y＋5＝0 C.3x－4y＋5＝0 D.3x－4y－5＝0 B 直线3x－4y＋5＝0的斜率是， 与x轴交点为， 因此它关于x轴对称的直线方程是y＝－，即3x＋4y＋5＝0. 9 3.(苏教选修一P27T2改编)以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 B 由A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)可得 kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝， 从而kAB·kAC＝－1， 即AB⊥AC，∠A为直角. 10 4.(人教B选修一P100T2改编)已知点B(m，6)到直线y＝3x＋6的距离为3，则实数m的值为____________.  直线化为3x－y＋6＝0， d＝＝3， 解得m＝±. ± 11 例1 已知直线l1:ax＋2y＋6＝0和直线l2:x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行; 考点一　两直线的平行与垂直 法一　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， 所以l1∥l2，得 得可得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2;当a≠－1时，l1与l2不平行. 法二　当a＝1时，l1:x＋2y＋6＝0，l2:x＝0，l1不平行于l2; 当a＝0时，l1:y＝－3，l2:x－y－1＝0， l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1: y＝－x－3，l2:y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔ 解得a＝－1， 综上，当a＝－1时，l1∥l2;当a≠－1时，l1与l2不平行. (2)当l1⊥l2时，求a的值. 法一　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝. 法二　当a＝1时，l1:x＋2y＋6＝0，l2:x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立; 当a＝0时，l1:y＝－3，l2:x－y－1＝0， l1不垂直于l2，故a＝0不成立; 当a≠1且a≠0时，l1:y＝－x－3，l2:y＝x－(a＋1)， 由·＝－1，得a＝. 感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 训练1 (1)(2026·南充诊断)“m＝1”是“直线l1:x＋(m＋1)y＋1＝0与直线l2: (m＋1)x－my－1＝0垂直的”(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A l1与l2垂直等价于(m＋1)×1＋(m＋1)(－m)＝(m＋1)(1－m)＝0，得m＝±1， 所以“m＝1”是“直线l1:x＋(m＋1)y＋1＝0(A1，B1不同时为0)与直线l2:(m＋1)x－my－1＝0(A2，B2不同时为0)垂直”的充分不必要条件.故选A. (2)使三条直线x＋y＝2，mx＋y＝0，x－y＝4不能围成三角形的实数m的值为 ____________.  当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形. 若三条直线交于一点，由得交点坐标为(3，－1)， 把(3，－1)代入到直线mx＋y＝0，得m＝; 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为－1，－m，1， 所以m＝1或m＝－1. 或1或-1 例2 (1)(2026·广州模拟)若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. A 考点二　两直线的交点与距离问题 即交点为， 因为交点在第一象限， (2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为____________.  法一　y＝k(x＋1)化为kx－y＋k＝0， 则点(0，－1)到直线kx－y＋k＝0的距离为 d＝＝， 当k＝0时，d＝1;当k≠0时，d＝， 要使d最大，需k>0. 当k>0时，d≤， 当且仅当k＝，即k＝1时最大距离为. 法二　设点A(0，－1)，直线l:y＝k(x＋1)， 由l恒过定点B(－1，0)， 当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为. 感悟提升 1.求两直线的交点，通常情况下解由两直线方程组成的方程组即可.若已知交点坐标求直线方程中的参数，直接代入交点坐标即可.若判断交点所在象限，可根据各象限内点的横、纵坐标的特点确定. 2.利用距离公式应注意:(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|;(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为对应相等. 训练2 (1)(多选)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值可能是(　　) A.2 B.-2 C.6 D.-6 AD 由题意得≠，∴a＝－4，c≠－2， 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0. 由两平行线间的距离公式得， 即＝2，解得c＝2或c＝－6. (2)经过两直线l1:2x－y＋3＝0与l2:x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0 C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0 D 法一　由 所以直线l1与l2的交点为(－1，1)， 设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)， 所以3×(－1)＋2×1＋m＝0， 解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 法二　设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0， 即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0， 又该直线与3x＋2y＋7＝0平行， 故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0， 解得λ＝， 故所求直线方程为x＋y＋3－＝0， 即3x＋2y＋1＝0. 1.所谓直线系方程，是指满足某种特征的直线方程的全体.在求与已知直线平行或垂直的直线方程，或过两已知直线交点的直线方程时，利用相应的直线系方程能简化解题过程，提高解题效率. 2.直线系方程的设法 (1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零); (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0); (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0; 直线系方程 微点突破 (4)过两条已知直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0和l2:A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. (这个直线系方程不包括直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意) (5)到点(x0，y0)的距离为定值d的直线系方程(x－x0)cos θ＋(y－y0)sin θ＝d. 典例 (1)过两直线l1:x－3y＋4＝0和l2:2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0 C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0 D 设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0， 代入原点坐标，得4＋5λ＝0， 解得λ＝－， 故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0， 即3x＋19y＝0. (2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为______________.  x-2y=0 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0. 又直线过点A(2，1)， 所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0， 故所求直线方程为x－2y＝0. (3)已知定点P(－2，－1)和动直线l:(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，则P到直线l的距离最大值为____________.  将原直线l整理成关于λ的一元一次方程， 即(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0， 联立 解得 即直线l恒过Q(1，1). 如图，P到直线l的距离d≤|PQ|＝. 角度1　关于点对称 例3 (1)(2026·南京模拟)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为__________.  考点三　对称问题 3x-2y-2=0 法一　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点， 因为点在直线3x－2y＝0上， 所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0， 所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 法二　在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)， 设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'， 则O'，M'， 所以所求直线方程为， 即3x－2y－2＝0. (2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1:2x＋y－8＝0和l2:x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l方程为__________________.  设l1与l的交点为A(a，8－2a). 由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. x+4y-4=0 角度2　关于线对称 例4 (1)直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C.x＋y－2＝0 D.x＋y＋2＝0 C 直线y＝x与直线x＝1交于点A， 所以直线l的斜率为－且过点A， 所以直线l的方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l:x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________.  设点M(－3，4)关于直线l:x－y＋3＝0的对称点为M'(a，b)，则反射光线所在直线过点M'， 所以解得a＝1，b＝0. 又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为， 即6x－y－6＝0. 6x-y-6=0 感悟提升 对称问题的类型和处理方法 (1)点关于点对称:利用中点坐标公式找关系求解. (2)直线关于点对称 ①在已知直线上任取两点，利用点关于点对称，求出对称点坐标，利用两点式求出直线方程; ②在已知直线上任取一点，求其对称点，利用关于一点对称的两条直线平行，求出直线方程. 感悟提升 (3)直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则可在直线上任取一点，求出该点关于对称轴的对称点，然后用点斜式求出直线方程. ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后取直线上除交点外一点，求该点关于对称轴的对称点，最后利用两点式求出直线方程. 训练3 已知直线l:2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; 设A'(x，y)， (2)直线m:3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程; 在直线m上取一点，如M(2，0)， 则M(2，0)关于直线l的对称点必在m'上. 设对称点为M'(a，b)， 设m与l的交点为N， 则由 得N(4，3).又m'经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m'的方程为 9x－46y＋102＝0. (3)直线l关于点A对称的直线l'的方程. 法一　在l:2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1，1)，N(4，3)， 则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上. 易知P'(－3，－5)，N'(－6，－7)， 由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0. 法二　设Q(x，y)为l'上任意一点， 则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 Q'(－2－x，－4－y). ∵Q'在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即直线l'的方程为2x－3y－9＝0. 一、单选题 1.直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为(　　) A.(0，1) B.(0，－1) C.(1，0) D.(－1，0) C 联立 2.(2026·济南模拟)若直线l1:(m－2)x＋3y＋3＝0与直线l2:2x＋(m－1)y＋2＝0平行，则m＝(　　) A.4 B.－4 C.1或－4 D.－1或4 D 因为直线l1与l2平行， 所以(m－2)(m－1)＝3×2且(m－2)×2≠2×3， 解得m＝－1或m＝4.故选D. 3.已知点(a，2)(a>0)到直线l:x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B.2－ C.－1 D.＋1 C 依题意得＝1， 解得a＝－1＋(a＝－1－舍去). 4.四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　) A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.直角梯形 D 由kBC＝，kAD＝，kAB＝＝－，kCD＝＝－， ∵kBC＝kAD，kAB≠kCD， ∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形， 又∵kAD·kAB＝－1， ∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形. 5.(2026·成都诊断)直线l1，l2分别过点M(1，4)，N(3，1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是(　　) A.5 B.4 C. D.3 C 连接MN，当直线l1，l2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值， 则dmax＝|MN|＝. 6.经过点P(1，0)和两直线l1:x＋2y－2＝0，l2:3x－2y＋2＝0交点的直线方程为(　　) A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y＋1＝0 D.x＋y＋1＝0 B 设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0， 点P(1，0)在直线上， ∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝， ∴所求直线方程为x＋2y－2＋×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. 7.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程为(　　) A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0 C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0 A 运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x轴的对称点为(1，－2)，又(1，－2)与(5，2)在同一条直线上， 运用两点式得到入射光线所在的直线方程为， 整理得x－y－3＝0. 则入射光线所在的直线方程为x－y－3＝0. 8.已知直线l1:x＋y＝0，l2:2x－3y－6＝0，则下列说法正确的是(　　) A.直线l1与l2相交于点 B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为 C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x－3y＋6＝0 D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x－2y＋6＝0 C 所以交点坐标为，所以A选项错误; 直线l2:2x－3y－6＝0与x轴的交点为(3，0)， 与y轴的交点为(0，－2)，直线l1过原点，由图可知， 直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×， 所以B选项错误; 由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点(－3，0)，(0，2)，所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y－2＝(x－0)，即2x－3y＋6＝0，所以C选项正确; 点(3，0)关于直线x＋y＝0的对称点是(0，－3)，点(0，－2)关于直线x＋y＝0的对称点是(2，0)，所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为＝1，即3x－2y－6＝0，所以D选项错误. 二、多选题 9.点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的轨迹方程可能是(　　) A.32x－56y＋65＝0 B.4x－8y＋9＝0 C.7x＋4y＝0 D.x－4y＋4＝0 AC 由点到直线距离公式得， 整理得32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0. 10.已知直线l:(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(　　) A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C.直线l过定点(0，1) D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 AC 对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，正确; 对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1×(－1)， 解得a＝0或a＝－1，不正确; 对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线过定点(0，1)，正确; 对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴，y轴上的截距分别是－1，1，不正确. 11.(2026·苏北四市调研)已知直线l:2x－y＋3＝0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1－m，m)，m∈R，下列说法正确的是(　　 ) A.点P到直线l的距离为 B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m> C.点P与点Q之间距离的最小值为 D.|QR|＋|QP|的最小值为2 ABD 点P到直线l的距离d＝，A正确; 将点P(1，1)代入直线方程得2－1＋3＝4>0， 又点P与点Q位于直线l的两侧，则将点Q(1－m，m)代入直线方程得2－2m－m＋3<0，即m>，B正确; |PQ|＝＝≥， C错误; ∵1－m＋m＝1，∴点Q在直线l1:x＋y－1＝0上，斜率k＝－1，过点P作直线l'⊥l1于点D，如图所示， 则l':x－y＝0，联立方程组 解得x＝y＝，即D， ∴点P关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR与l1的交点为Q，此时|QR|＋|QP|最小， 则(|QR|＋|QP|)min＝|OR|＝2，D正确. 三、填空题 12.(开放题)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3可围成三角形，则a的取值可以是_______________.  直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此要满足条件，只需直线x＋ay＝3与另两条直线均不平行，所以a≠±1. 2(a≠±1即可) 13.请运用数形结合的思想，得出函数y＝的最大值为____________.  因为y＝， 2 所以它表示点P(x，0)到点A(2，7)和B(4，3)的距离之差，如图所示， 因为|PA|－|PB|≤|AB|＝＝2， 当且仅当P，B，A三点共线时，等号成立， 所以y＝的最大值为2. 14.如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，点A与坐标原点重合，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，将矩形折叠，使点A落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k，则折痕所在直线的方程为______________________.  当k＝0时，点A和点D重合，此时折痕所在直线的方程为y＝; 当k≠0时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点设为G(a，1)(0<a≤2)， 所以点A与点G关于折痕所在的直线对称， 所以kOG×k＝－1，即×k＝－1， 2kx-2y+k2+1=0(-2≤k≤0) 解得a＝－k，故G(－k，1)(－2≤k<0)， 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标为， 所以折痕所在直线的方程为y－＝k， 即y＝kx＋(－2≤k<0). 综上所述，折痕所在直线的方程为2kx－2y＋k2＋1＝0(－2≤k≤0). 由 所以得－<k<.故选A. 则 解得即A'. 则 解得即M'. 由 $