精品解析：山东淄博市张店区第八中学2025-2026学年山下学期八年级期中数学（五四学制）

2025-2026学年山东省淄博市张店八中初三下册期中数学 一．选择题（共10小题） （2025春•海陵区期末） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. （2025春•海陵区期末） 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 （2023春•嘉祥县月考） 3. 已知，那么的值是（ ） A. -6 B. -9 C. 9 D. 6 （2019•新泰市一模） 4. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A. 1或﹣1 B. ﹣1 C. 1 D. （2024秋•淮安期末） 5. 若，则下列式子中正确的是（　　） A. B. C. D. （2025秋•玄武区期末） 6. 如图，，，交于点，，分别在，上，连接，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （2026春•太湖县月考） 7. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 （2023•开封模拟） 8. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 （2022秋•仪征市期中） 9. 关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 无法求解 （2024春•桓台县期末） 10. 如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） （2025•安徽模拟） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． （2025秋•扬州期末） 12. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______cm． （2025秋•徐州期末） 13. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点D，E，图中阴影部分的面积为__________． （2024秋•沙市区期中） 14. 若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是______． （2025春•高青县期末） 15. 矩形中，点是的中点，于点，若，，则的长度是__________． 三．解答题（共8小题） （2012秋•东台市校级月考） 16. 解下列方程： （1）； （2）． （2025秋•淮阴区期末） 17. 如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ （2025秋•锡山区期末） 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． （2025秋•宝山区校级月考） 19. 已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，求证：． （2025秋•扬州期末） 20. 定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． （1）若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； （2）已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． （2025春•通州区期末） 21. 如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． （2024秋•荷塘区期中） 22. 阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）材料理解：__________，__________． （2）类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． （3）思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． （2025秋•仪征市期末） 23. （1）【合作探究】如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，连接，点B为的延长线上一点，连接，使得，若，，求的长度； （3）【学以致用】如图3，在四边形中，，，点D为上一点，，，若，且，则________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市张店八中初三下册期中数学 一．选择题（共10小题） （2025春•海陵区期末） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． （2025春•海陵区期末） 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题判断命题的真假，涉及特殊四边形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合相应四边形的定义或判定条件． 【详解】A．一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，而选项中另一组对边仅“相等”不满足条件（如等腰梯形），故为假命题，不符合题意． B．菱形的判定需对角线互相垂直且平分，或四边相等．选项仅满足对角线垂直，无法保证是菱形（如对角线垂直但不对称的风筝形），故为假命题，不符合题意． C．平行四边形的对角线必然互相平分，但矩形需满足对角线相等．选项未增加新条件，仅重复平行四边形性质，故为假命题，不符合题意． D．三个角为直角说明四边形是矩形，矩形对角线互相垂直时必为正方形（因对角线相等且垂直的矩形是正方形），故为真命题，符合题意． 故选：D． （2023春•嘉祥县月考） 3. 已知，那么的值是（ ） A. -6 B. -9 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由于和中的被开方数互为相反数，根据二次根式的性质可以得到，由此即可分别求出、的值，然后再求出的值． 【详解】解：与互为相反数，而， 且， ∴， 解得， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及函数解析式，利用二次根式的非负性确定、的值是解题的关键，然后代入数值计算即可解决问题． （2019•新泰市一模） 4. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A. 1或﹣1 B. ﹣1 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值． 【详解】∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0， ∴a2﹣1=0且a﹣1≠0 解得：a=1或﹣1，且a≠1． ∴a=﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的定义和解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意a﹣1≠0． （2024秋•淮安期末） 5. 若，则下列式子中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ， 故A选项不符合题意； B、， ， 故B选项不符合题意； C、， ， ， 故C符合题意； D、， ， ， 故D不符合题意； 故选：C． （2025秋•玄武区期末） 6. 如图，，，交于点，，分别在，上，连接，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正确找出相似三角形是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． （2026春•太湖县月考） 7. 规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目给出的新运算规则整理得到关于的方程，再根据一元二次方程二次项系数不为和列式运算即可； 【详解】解：∵， 展开计算， ∴， 整理得：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴该方程为一元二次方程，因此二次项系数，且根的判别式， ∵，，， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为 且． （2023•开封模拟） 8. 如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得，设，则，，利用勾股定理列方程求得，可得，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质得，， 设，则， ∴， 在中，， 解得，（舍）， ∴，， 设，则，， 在中，， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解一元二次方程及一元一次方程，利用勾股定理列方程是解题的关键． （2022秋•仪征市期中） 9. 关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 无法求解 【答案】A 【解析】 【分析】变号后将转换成利用整体思想解题即可． 【详解】解：∵可转化为，方程的解是，， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的运用，能够熟练运用整体思想是解题关键． （2024春•桓台县期末） 10. 如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、， 在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 二．填空题（共5小题） （2025•安徽模拟） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． （2025秋•扬州期末） 12. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______cm． 【答案】10.4 【解析】 【分析】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． （2025秋•徐州期末） 13. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点D，E，图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明出，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． （2024秋•沙市区期中） 14. 若关于x的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的两根互为相反数，那么其两根之和为0，构建方程求出即可． 【详解】解：设是一元二次方程的两根， ∴ ∵关于x的一元二次方程的两根互为相反数， ∴， 解得：或， ∵两根互为相反数， ∴， ∴两根之积是， 故答案为： （2025春•高青县期末） 15. 矩形中，点是的中点，于点，若，，则的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，先证明，推出 ，证明 ，再根据相似三角形的性质，求出的长度． 【详解】解：延长、交于点， 点是的中点，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 三．解答题（共8小题） （2012秋•东台市校级月考） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 变形得： ，即， 开方得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． （2025秋•淮阴区期末） 17. 如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 【答案】（1）相似，理由见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题的关键． （1）根据得出，进而得出； （2）由，得到比例式，代入数值即可求得结果． 【小问1详解】 解：与相似， 理由：， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵，， ， ． （2025秋•锡山区期末） 18. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． （2025秋•宝山区校级月考） 19. 已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用平行线的判定和性质求得，证明，，推出，，由，即可证明； （2）同理，，求得，变形即可证明结论成立． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2025秋•扬州期末） 20. 定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． （1）若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； （2）已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． （2025春•通州区期末） 21. 如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）连接，交于点，根据正方形的性质得到，，，求得，根据菱形的判定定理得到平行四边形是菱形； （2）根据正方形的性质得到，设，根据勾股定理得到，解得，（舍，求得，，根据菱形的面积公式得到． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍）， ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ． （2024秋•荷塘区期中） 22. 阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积．根据上述材料，解决以下问题： （1）材料理解：__________，__________． （2）类比应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值． （3）思维拓展： 已知实数s，t满足：，，且，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）直接根据根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由进行求解即可； （3）先推出，进而得到，则可推出是关于x的方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到，进而推出，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵实数a，b满足：，且， ∴实数a，b是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （2025秋•仪征市期末） 23. （1）【合作探究】如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，求证：； （2）【内化迁移】如图2，在中，连接，点B为的延长线上一点，连接，使得，若，，求的长度； （3）【学以致用】如图3，在四边形中，，，点D为上一点，，，若，且，则________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边对等角，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和已知条件可证明，再由，可证明； （2）由平行四边形的对角相等和已知条件可证明，则可证明，得到，据此代入求值即可； （3）过点A作于F，可证明，推出；设，则，进而可得；证明，可得，则，可得，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 设， ∴， ∵，且， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $