精品解析：山东省淄博市张店区第八中学2024--2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

张店八中初三年级数学阶段性测试 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形、平行四边形、正方形、矩形的判定定理，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，根据菱形定义，邻边相等的平行四边形即为菱形； B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足此条件，但并非平行四边形，故此判断错误； C. 有一个角是直角的菱形是正方形，正确，菱形四边相等，若有一个直角，则四个角均为直角，符合正方形定义； D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，对角线互相平分说明为平行四边形，加上对角线相等即为矩形； 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：， 直线被所截得线段， 直线被所截得线段， ，，， 无法证明A成立，故A选项符合题意， 故选： A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要分别求出线段和线段的长度，进而求出相似比，得到两个三角形的面积之比，根据的面积为1，即可求解的面积； 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，, ∴， ∵的面积为1， ∴的面积为5； 故选：D； 7. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 8. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据矩形的性质，角平分线的定义得到，设，则，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， 故选：D ． 10. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三线合一，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，是等腰三角形，，根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵点中点，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小， ∴， 故选：C ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与位似，以原点O为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 13. 如图，点把线段分成两部分，且为与的比例中项（即点是线段的黄金分割点）．如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论． 【详解】解：∵点把线段分成两部分，且为与的比例中项， ∴：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为的边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、，若，则________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用相似三角形的判定和性质求出的面积即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 15. 如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，．若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，两点间线段最短，矩形的性质等知识，关键是通过相似，把转化为线段．延长到G，使，连接，则可证明，从而得；则，当点E在线段上时，取得最小值，在中，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，； 如图，延长到G，使，连接， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴， 当点E在线段上时，取得最小值，从而取得最小值； ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴取得最小值为，即； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共计90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）计算： （2）计算：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再运算即可； （2）先去括号，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）． （1）4+5 　 　2 8+　 　2 5+5 　 　 （2）通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明． 【答案】（1），， （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）计算两边式子的值，然后比较大小即可； （2）根据所给式子，进行归纳，写出规律，利用完全平方公式证明即可． 【小问1详解】 解：，， ∵ ∴； ，， ∴； ，， ∴； 故答案：，， 【小问2详解】 解：观察式子可得，规律为： ，化简可得 ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的有关运算，实数大小的比较，以及完全平方公式的应用，解题的关键是理解题意，正确找到式子的规律． 18. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得出，进而得出，由得出，得到，进而利用相似三角形的判定即可证明结论； （2）由（1）得，进而得出，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ． 19. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； （2）化简：； （3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【小问1详解】 解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 20. 如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键. （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ． ∴ 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴ ． ∴ ． ∵． ∴． 在中，， ∴． 21. 在矩形中，，点G为边上一点，，于点E， （1）求证； （2）求证E是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，进而可证明； （2）根据相似三角形的性质求出的长是解答本题的关键． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴E是的中点． 22. 如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查正方形的判定定理及性质定理，平行线分线段成比例，勾股定理，相似三角形的判定及性质． （1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得，即可得到结论； （2）作于，交于，根据的面积为，求出，，，设，则，，由证得，即可求出． 【小问1详解】 证明：，，， 四边形为矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，而， ， 四边形为正方形； 【小问2详解】 解：作于，交于，如图， 的面积，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，得， 即的长为． 23. 如图，E为正方形内部一点，且，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）作于点G，交于点H， 用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，作于，由，可得，由，可得，进而结论得证； （2）证明四边形是矩形，则，如图2，将绕着点逆时针旋转到，连接交于，由旋转可知，，，，，，可求，，即三点共线，设，则，，，，，则，由，可得，则，． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴， 如图1，作于， 图1 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下； ∵正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图2，将绕着点逆时针旋转到，连接交于， 图2 由旋转可知，，，，，， ∴，， ∴三点共线， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 张店八中初三年级数学阶段性测试 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 有一个角是直角的菱形是正方形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 5 7. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 10 10. 如图，在四边形中，，是对角线中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是________． 13. 如图，点把线段分成两部分，且为与比例中项（即点是线段的黄金分割点）．如果，那么________． 14. 如图，为的边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、，若，则________． 15. 如图，矩形，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，．若，则的最小值为________． 三、解答题（本题共8小题，共计90分．请把解答过程写在答题纸上） 16 （1）计算： （2）计算：； 17. 比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）． （1）4+5 　 　2 8+　 　2 5+5 　 　 （2）通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明． 18. 如图，在中，于点． （1）求证：； （2）若，求． 19. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； （2）化简：； （3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 20. 如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 21. 在矩形中，，点G为边上一点，，于点E， （1）求证； （2）求证E是中点． 22. 如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 23. 如图，E为正方形内部一点，且，的延长线交于点F． （1）求证：； （2）作于点G，交于点H， 用等式表示线段的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$