精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期中模拟考试（三）

方城县第一高级中学2026年高一年级下学期期中模拟考试（三） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得结果. 【详解】由三角函数定义可得. 故选：A. 2. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形弧长公式和面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 因为扇形的圆心角为，弧长为， 所以，解得. 所以该扇形的面积为. 故选：C. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 第一象限角一定是锐角 B. 若是钝角，则是第一象限角 C. 大于的角一定是钝角 D. 若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 5. 已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出,然后数形结合可得a的范围． 【详解】由,正弦定理可得； ∵这样的三角形有且只有一个,∴或； 故选C． 【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形解的情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题． 6. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 7. 已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有：  解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 8. 如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点， 设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的周期性和最小值可求得，利用函数的对称性，单调性和图象性质即可求解. 【详解】由图可知，， 因为解得，所以， 又因为， 所以,解得， 因为，所以，所以， ，所以的图象不关于点中心对称，A错误； 解得, 所以当时，，所以在区间上单调递增，B正确； ，所以的图象不关于直线对称，C错误； 令即， 所以或， 即或， 因为，所以满足条件的所有的值为 所以所有交点的横坐标之和为，D正确， 故选:BD. 11. 如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 和表示 B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算和基本定理，结合投影向量定义、二次函数性质求解即可. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，因OM交AC于N，设， 则由选项A知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即，B错误； 对于C，设， ， 又有， 所以向量在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，由已知， 因D是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为，即， 因为在上单调递增， 所以当时，，当时， 所以的取值范围是，D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 13. 已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，再由函数在区间上单调，求出的取值范围，即可求出的取值集合，从而求出的最大值； 【详解】满足， ，即， ， 在上单调， ，即， 当时最大，最大值为 故答案为： 14. 如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为_________________. 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析： 考点：向量数量积 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线. 【答案】（1）； （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . 【小问2详解】 因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 16. 已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象变换规律得到的解析式； （2）作出在上的图象，借助图象求出的范围. 【小问1详解】 将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得， 再把横坐标缩短为原来的，得， 再向右平移个单位长度，得， 则. 【小问2详解】 函数，当时， ，， 函数的图象如下： 要使方程在区间上恰有两个实数根， 等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点， 由图可知． 17. （1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解； （2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值. 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 18. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出，再由是锐角三角形，即可算出角的大小； （2）由余弦定理的式子，结合题意化简得，与联解得到的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得的面积． 【详解】解：（1）中，， 根据正弦定理，得， 锐角中，， 是锐角的内角，； （2），， 由余弦定理，得， 化简得， ，平方得， 两式相减，得，可得． 因此，的面积． 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19. .在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. （1）求角； （2），求边上的中线的最小值； （3）已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角； （2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值； （3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解； 【小问1详解】 在中，据正弦定理可将题设条件化为： 即，又据余弦定理： 可知， 又，故. 【小问2详解】 是的中点, ; 当且仅当时取等号，故. 所以边的中线的最小值是. 【小问3详解】 依题可知，； ，，共线，，，共线，则有， ； 两式对比可得； 故； 点为三角形的重心， 则； 又因的面积为，故； 则可得； 可得， ， 因为是锐角三角形，则为锐角， 故有， 可得， 同理为锐角，故有，可得， 可得， 设，则， 则有，当时，易知该对勾函数单调递增， 则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026年高一年级下学期期中模拟考试（三） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 第一象限角一定是锐角 B. 若是钝角，则是第一象限角 C. 大于的角一定是钝角 D. 若是锐角，则是第二象限角 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 直线与图象的所有交点的横坐标之和为 11. 如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 和表示 B. C. 向量在方向上的投影向量为 D. 的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 13. 已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________. 14. 如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为_________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线. 16. 已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． （1）求函数的解析式； （2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 17. （1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 18. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 19. .在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. （1）求角； （2），求边上的中线的最小值； （3）已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $