精品解析：河南新乡市部分民办高中2025—2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年下学期期中考试 高一数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意， . 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积. 【详解】如图，的直观图是，则， 则的面积为. 故选：C. 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可求投影向量. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故选：A. 4. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ） A. 32 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 5. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得. 【详解】由正弦定理得，得． 故选：A. 6. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算即可. 【详解】 为的中点， ， . 故选：A. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解. 【详解】由余弦定理， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 又，解得或， 又，所以，则， 所以. 故选：C 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【分析】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数，则 C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数的相关概念及几何意义逐项判断可得答案. 【详解】. 对于A，z在复平面内对应的点为，位于第三象限，A错误； 对于B，因为，所以，所以，B正确； 对于C，z的共轭复数为，C错误； 对于D，的虚部为，D正确. 故选:BD. 10. （多选题）下列说法错误的是（ ） A. 斜棱柱的侧棱垂直于底面 B. 正棱柱的高可以与侧棱不相等 C. 六个面都是矩形的六面体是长方体 D. 底面是正多边形的棱柱为正棱柱 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据棱柱的性质可得 【详解】A.斜棱柱的侧棱与底面不垂直，故A错误； B.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故B正确； C. 根据长方体的定义，六个面都是矩形的六面体是长方体，故C正确； D. 正棱柱的定义是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱（即直棱柱），选项D的描述缺少“侧棱垂直于底面”或“是直棱柱”的条件，故D错误． 11. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则的最小值为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断A，B，C，根据复数的模结合三角不等式即可判断D. 【详解】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理： ， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以，即，故C正确； 对D：因为，所以， 即时取最小值1，故D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，由复数为纯虚数，即实部为零即可求解. 【详解】由，所以， 因为复数为纯虚数，所以，即. 故答案为：. 13. 已知向量，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再由根据向量平行的坐标性质后可求出的值. 【详解】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 14. 彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理可得，再由可得答案. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得，可得， 在直角三角形中，， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求； （2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设出复数的代数形式，结合已知列出方程组，求解并验证即得. （2）利用复数代数形式的加减乘运算求出，再借助几何意义列出不等式组求解即得. 【详解】（1）设， 由，且，得，解得， 而复数在复平面内对应的点在第一象限，， 所以. （2） ， 由复数在复平面内对应的点在第二象限，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 如图所示，在中，． （1）用表示； （2）若，证明：三点共线． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据平面向量共线定理证明与共线，即可得证. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 即与共线，因为与有公共点B，所以三点共线． 17. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. 【小问1详解】 由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. 【小问2详解】 依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）若，设为的中点，且，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）正弦边角关系有，结合三角形内角的性质、三角恒等变换化简得，即可求解； （2）由题意，应用向量数量积的运算律、定义得，由余弦定理得，进而可得，即可得周长. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得， 即， ∴，又，所以，从而. 【小问2详解】 ∵为的中点，∴，两边平方可得， 即①， 在中，由余弦定理得②， 由①②可得，，，所以，即. 所以的周长为. 19. 如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求： （1）该三棱锥的体积与表面积； （2）蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）体积为，表面积为； （2）. 【解析】 【分析】（1）将△当作底面，将当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求得三棱锥的体积；再由求出各个面的面积，由面积公式可得三棱锥的表面积； （2）将△与延展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接，再由余弦定理即可求得最短值. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又，VB、VC在面VBC内，得面， ， 【小问2详解】 如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长， △中，， 由余弦定理可得：， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期中考试 高一数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（    ） A. B. C. D. 2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ） A. 32 B. C. D. 5. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. z在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若复数，则 C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 10. （多选题）下列说法错误的是（ ） A. 斜棱柱的侧棱垂直于底面 B. 正棱柱的高可以与侧棱不相等 C. 六个面都是矩形的六面体是长方体 D. 底面是正多边形的棱柱为正棱柱 11. 在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则的最小值为6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 13. 已知向量，．若，则______． 14. 彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求； （2）已知复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 16. 如图所示，在中，． （1）用表示； （2）若，证明：三点共线． 17. 已知平面向量． （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求角的大小； （2）若，设为的中点，且，求的周长. 19. 如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求： （1）该三棱锥的体积与表面积； （2）蚂蚁爬行的最短路线长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $