精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2026年春期高一年级期中考试 数学学科 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， . 2. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义及诱导公式可得答案. 【详解】由三角函数的定义，有. 由诱导公式，. 故选：B. 3. 已知的三边长分别为1，4，，则最大的内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断得到为最大角，利用余弦定理表示出，把三边长代入求出的值，即可确定出的度数． 【详解】设1，4，所对角分别为A,B,C,由三角形中大边对大角，则最大角为C， 则，,则该三角形最大内角为． 故选：B． 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 7. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角 B. 若为第二象限角，则为第四象限角 C. 终边经过点的角的集合是 D. 若一扇形的圆心角为，圆心角所对应的弦长为，则此扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，取内角为直角时，即可判断出正误；对于B，根据条件可得，，即可求解；对于C，分和两种情况讨论角的集合，即可求解；对于D，根据条件得到，再利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】对于选项A，当三角形其中一个内角为直角时，该角终边不在任何象限，故选项A错误， 对于选项B，因为为第二象限角，所以，， 所以，，则，， 所以为第四象限角，故选项B正确， 对于选项C，当时，终边经过点的角的集合是， 当时，终边经过点的角的集合是，故选项C错误， 对于选项D，由题意可得，扇形的半径，所以扇形面积为，故选项D正确， 故选：BD. 10. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于,A，举反例即可；对于B，由数量积的定义判断即可；对于C，两边平方化简即可；对于D，与的夹角为锐角，则，且与不共线 【详解】当，在方向上的投影相同时，显然不一定成立，A错误； 若，则向量夹角或，与同向或反向，共线，B正确； 若，两边平方得，，即，C正确； 若因为，，所以， 因为与的夹角为锐角，则，且，所以D不正确. 故选：BC 11. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假. 【详解】由.得.解得（舍去）或. 因为、均为单位向量.则，故正确. ，故错误. ，当且仅当时取等号，故正确. 由.则，所以，整理得，即.故正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，，. 又， 由正弦定理，得 . 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知 ，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得. 【详解】因为，且，， 故，则由余弦定理可得， 又，故. 14. 函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得。 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，, ,代入得. ... 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知终边上一点 ，且 ，求的值. （2）已知角的终边过点 ，求的值. 【答案】（1）（2）若，则；若，则． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义，由终边上点的坐标表示出，与已知条件联立方程解得，再代入定义式求出； （2）先由点的坐标算出，依据的符号分类讨论以确定角所在的象限和三角函数的正负号，再由定义求出和的值，最后代入给定的线性表达式完成计算. 【详解】（1）由题意知，由三角函数定义得． 又, ，，, 所以． （2）， ①若，则，角是第二象限角， 所以，所以． ②若，则，角是第四象限角，所以． 所以． 综上，若，则；若，则． 16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 若，，则. 【小问3详解】 由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式； （2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间. 【小问1详解】 由图形可知，，得 过点，，即， ， 函数的解析式 【小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度， 得到的图象， 即， 由，得 所以的对称中心为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 18. 设分别为三个内角的对边，且 （1）求角的大小； （2）已知，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 根据余弦定理可得，即， 所以代入可得， 化简可得， 由正弦定理可得 ， 因为是的内角，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理可得， 代入可得，化简可得，即， 因为，所以， 因此. 19. 已知函数，其中. （1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数相邻对称轴间距为半个周期，求出的最小正周期，再代入周期公式求解. （2）先通过平移变换得到的解析式，利用零点条件结合确定，再求出的所有零点，结合恰有8个零点的条件，找到区间的最小长度. （3）分别求出和在上的值域，根据“任意存在使得”等价于的值域包含于的值域，列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 因为两个相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得. 【小问2详解】 由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，，或，， 得，或，， 因为，所以， 所以. 所以的最小正周期为. 令，则， 所以，或，， 得，或，. 因为函数在（且）上恰好有8个零点， 要使最小，需找到跨度最小的连续个零点. 的零点为，或，. 通过比较不同起始零点的连续个零点区间的长度， 区间的长度为， 区间的长度为， 所以的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知， 设在上的值域为A，在上的值域为B， 因为对任意，存在，使得成立， 所以. 当时，，所以， 所以，所以. 当时，，所以， 所以，，所以， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高一年级期中考试 数学学科 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 0 D. 2. 已知角的终边上有一点，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 已知的三边长分别为1，4，，则最大的内角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 3 6. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若角是三角形的一个内角，则角必是第一、二象限角 B. 若为第二象限角，则为第四象限角 C. 终边经过点的角的集合是 D. 若一扇形的圆心角为，圆心角所对应的弦长为，则此扇形的面积为 10. 设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，则__________. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，已知 ，则_____ 14. 函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，.则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知终边上一点 ，且 ，求的值. （2）已知角的终边过点 ，求的值. 16. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标； （3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式. （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间. 18. 设分别为三个内角的对边，且 （1）求角的大小； （2）已知，，求的面积. 19. 已知函数，其中. （1）若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值； （2）若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $