4.4对数函数导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习导学案系统梳理了对数函数专题，将概念、图像与性质、图像变化规律及与指数函数的关系等核心考点按逻辑层次构建知识网络，通过“知识点梳理+类型应用”的问题链设计，引导学生从定义出发自主推导性质，形成对数函数的完整认知框架。 亮点在于诊断性变式训练和情境化应用设计，如每个类型配备例题与3-4道变式题，学生可通过错题定位薄弱环节，培养数学思维与数学语言表达素养。素养提升模块结合实际情境题，帮助学生用数学眼光观察现实问题，教师可依据学生训练反馈实施分层指导，有效提升备考实效。

高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数04对数函数 1、 考情分析 本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 2、 知识梳理 知识点一 对数函数的图像与性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 . 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点 ，即 时， 在上是 在上是 当x＞1时， ； 当0＜x＜1时， 当x＞1时， ； 当0＜x＜1时， 3.对数函数图像变化规律 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近 轴； 当时，底数越小，图象越 轴，即“ ”． 4．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为 ，其图象关于直线 对称. 3、 类型应用 类型一 求对数函数解析式 例1：已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 变式训练1：若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为_______． 类型二 求定义域 例：求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 变式训练2-1：函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式训练2-3：函数的定义域为______. 变式训练2-4：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 类型三 对数函数最值 例3：若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 变式训练3-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变式训练3-2：已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 类型四 对数函数图像 例4：根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 变式训练4-1：已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式训练4-2：已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 类型五 恒过定点问题 例5：函数（且）图象恒过定点坐标为______． 变式训练5-1：若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 变式训练5-2：函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 变式训练5-3：已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 类型六 对数函数单调性 例6：“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式训练6-1：下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 变式训练6-2：下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式训练6-3：已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练6-4：函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 类型七 比较大小 例7：比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 变式训练7-1：已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练7-2：已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练7-3：已知则（   ） A． B． C． D． 变式训练7-4：已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 类型八 利用单调性求参数范围 例8：函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练8-1：已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练8-2：若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练8-3：已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型九 数学情境 例9：溶液的酸碱度pH是由公式给出的，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位为mol/L．pH的范围为0~14． (1)为0.1，0.01mol/L的溶液的pH分别是多少？ (2)随着氢离子浓度的降低，pH会发生怎样的变化？ (3)试确定橙汁（）的氢离子浓度； (4)试确定人体血液的时的氢离子浓度． 变式训练9-1：溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 变式训练9-2：已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 变式训练9-3：一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 四 素养提升 1.已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 2.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立，若实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 4.已知，，求实数a的取值范围. 5．已知函数(且)． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性． 6．已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数04对数函数 1、 考情分析 本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 2、 知识梳理 知识点一 对数函数的图像与性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 3.对数函数图像变化规律 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 4．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 3、 类型应用 类型一 求对数函数解析式 例1：已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数函数的解析式 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 变式训练1：若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为_______． 【答案】 【知识点】求对数函数的解析式、求反函数 【分析】设，由条件求出，进而可得它的反函数． 【详解】设（且）， ∵函数经过点，即，即， ∴，， ∴它的反函数的解析式为． 故答案为：． 类型二 求定义域 例：求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）（2）利用对数型复合函数的定义域求法求解； （3）利用根式函数和对数函数的定义域求法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以，解得， 所以的定义域为； （2）因为， 所以，解得， 所以的定义域为； （3）因为， 所以，解得， 所以的定义域为； 变式训练2-1：函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 变式训练2-2：函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 变式训练2-3：函数的定义域为______. 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 变式训练2-4：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【详解】， ． 类型三 对数函数最值 例3：若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 【答案】或 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】分类讨论和时的对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，当时，对数函数在区间上单调递增. 又因为对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，解得. 当时，函数在区间上为减函数， 所以，，所以，， 故答案为：或. 变式训练3-1：已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数函数在区间上的值域、求指数函数在区间内的值域、交集的概念及运算 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 变式训练3-2：已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求出其值域，化简集合 ，利用并集运算即可求解. 【详解】因为指数函数是上的增函数， 所以由,得,则, 因为对数函数是上的减函数， 所以由, 得,则 故. 故选：C 类型四 对数函数图像 例4：根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【详解】根据图像，当时，函数的图像在函数的上方，而在图像的上方，所以. 变式训练4-1：已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据对数型函数图象判断参数的范围 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 变式训练4-2：已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得. 【详解】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A 类型五 恒过定点问题 例5：函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】利用对数函数性质求解. 【详解】因为对任意且，， 令得，将代入， 得， 所以函数的图象恒过定点坐标为. 故答案为： 变式训练5-1：若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反函数、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 变式训练5-2：函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 【答案】27 【知识点】求幂函数的解析式、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出的表达式，最后再求的值即可． 【详解】由题意，，则，函数恒过的定点A为， 设，∵过A点，∴，解得， ∴，∴． 故答案为：27． 变式训练5-3：已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、对数型函数图象过定点问题 【分析】求出函数所过的定点，从而可求得，的关系，再由基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得解 【详解】因为函数（且），所以当，即，， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以直线为，即，所以， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立. 故选：C. 类型六 对数函数单调性 例6：“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】研究对数函数的单调性、判断命题的必要不充分条件 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 变式训练6-1：下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性 【详解】对于A，函数在上单调递增； 对于B，函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 对于C，因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增； 对于D，因为函数和在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 变式训练6-2：下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、研究对数函数的单调性、求含cosx的函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上单调递减，A不符合题意； 对于B选项，函数的定义域为，， 所以函数为偶函数， 当时，，故该函数在上单调递增，B符合题意； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，C不符合题意； 对于D选项，函数的定义域为，， 函数为奇函数，D不符合题意. 故选：B. 变式训练6-3：已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 变式训练6-4：函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先计算定义域，再根据复合函数的单调性求减区间． 【详解】 ， 由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间是， 故选：C. 类型七 比较大小 例7：比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】比较对数式的大小 【分析】（1）（2）利用对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系； （3）分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系. 【详解】（1）解：因为函数在上为增函数，且，所以，. （2）解：因为函数在上为减函数，且，所以，. （3）解：当时，函数在上为减函数， 因为，所以，； 当时，函数在上为增函数， 因为，所以，. 综上所述，当时，；当时，. 变式训练7-1：已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【详解】由函数的单调性可知： ，即, 又,故. 变式训练7-2：已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 变式训练7-3：已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的性质，让这3个数和临界值比较，判断大小. 【详解】，且，所以， ，，即， 所以. 变式训练7-4：已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系、复合函数的单调性、研究对数函数的单调性 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 类型八 利用单调性求参数范围 例8：函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，，在定义域上为减函数， 又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，， 要使函数有意义，则， 又在上为减函数，在上的最小值为，即， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 变式训练8-1：已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数型函数的定义域和单调性，转化为子集问题，即可求解. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为， 依题意有，. 即的取值范围为. 变式训练8-2：若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【详解】因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上是单调函数，所以，且， 所以． 变式训练8-3：已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、对数函数单调性的应用 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 类型九 数学情境 例9：溶液的酸碱度pH是由公式给出的，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位为mol/L．pH的范围为0~14． (1)为0.1，0.01mol/L的溶液的pH分别是多少？ (2)随着氢离子浓度的降低，pH会发生怎样的变化？ (3)试确定橙汁（）的氢离子浓度； (4)试确定人体血液的时的氢离子浓度． 【答案】(1)和 (2)随着氢离子浓度的降低，pH会逐渐增大 (3)mol/L. (4)mol/L. 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、对数的运算 【分析】（1）由，分别令为mol/L和mol/L，结合对数的运算，即可求解； （2）结合对数函数的性质，即可得到结论； （3）令，结合对数的运算，即可求解； （4）令，结合对数的运算，即可求解. 【详解】（1）解：由溶液的酸碱度pH的公式为， 当为mol/L时，可得； 当为mol/L时，可得， 即为mol/L和mol/L的溶液的分别是和. （2）解：由溶液的酸碱度pH的公式为， 结合对数函数的性质，可得随着氢离子浓度的降低，pH会逐渐增大. （3）解：由溶液的酸碱度pH的公式为， 当时，可得，解得mol/L. （4）解：由溶液的酸碱度pH的公式为， 当时，可得，解得mol/L. 变式训练9-1：溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 变式训练9-2：已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列出对数函数模型的解析式 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 变式训练9-3：一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 四 素养提升 1.已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】/ 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、对数型函数图象过定点问题 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，代入点的坐标，可得. 【详解】对函数，令，则，得. 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 2.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立，若实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】分析可知函数在区间上是减函数，将所求不等式变形为，可得出，利用绝对值的性质以及对数函数的单调性可解得实数的取值范围. 【详解】在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立， 不妨取，则，即， 所以函数在区间上是减函数， 又函数为偶函数，则等价于， 即，可得，解得，故实数的取值范围是. 3.若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 4.已知，，求实数a的取值范围. 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可． 【详解】解:, 当时成立； ②当时，解得． 又, ∴a的取值范围是． 5．已知函数(且)． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性． 【答案】(1)奇函数； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. 【知识点】对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】(1)求出函数定义域，根据f(－x)和f(x)关系判断其奇偶性； (2)利用定义法即可判断f(x)的单调性，或根据复合函数的单调性也可判断. 【详解】（1）由得，∴的定义域为，关于原点对称， 又， ∴是奇函数； （2）∵在上单调递减， 又当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， ∴当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 6．已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $