数列递推关系求通项 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学《数列递推关系求通项》专题复习课教学设计，以变式教学为核心，系统梳理等差、等比数列基础模型及累加法、累乘法、构造法、分式递推转化等方法，通过一题多变、多题归一构建从基础到复杂问题的知识网络，实现所有递推问题化归为基本模型。 其亮点在于采用“问题链驱动-分组探究-跨学科应用”策略，如公交车增长方案情境引入培养数学建模，变式4分组探究三种解法发展逻辑推理与数学抽象，分层作业（基础、提升、实践）满足个性化需求，帮助学生形成“模型识别-结构分析-转化求解”思维闭环，助力教师高效开展单元复习。

《数列递推关系求通项》课堂学案 一、学习目标 1. 掌握等差数列、等比数列的通项公式及其推导方法（累加法、累乘法）。 1. 掌握一阶线性递推关系 的构造法求解。 1. 掌握分式递推关系的取倒数转化技巧。 1. 能通过结构分析，将非标准递推关系化归为等差或等比数列模型。 二、情境引入与问题链 问题1（基础模型） 某城市推广公共交通，方案A：每年末新增运行公交车20辆。设第 年运行公交车辆数为 ，已知 ，，求 。 问题2（类比探究） 方案B：每年末新增运行公交车的辆数是当年运行辆数的0.1倍。设第 年运行公交车辆数为 ，已知 ，，求 。 问题3（模型深化） 实际运营中，方案B在实施第3年后调整为：（），求 （）。 思考：与之前研究的等差数列或等比数列有何不同？新增的常数项破坏了原来的等比结构，如何“修复”？ 问题4（方案评估） 若要预测第10年公交车运行数量，哪种方案运行量更大？请说明理由。 问题5（变式迁移） 改变投放模式，如方案C：，方案D：，求通项公式。 三、一题多解：拓展思维路径 问题：作为离散型函数，数列具有函数的特性。对于问题5的方案D除了累乘法外，是否还有其他想法？ 变式1 已知数列 满足 ，，求通项 。 变式2-1 已知数列 满足 ，，求通项 。 变式2-2（课后作业） 已知数列 满足 ，（），求通项 。 变式3-1 已知数列 满足 ，，求通项 。 变式3-2（课后作业） 已知数列 满足 ，（ 且 ），求通项 。 变式4 已知数列 满足 ，，求通项 。 分组探究：请各组分别用以下三种方法求解，并讨论三种解法的本质联系。 解法1：化归为等比型 + 待定系数法 解法2：构造一阶线性递推式（同除以指数式） 解法3：函数思想——迭代归纳法 四、多题归一：构建本质模型 变式5-1 已知数列 满足 ，，求通项 。 变式5-2 已知数列 满足 ，，求通项 。 变式5-3 已知数列 满足 ，，求通项 。 变式6（新课标应用题背景） 某药物在人体内的代谢速率与当前浓度成正比。设第 次服药后立即测得的血药浓度为 ，满足 （ 为代谢比例常数，， 为每次固定服药剂量）。已知 ，求 。 思考：当 时，血药浓度会趋于什么值？这称为药物的什么概念？ 五、课堂小结（自主填写） 1. 本节课你学到了哪些数列求通项的方法？ 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 1. 结构性思维的核心是什么？ 1. 三种解法的本质联系是什么？ 六、课后作业 基础作业 1. 完成变式2-2的求解。 1. 完成变式3-2的求解。 提升作业 已知数列 满足 ，，求通项 。 实践作业 查阅资料，了解药物代谢中“半衰期”和“稳态浓度”的概念，结合变式6的结论，解释为什么多次服药后血药浓度会趋于稳定。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《数列递推关系求通项》专题复习课教学设计 一、教材分析 数列的学习能有效提升学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养。“数列递推关系求通项”是高中数学的重点学习内容，是教师在《数列》章末复习中开设的经典专题课之一，因方法灵活、过程充满探究性而备受关注。本节课以“数列递推关系求通项”为实践载体，通过一题多变、一题多解、多题归一等途径，帮助学生构建知识体系，把握教学脉络，激发创新思维，促进学生结构性思维的发展。从等差、等比数列的基础模型出发，通过累加、累乘、构造等方法，逐步解决一阶线性递推、分式递推等复杂问题，最终将所有递推关系求通项问题化归为等差或等比数列模型。 二、学情分析 授课对象为高二学生，他们已经学习了等差数列和等比数列的定义、通项公式、求和公式，初步掌握了累加法、累乘法等基本方法。但在面对形式多变的递推关系时，学生常常存在以下困难：递推形式多样（线性、指数、分式等），容易陷入“一题一法”的困境；缺乏结构性思维，难以从表面差异中识别本质结构；对构造法的理解停留在机械模仿层面，不知为何要这样构造。因此，本节课通过指向结构性思维培养的变式教学，帮助学生构建“模型识别—结构分析—转化求解”的思维闭环。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻变式教学理念，通过一题多变、一题多解、多题归一三条路径，实施结构化、交融式教学，引导学生构建清晰、稳固、可迁移的知识与方法框架。 1. 转化与化归思想：将非标准递推关系转化为等差或等比数列模型，将分式递推通过取倒数转化为线性递推。 1. 构造思想：通过待定系数法构造等比数列，补全结构缺陷。 1. 函数思想：将数列视为离散型函数，利用函数思想解决递推问题。 1. 迭代归纳思想：通过迭代递推式归纳通项公式，从特殊到一般验证结构。 1. 结构性思维：从结构视角解构问题、建立关联、实现转化，形成“递推关系→通项公式”的思维闭环。 1. 教学方法：采用变式教学策略，通过“问题链设计—多解探究—模型聚合”的教学流程，引导学生深度学习。 四、核心素养目标 数学抽象：能从具体递推关系中抽象出等差、等比、一阶线性等基本模型，理解通项公式是数列的函数解析表达式。 逻辑推理：能通过递推关系的结构分析，逻辑地推导出化归路径，掌握构造法的本质。 数学建模：能将交通规划、药物代谢等实际问题抽象为数列递推模型，并求解通项公式。 数学运算：能熟练进行累加、累乘、迭代等运算，掌握待定系数法、换元法、取倒数法等技巧。 · 数学抽象：能从形式多样的递推式中识别本质结构，实现多题归一。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 等差数列、等比数列的通项公式及其推导方法（累加法、累乘法）。 1. 一阶线性递推关系的构造法求解。 1. 分式递推关系的取倒数转化技巧。 教学难点： 1. 将非标准递推关系化归为等差或等比数列模型的结构性思维。 1. 待定系数法中参数的确定逻辑。 1. 从“一题多解”到“多题归一”的思维聚合过程。 六、学法分析 1. 问题链驱动：通过由简入繁、层层递进的问题链，自然地串联起各类递推关系的求解方法。 1. 一题多变：在变式过程中发现结构差异，理解转化逻辑。 1. 一题多解：从多角度探索解决路径，拓展思维广度，洞察方法背后的结构统一性。 1. 多题归一：通过对比分析，从纷繁的表象中抽象出共同的本质模型。 1. 分组探究：在变式4的多解法探究中，分组探究、全班交流。 七、教学过程 【情境引入】 情境：某城市为推广公共交通，计划逐年增加运行公交车的数量。假定投放的公交车经检测合格，可以正常运行，已知初始年（）有公交车100辆，管理部门拟定了两个方案。 方案A：每年末新增运行公交车20辆； 方案B：每年末新增运行公交车的辆数是当年运行辆数的0.1倍。 问题链设计： 问题1（基础模型）：设方案A第年运行公交车辆数为，已知，，求。 解：是等差数列，公差，首项，所以 问题2（类比探究）：设方案B第年运行公交车辆数为，已知，，求。 解：是等比数列，公比，首项，所以 问题3（模型深化）：实际运营中，方案B在实施第3年后调整为：（），求（）。 启发思考：与之前研究的等差数列或等比数列有何不同？新增的常数项破坏了原来的等比结构，如何“修复”才能用已知方法求解？ 解：当时，。 设，展开得。 比较系数得，解得。 所以，即是等比数列，公比。 当时，，所以。 因此，当时， 问题4（方案评估）：若要预测第10年公交车运行数量，哪种方案运行量更大？请说明理由。 解：； 。 故方案B运行量更大。 问题5（变式迁移）：改变投放模式，如方案C：，方案D：，求通项公式。 解： 方案C：，所以，故是常数列。 ，，所以，即。 方案D：，故是常数列。 ，所以，即。 设计意图：通过问题1-5的层层递进，学生自然地串联起等差数列、等比数列、一阶线性递推数列的通项求解方法，形成关于“离散增长模型”的知识网络。问题3引导学生在“结构修复”中理解构造法的本质，问题4培养综合应用能力，问题5实现方法迁移。 【一题多解：拓展思维路径，促进融会贯通】 问题：作为离散型函数，数列具有函数的特性。在利用函数思想解决一些较为复杂的方程或者不等式问题时，经常用到“构造”的方法。对于问题5的方案D除了累乘法外，是否还有其他想法？ 预设：，可得数列是常数列，即。 事实上方案C中，也可转化为“常数列”处理。 变式1：已知数列满足，，求通项。 分析：鉴于（），可以变换为。接下来我们着重研究一阶差分结构，即类型的问题。 变式2-1：已知数列满足，，求通项。 解：裂项：， 累加得。 变式2-2：已知数列满足，（），求通项。（课后作业） 变式3-1：已知数列满足，，求通项。 解：累加得。 变式3-2：已知数列满足，（且），求通项。（课后作业） 变式4：已知数列满足，，求通项。 分组探究：将学生分成三组，每组负责一种解法的推导，然后全班交流三种解法的本质联系。 第一组：解法1（化归为等比型+待定系数法） 设。 展开得。 比较系数得，即。 所以，即数列是首项为、公比为2的等比数列。 因此，故。 引导提问：待定系数法的本质是什么？为什么要设？ 第二组：解法2（构造一阶线性递推式——同除以指数式） 思路一：递推式两边同时除以，得 令，则，累加求解。 思路二：递推式两边同时除以，得 令，则，转化为一阶线性递推式。 第三组：解法3（函数思想——迭代归纳法） 递推式迭代： 引导学生观察各项系数的规律：、、…，每一项都是的形式。 全班交流：三种解法的本质联系是什么？ 解法1：构造等比，补全结构 解法2：换元转化，化为已知模型 解法3：迭代归纳，从特殊到一般 设计意图：变式4中，解法1（待定系数）展示结构性化归；解法2（配凑换元）通过同除以指数式构造一阶线性关系；解法3（迭代归纳）训练严密运算与符号推理能力。通过全班交流，引导学生发现三种解法的本质联系——都是将复杂问题转化为等比或等差模型，体现化归思想。 【多题归一：构建本质模型，实现思维聚合】 变式5-1：已知数列满足，，求通项。 变式5-2：已知数列满足，，求通项。 变式5-3：已知数列满足，，求通项。 变式6（新课标应用题背景）：某药物在人体内的代谢速率与当前浓度成正比。设第次服药后立即测得的血药浓度为，满足（为代谢比例常数，，为每次固定服药剂量）。已知，求。 问题：观察变式5，它看起来比一阶线性递推式结构复杂得多，是分式形式。那么我们之前解决线性问题的“武器”还能用吗？关键是要洞察结构！试看分母和分子间有什么特点？ 预设：取倒数！ 换元后，新数列的递推关系变得“线性”了！化归的“终极形态”依然是一阶线性递推关系或等差、等比数列。 逐题求解： 变式5-1：令，则，即是等差数列。 ，，故。 变式5-2：令，则，构造等比求解。 变式5-3：令，则，类比变式4求解。 问题：很好！通过变换（取倒数）揭示问题本质结构（线性递推）的思想，就是结构化思维的精髓。变式6更是直接展示了这个核心模型在药物学中的应用价值。 变式6的拓展讲解： 解：由，设，得，令，得。 所以是等比数列，首项，公比。 故，即。 跨学科拓展：结合生物学科知识，当时，，这称为药物的“稳态浓度”。药物代谢的半衰期与代谢常数的关系为。 设计意图：通过变式5的三个分式递推问题，引导学生发现取倒数后可转化为线性结构，进而认识到所有形式各异的递推关系都可化归为等差、等比或一阶线性模型。变式6作为核心模型的应用，强化数学建模思想，跨学科拓展体现数学与其他学科的融合。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 等差、等比数列的通项公式及累加、累乘法。 一阶线性递推的构造法求解。 分式递推的取倒数转化技巧。 指数型递推的同除以指数式转化。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 转化与化归、构造思想、函数思想、迭代归纳。 1. 结构性思维的核心是什么？ 从结构视角解构问题、建立关联、实现转化，最终将所有递推关系求通项问题化归为等差或等比数列模型。 1. 三种解法的本质联系是什么？ 都是将复杂问题转化为基本模型（等差或等比）。 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化结构性思维意识。第四个问题引导学生对一题多解进行元认知反思。 【布置作业】 基础作业：完成变式2-2和变式3-2的求解。 提升作业：已知数列满足，，求通项。（提示：同除以） 实践作业：查阅资料，了解药物代谢中“半衰期”和“稳态浓度”的概念，结合变式6的结论，解释为什么多次服药后血药浓度会趋于稳定。 设计意图：分层布置作业，基础作业巩固课堂知识，提升作业深化能力，实践作业体现跨学科融合和数学应用价值。 八、板书设计 数列递推关系求通项 核心方法 一、一题多变 累加法 车辆增长模型 累乘法 →线性递推→迁移拓展 构造法 常数列法 二、一题多解 待定系数 换元转化 三种解法对比 迭代归纳 本质联系：化归为基本模型 三、多题归一 取倒数 分式→线性→等差/等比 核心模型 学科网（北京）股份有限公司 $