2.12 函数模型及其应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及其应用核心考点，涵盖一次、二次、指数、对数、幂函数等模型及分段、分式型函数，按增长差异对比、模型分类解析的逻辑架构知识点。通过考点梳理、方法指导（如建立坐标系求曲线方程）、真题训练（各地期末及模拟题）等环节，帮助学生突破建模与应用难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学建模与核心素养融合，如在二次函数模型应用中，引导学生通过建立坐标系抽象实际问题为函数关系（数学眼光），结合求最值训练运算能力（数学思维）。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保学生高效掌握建模方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.12 函数模型及其应用 1.三种函数模型的增长差异 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a,b,n为常数,a≠0) 考点一　利用二次函数模型解决实际问题 考点二　分段函数模型的应用 考点三　分式型函数模型的应用 考点四　指数函数模型的应用 考点五　对数函数模型的应用 考点六　幂函数模型的应用 考点七　建立函数模型解决实际问题 考点一　二次函数模型的应用 1．（25-26高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 2．（25-26高一上·上海奉贤·期末）某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 3．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 4．（25-26高一上·宁夏银川·期末）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 考点二　分段函数模型的应用 5．（25-26高一下·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚后以每个30元价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，写出当天的利润y（单位：元）关于当天蛋糕需求量n（单位：个，）的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表： 日需求量n 17 18 19 20 21 22 23 频数（天） 10 20 20 14 13 13 10 日利润 x y z a a a a （i）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求x，y，z，a及这100天的日利润（单位：元）的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率． 7．（25-26高二下·山东枣庄·阶段检测）某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． (1)写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； (2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 8．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 考点三　分式型函数模型的应用 9．（24-25高二下·江苏常州·月考）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 10．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 11．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 12．（25-26高一上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 考点四　指数函数模型的应用 13．（25-26高二下·湖南郴州·期中）我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（   ） A．150 km B．100 km C．175 km D．125 km 14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 15．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 16．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 考点五　对数函数模型的应用 17．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 18．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·江西景德镇·月考）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 20．（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 考点六　幂函数模型的应用 21．（25-26高一上·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 22．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 23．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 24．（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 考点七　建立函数模型解决实际问题 25．（2026·浙江绍兴·模拟预测）年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程与行驶总时间满足函数关系．该车先匀速行驶，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按衰减（为匀速后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 26．（湖南邵阳市2026年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量，为常数，且．若一条鲑鱼的游速为1.5时，它的耗氧量为2700个单位，则当这条鲑鱼的耗氧量为900个单位时，它的游速是________． 27．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 28．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 1．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量 综合用水单价元 第一阶梯 含) 3.0 第二阶梯 含) 4.5 第三阶梯 330以上 5.5 假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（   ） A．190 B．217 C．270 D．285 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 3．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 4．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 5．（2026·河南·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（    ） A．136分钟 B．140分钟 C．142分钟 D．150分钟 6．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 7．（25-26高一上·陕西汉中·期末）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 8．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 9．（25-26高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 10．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 11．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 12．（25-26高一上·四川攀枝花·期末）（多选）某实验室监测一种放射性物质的浓度衰减规律，其浓度c（单位：mg/L）与时间t（单位：天）的关系为（，为常数），已知该物质初始浓度（时）为8mg/L，3天后浓度降至1mg/L，则（   ） A． B．该物质浓度减少50%需要花1天时间 C．5天后该物质浓度会低于0.2mg/L D．设该物质浓度降至4mg/L、2mg/L、0.5mg/L对应的时间分别为、、，则 13．（25-26高三下·江西抚州·月考）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 14．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（   ）（参考数据：） A．经过年后，样本中的该元素会全部消失 B．样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的该元素的质量变为原来的 D．若年后，样本中该元素的质量为，则 15．（2026·北京海淀·二模）某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 16．（25-26高二下·河南南阳·月考）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 17．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 18．（25-26高一下·安徽·开学考试）某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率（单位：）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为．若时降解效率为，则时降解效率为_______． 19．（25-26高二下·上海·期中）某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？ 20．（25-26高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.12 函数模型及其应用 1.三种函数模型的增长差异 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a,b,n为常数,a≠0) 考点一　利用二次函数模型解决实际问题 考点二　分段函数模型的应用 考点三　分式型函数模型的应用 考点四　指数函数模型的应用 考点五　对数函数模型的应用 考点六　幂函数模型的应用 考点七　建立函数模型解决实际问题 考点一　二次函数模型的应用 1．（25-26高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴， 建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 当时，，令， 得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值， 因为，所以无最大值， 所以当时，S取得最大值，最大值为. 2．（25-26高一上·上海奉贤·期末）某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 【答案】 【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入即可求解. 【详解】由题意得轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为， 可设二次函数顶点式， 且，解得，则， 则. 3．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 4．（25-26高一上·宁夏银川·期末）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1)； (2)年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系； （2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大值. 【详解】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为万元，年利润万元. 当时，； 当时，. 所以年利润. （2）由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 当时， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 考点二　分段函数模型的应用 5．（25-26高一下·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，540元 【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可． 【详解】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 6．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚后以每个30元价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，写出当天的利润y（单位：元）关于当天蛋糕需求量n（单位：个，）的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表： 日需求量n 17 18 19 20 21 22 23 频数（天） 10 20 20 14 13 13 10 日利润 x y z a a a a （i）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求x，y，z，a及这100天的日利润（单位：元）的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率． 【答案】(1) (2)（i）；937；（ii） 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出当天的利润y与当天蛋糕需求量n的函数关系式，即可得解； （2）（i）将代入（1）式，分别求出x，y，z，a的值，再求出日利润的平均数即可得解；（ii）利润不少于900元，即需求量不少于19个，再根据题意所给的频率计算即可得解. 【详解】（1）由题意知， 每天做蛋糕的总成本为元. 若当天蛋糕需求量，20个生日蛋糕白天全部售出，每个100元， 总收入为元，当天的利润为元； 若当天蛋糕需求量，白天售出个，每个100元，收入元； 剩余个，每个30元，收入元， 当天的利润为元， 所以当天的利润y与当天蛋糕需求量n的函数关系式为 ； （2）（i）将分别代入（1）式，可得， ，，. 所以这100天的日利润的平均数为： ； （ii）当天利润不少于900元，即当日需求量不少于19个， 所以当天利润不少于900元的概率为 7．（25-26高二下·山东枣庄·阶段检测）某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． (1)写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； (2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2)生产量为12吨时，总利润最小为56千元 【分析】（1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解， （2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解. 【详解】（1）由已知可得，又， 当时，， 当时，， 故； （2）当时，，． 当时，，易知函数单调递增， 故． 因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元． 8．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完． (1)若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量 单位：个，的分段函数关系式； (2)蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量 频数 天 日利润 （i）假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数； （ii）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 【答案】(1) (2)（i），，，，平均数；（ii） 【分析】（1）根据已知得出分段函数解析式； （2）（i）应用频率计算求解平均数；（ii）应用已知频率计算求解. 【详解】（1）当日需求量时，利润； 当日需求量时，利润； 利润关于当天需求量的函数解析式 （2）（i）由（1）得，，，， 这天的日利润的平均数为： ， （ii）当天的利润不少于元，当且仅当日需求量不少于个， 故当天的利润不少于元的概率为． 考点三　分式型函数模型的应用 9．（24-25高二下·江苏常州·月考）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 【答案】(1)水池的造价，其中（单位：元） (2)时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 【分析】（1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围； （2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可. 【详解】（1）由题意，得水池的底面积为，侧面积为（单位：）， 所以水池的造价，其中（单位：元）； （2）对函数求导，得， 令，解得， 由，解得，故在区间上单调递减， 由，解得，故在区间上单调递增, 所以，时，取得最小值元， 时，取得最小值元， 因此，时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 10．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)，59000元 【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 11．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 12．（25-26高一上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： （2）当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述： 2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 考点四　指数函数模型的应用 13．（25-26高二下·湖南郴州·期中）我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（   ） A．150 km B．100 km C．175 km D．125 km 【答案】A 【详解】当时，，则，得. 由，得． 14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 【答案】 【分析】把与的值直接代入得到关于、的方程组，解出参数的值；根据保鲜的实际要求列出不等式；对其两边取自然对数转化为不等式，结合的值即可解出的取值范围，并从中确定的最大数值. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（，为常数）. 当时，，代入得①， 当时，，代入得②， 将①②化简可得，即，解得， 由运输要求，即， 又因，所以 ， 即 ，而， 其中 ， 所以， 代入可得，因此， 解得. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为. 15．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约（     ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?（参考数据：） A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得，再结合区间的中点进行估计，近似到十年即可求解. 【详解】根据题意，，即， 所以，即， 所以，即， 所以区间的中点为，近似到十年为2580年. 16．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 【答案】 4 32 【分析】分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长． 【详解】当时，此时， 代入原函数指数部分：， 所以，， 已知，则， 所以当时，指数是关于的减函数， 因此在上单调递减， 当时，此时，代入原函数指数部分： ， 所以，， 同理得在上单调递增， 综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减， 因此，病毒载量在时达到峰值． 在时，， 根据题意，对于任意，有：， 代入表达式：， 整理得，，， 所以， 病毒具有传染性的条件是，即， 整理得，， 当时，不等式变为：， 结合前提，得到； 当时，不等式变为：， 结合前提，得到， 综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为， 题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度， 故总时长为小时． 考点五　对数函数模型的应用 17．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 18．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 19．（25-26高一下·江西景德镇·月考）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【详解】若，则，则， 若，则，则， 则，得， 故30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的100倍. 20．（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D 考点六　幂函数模型的应用 21．（25-26高一上·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】(1)选①作为，选③作为； (2)， (3)甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元 【分析】（1）根据表格数据判断函数类型即可； （2）直接代入前两个值求解表达式系数即可； （3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，利用换元法转化为二次函数即可求解． 【详解】（1）因为关于成线性关系，关于成线性关系，所以选①作为，选③作为； （2），代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. ，代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. （3）设乙产品的研发投入为万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润， 当且仅当，即时取等号，则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元. 22．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 23．（25-26高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) (1)根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； (2)已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【答案】(1)，； (2)模型（且）更合适，理由见解析； 【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式； （2）将自变量代入两模型计算求得，得出与更接近的模型即可. 【详解】（1）对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； （2）当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 24．（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 考点七　建立函数模型解决实际问题 25．（2026·浙江绍兴·模拟预测）年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程与行驶总时间满足函数关系．该车先匀速行驶，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按衰减（为匀速后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再令，从而可得所求时间. 【详解】因为为匀速后的剩余续航，所以， 令，即，，故； 当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为. 26．（湖南邵阳市2026年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量，为常数，且．若一条鲑鱼的游速为1.5时，它的耗氧量为2700个单位，则当这条鲑鱼的耗氧量为900个单位时，它的游速是________． 【答案】1 【分析】结合已知条件求出常数，代入求解即可. 【详解】由题意知，当时，， 所以，即，解得，故. 当时，. 27．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，所以. 由，得， 两边取自然对数得，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以最迟应在发现疫情后第7天启动． 28．（25-26高三下·四川成都·阶段检测）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 【答案】A 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 1．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）为了鼓励大家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量 综合用水单价元 第一阶梯 含) 3.0 第二阶梯 含) 4.5 第三阶梯 330以上 5.5 假设该市某户2025年缴纳水费855元，则该户2025年用水量为（   ） A．190 B．217 C．270 D．285 【答案】C 【分析】设用水量为,依据表格信息得到水费关于用水量的分段函数.再判断2025年水费855是哪段函数值域的部分,从而可以得到用水量. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 即且在定义域上单调递增， 当时，，而， 所以解得． 2．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 3．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 4．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 5．（2026·河南·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（    ） A．136分钟 B．140分钟 C．142分钟 D．150分钟 【答案】C 【详解】依题意，时，，则，解得，所以， 当时，可得，所以，所以， 故，故浓度降至需要至少142分钟. 6．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 【答案】B 【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断． 【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元． 每日销量为，且 ． 因此每日销售利润为． 因为 ，所以 ． 令，则 ． 求导得．令 ，得 ． 两边同乘，得 ． 整理得 ，解得或． 因为 ，所以只取 ． 当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减． 所以利润函数在 时取得最大值． 在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增， 所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减， 所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元． 7．（25-26高一上·陕西汉中·期末）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【分析】根据图甲、图乙得到进水速度和出水速度，再结合图丙中不同时间段蓄水量的变化情况，对每个选项分析判断. 【详解】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误. 故选：AC. 8．（25-26高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 9．（25-26高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【答案】AC 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 10．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算性质逐项求解判断. 【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则， 因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，解得，C错误； 对于D，当时，，解得，D正确. 故选：ABD 11．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 【答案】AC 【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答案. 【详解】设为地震震级加1级的地震震级，新的地震的能量，新的最大振幅为， 设为地震震级加2级的地震震级，新的地震的能量， 因为，所以，故A正确； 因为， 所以，所以B错误； 因为， 所以， 所以C正确； 因为， 所以， 所以D错误. 故选：AC. 12．（25-26高一上·四川攀枝花·期末）（多选）某实验室监测一种放射性物质的浓度衰减规律，其浓度c（单位：mg/L）与时间t（单位：天）的关系为（，为常数），已知该物质初始浓度（时）为8mg/L，3天后浓度降至1mg/L，则（   ） A． B．该物质浓度减少50%需要花1天时间 C．5天后该物质浓度会低于0.2mg/L D．设该物质浓度降至4mg/L、2mg/L、0.5mg/L对应的时间分别为、、，则 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出函数中的和的值，再根据函数性质逐一分析选项即可. 【详解】该物质初始浓度（时）为8mg/L， 即，解得， 又3天后浓度降至1mg/L，即，解得，故，故A正确， 当物质浓度减少50%时， mg/L，即，解得，故B正确， 把代入，得 mg/L，故C错误， 分别把mg/L、2mg/L、0.5mg/L代入，得、、，，，故，故D正确. 故选：ABD. 13．（25-26高三下·江西抚州·月考）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 【答案】BD 【分析】根据对数函数的性质计算即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故B正确； 对于C，当时，，即经过74.58年后，样本中的氚的质量变为原来的，故C错误； 对于D，由题意，化简得， 将代入其中，可得，故D正确. 14．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（   ）（参考数据：） A．经过年后，样本中的该元素会全部消失 B．样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的该元素的质量变为原来的 D．若年后，样本中该元素的质量为，则 【答案】BCD 【分析】分别将、、代入关系式计算即可判断选项ABC，根据求出即可判断选项D. 【详解】选项A：当时，，故A错误. 选项B：当时，，故B正确. 选项C：当时，，故C正确. 选项D：由题意知，化简得 ， 将代入可得，，故D正确. 15．（2026·北京海淀·二模）某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束． 【答案】 125 9 【分析】根据题意，依次分析各年的投入使用的资金与剩余资金情况即可求得答案. 【详解】初始资金（第1年开始时）：2000万元 第1年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第2年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第3年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第4年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第5年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第6年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第7年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第8年：资金大于10万元，投入一半 投入金额：万元，剩余资金：万元 第9年：资金小于10万元，投入全部资金7.8125万元，项目结束 综上，第4年投入使用的资金为125万元，该修复项目将在第9年结束. 16．（25-26高二下·河南南阳·月考）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为元， 则，可得， 整理可得，所以每月还款金额为元． 17．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【详解】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 18．（25-26高一下·安徽·开学考试）某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率（单位：）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为．若时降解效率为，则时降解效率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可得，解得，代入求即可得结果. 【详解】因为， 由题意可知：，整理可得，解得， 则，可得， 所以时降解效率为. 19．（25-26高二下·上海·期中）某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200万元购买土地15000平方米.该公园每间球馆的建设面积为1500平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建间球馆时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用表示.为了使该球馆每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？ 【答案】5 【分析】设应建间，得到综合费用函数，利用导数判断单调性，求出答案. 【详解】设应建间球馆，则总建筑面积为平方米，每平方米购地费用为元， 由题意，球馆的总建筑面积不能超过购买的土地面积，故，解得， 又为球馆间数，故是区间内的整数， 所以综合费用为， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为为正整数，又， , 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，故，即， 所以 所以，所以应建5个球馆. 20．（25-26高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，得，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可. （2）设从甲地到乙地耗油为，结合题意得到，再结合导数研究该函数的单调性即可求解. 【详解】（1）将代入，得， 所以从甲地到乙地要耗油升. （2）设从甲地到乙地耗油为，则， 化简得， 而， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得最小值，此时， 即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $