2.7 幂函数与二次函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，系统梳理概念、图像及性质，按“概念理解—性质应用—综合解题”逻辑架构，通过考点分类、方法指导、真题训练，帮助学生构建知识网络，突破高考高频难点。 资料以数学眼光分析图像特征，用数学思维训练逻辑推理，如通过幂函数奇偶性与单调性的关联探究培养抽象能力，设置分层例题与习题强化参数求解、不等式应用等关键能力。为教师提供精准考点对标和分层教学方案，助力高效把控复习节奏，提升学生应考实战水平。

2.7 幂函数与二次函数 幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【注意】幂函数解析式的特征： (1)xα的系数为1． (2)x为自变量． (3)α为常数． 幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 公共点 都经过点_(1，1)_ 二次函数及其性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 考点一　幂函数图像与定点问题 考点二　幂函数单调性与奇偶性 考点三　利用幂函数单调性与奇偶性求参 考点四　利用幂函数的单调性解不等式 考点五　利用幂函数比较大小 考点六　利用二次函数单调性求参 考点七　利用二次函数的最值求参数 考点一　幂函数图像与定点问题 1．（25-26高三上·云南文山·开学）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 2．（25-26高三上·浙江·开学）函数与的图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   3．（25-26高三上·陕西安康·开学）函数的图象过定点______. 4．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 5．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 6．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 考点二　幂函数单调性与奇偶性 7．（25-26高三上·上海杨浦·开学）下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏连云港·开学）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·北京·开学）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 11．（25-26高三上·上海·开学）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 12．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点三　利用幂函数单调性与奇偶性求参 13．（25-26高三上·河北衡水·开学）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 14．（25-26高三上·甘肃兰州·开学）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 15．（2026·吉林·三模）已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·甘肃定西·开学）若幂函数是奇函数，则___________. 17．（25-26高三上·重庆·开学）若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是__________（写一个即可）. 18．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 考点四　利用幂函数的单调性解不等式 19．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 20．（25-26高三上·江苏连云港·开学）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·重庆·月考）已知幂函数则不等式的解集为______． 22．（25-26高三上·上海虹口·开学）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 23．（25-26高三上·上海静安·月考）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______． 24．（25-26高三上·辽宁·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，若，则实数的取值范围是__________. 考点五　利用幂函数比较大小 25．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·浙江杭州·开学）已知，那么（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 28．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点六　利用二次函数单调性求参 30．（25-26高二下·四川凉山·开学）若函数的单调递增区间是，则__________. 31．（2026高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 32．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·四川宜宾·开学）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七　利用二次函数的最值求参数 34．（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（2026高三上·广东清远·专题练习）已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 37．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 38．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 1．（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·月考）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江杭州·开学）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 5．（24-25高三上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 6．（25-26高三上·山西长治·开学）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西朔州·开学）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 8．（25-26高三上·陕西咸阳·开学）（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 9．（25-26高三上·浙江杭州·月考）（多选）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·河南·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．“”是“为偶函数”的充要条件 B．“在区间上单调递减”是“”的充要条件 C．“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件 D．“在区间上仅当时取最大值”是“”的充分不必要条件 11．（25-26高三上·四川南充·月考）（多选）已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（       ） A． B． C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的两根是， 12．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 13．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 14．（25-26高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 15．（25-26高三上·湖北咸宁·开学）已知幂函数 (1)求的值及函数的解析式； (2)若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 16．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)证明：，，，； (2)求不等式的解集． 17．（25-26高三上·福建漳州·开学）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 18．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知在上单调递增，求的取值范围； (3)若，求在上的值域． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7 幂函数与二次函数 幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【注意】幂函数解析式的特征： (1)xα的系数为1． (2)x为自变量． (3)α为常数． 幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 公共点 都经过点_(1，1)_ 二次函数及其性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 考点一　幂函数图像与定点问题 考点二　幂函数单调性与奇偶性 考点三　利用幂函数单调性与奇偶性求参 考点四　利用幂函数的单调性解不等式 考点五　利用幂函数比较大小 考点六　利用二次函数单调性求参 考点七　利用二次函数的最值求参数 考点一　幂函数图像与定点问题 1．（25-26高三上·云南文山·开学）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 2．（25-26高三上·浙江·开学）函数与的图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 3．（25-26高三上·陕西安康·开学）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 4．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 5．（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 6．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 考点二　幂函数单调性与奇偶性 7．（25-26高三上·上海杨浦·开学）下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：，在上单调递增，不符合. 对于B：是底数在内的指数函数，所以在上严格递减，从而在上也严格递减．符合. 对于C：在上单调递增，不符合. 对于D：在上单调递增，又，故不符合. 8．（25-26高三上·江苏连云港·开学）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 9．（25-26高二下·北京·开学）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 10．（25-26高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高三上·上海·开学）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【答案】或 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 12．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可判断函数是的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可. 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 考点三　利用幂函数单调性与奇偶性求参 13．（25-26高三上·河北衡水·开学）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 14．（25-26高三上·甘肃兰州·开学）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 15．（2026·吉林·三模）已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质结合古典概型求，，代入条件概率公式运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 对于事件“函数是幂函数”，可知， 则，可得， 对于事件“幂函数在上单调递增”，则， 则，可得， 所以. 16．（25-26高三上·甘肃定西·开学）若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 17．（25-26高三上·重庆·开学）若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是__________（写一个即可）. 【答案】0 【分析】根据幂函数的性质解出题目. 【详解】要使幂函数为偶函数，需满足 , 则 取 ， 此时，函数为是偶函数。 故答案为：0 18．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 考点四　利用幂函数的单调性解不等式 19．（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 20．（25-26高三上·江苏连云港·开学）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 21．（25-26高三上·重庆·月考）已知幂函数则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到函数为偶函数且函数在单调递增，在单调递增，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为， 平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 22．（25-26高三上·上海虹口·开学）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出值. （2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 23．（25-26高三上·上海静安·月考）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______． 【答案】 【分析】由题意，原不等式等价于，令函数，判断函数单调性，通过单调性即可求解. 【详解】根据题意，不等式等价于， 令函数，定义域为，即解不等式， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 所以对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 24．（25-26高三上·辽宁·月考）已知幂函数的图象关于原点对称，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由幂函数和奇偶性求得，再结合单调性即可求解. 【详解】由题意，，解得或，所以或， 又的图象关于原点对称，奇函数， 所以， 所以，在单调递减， 因为， 当时，恒成立， 当时，由可得， 综上的取值范围是 故答案为： 考点五　利用幂函数比较大小 25．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 26．（25-26高三上·浙江杭州·开学）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 27．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 28．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 29．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 考点六　利用二次函数单调性求参 30．（25-26高二下·四川凉山·开学）若函数的单调递增区间是，则__________. 【答案】2 【详解】因为函数的对称轴为，则其单调递增区间为， 依题意可得，解得. 31．（2026高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 32．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 33．（24-25高三上·四川宜宾·开学）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 考点七　利用二次函数的最值求参数 34．（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 35．（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 36．（2026高三上·广东清远·专题练习）已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【答案】(1)函数的最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）根据函数在的单调性讨论求解即可； （2）分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 37．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解. （2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解. （3）按图象对称轴与区间的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可. 【详解】（1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 38．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 1．（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 2．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助幂函数与对数函数单调性判断即可得. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 又因为对数函数在上单调递减， 所以，即，所以. 3．（24-25高三上·北京·月考）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和在上单调递增两个条件，逐个分析选项. 【详解】选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误； 选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误； 选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误； 选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确. 4．（25-26高三上·浙江杭州·开学）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 5．（24-25高三上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 6．（25-26高三上·山西长治·开学）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 7．（25-26高三上·山西朔州·开学）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 8．（25-26高三上·陕西咸阳·开学）（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确. 【详解】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD 9．（25-26高三上·浙江杭州·月考）（多选）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 10．（25-26高三上·河南·月考）（多选）已知函数，则（    ） A．“”是“为偶函数”的充要条件 B．“在区间上单调递减”是“”的充要条件 C．“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件 D．“在区间上仅当时取最大值”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【分析】根据二次函数的对称性及偶函数性质及充要条件的概念可判断A；根据二次函数单调性与充分条件、必要条件的概念判断BC，根据二次函数的最值求得，然后利用充要条件的概念可判断D. 【详解】对于A，为偶函数，故选项A正确； 对于B，若在区间上单调递减，则， 反之，当时，，满足，但是在区间上先减后增， 故“在区间上单调递减”是“”的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，若在区间上单调递增，则， 由得不到，由可推出， 故“在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件，选项C正确； 对于D，因为在区间上仅当时取最大值，所以， 故“在区间上仅当时取最大值”是“”的充要条件，选项D错误. 故选：AC 11．（25-26高三上·四川南充·月考）（多选）已知二次函数的图象如图所示，下列结论正确的有（       ） A． B． C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的两根是， 【答案】ABD 【分析】根据图象，求出a，b，c的值，代入，可判断A、B的正误；代入方程，求出根，可判断C、D的正误. 【详解】由图象可得对称轴，则①， 最大值为4，所以②， 又与x轴交点为，所以③， 选项A：由①②③联立可得，所以，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，解得，故C错误； 选项D：，解得，，故D正确. 故选：ABD 12．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 13．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以，得， 当时，，函数图象在区间上单调递增，不满足条件， 当时，，函数图象在区间上单调递减，满足条件， 所以. 14．（25-26高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解． 【详解】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 15．（25-26高三上·湖北咸宁·开学）已知幂函数 (1)求的值及函数的解析式； (2)若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或，或. (2). 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或. 所以或. （2）因为为偶函数，故， 又方程有一正一负两个实根， 即方程有一正一负两个实根， 设方程根为，则，解得. 所以实数k的取值范围为. 16．（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)证明：，，，； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过作差法结合幂函数性质证明； （2）利用奇偶性与单调性解不等式. 【详解】（1） ， 因为且，根据均值不等式， 且，所以分子，分母， 故，即． （2）函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 又因为幂函数的指数，所以在上单调递减，根据奇函数的性质，在上也单调递减， 由得， 因为是奇函数，所以，则不等式变为， 由于在和上均单调递减，需分情况讨论： 当且时，即，由单调性得，解得，结合得； 当且时，即且，无解； 当与异号时： 且，即，此时，不等式不成立； 且，即，此时，不等式成立； 综上，不等式的解集为． 17．（25-26高三上·福建漳州·开学）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 18．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知在上单调递增，求的取值范围； (3)若，求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集； （2）结合二次函数的图象与性质，即可求解； （3）根据二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 不等式，即，解得或， 即不等式的解集为. （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足， 所以的取值范围为. （3）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在递减，在上递增， 所以最小值为，又因为区间端点比距离对称轴更远，故函数在处取最大值， 在上的值域为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $