第10讲 二次函数与幂函数讲义-2027届高三数学一轮复习

第10讲 二次函数与幂函数 题型一 幂函数的定义域与值域 2 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 4 题型三 幂函数的奇偶性与单调性综合 5 题型四 二次函数的解析式图像性质及最值问题 7 课时精练 10 【基础回顾】 知识点1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图像 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 知识点2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图像和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图像 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 题型一 幂函数的定义域与值域 1. 将化为分数，判断奇偶性与定义域． 2. 结合图像求值域（注意定义域限制）． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图像经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图像过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 （多选）9．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知幂函数 的图像经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 （多选）10．（25-26高一上·全国·课后作业）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 比较大小方法： 同底数不同指数：利用单调性（如与）． 同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）． 中间值法：借助 0、 1 等中间值比较（如与，前者，后者）． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图像经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 2．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 3．（25-26高一上·全国·月考）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）已知幂函数的图像经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图像都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图像经过点，则函数在其定义域上单调递增 （多选）8．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图像关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 （多选）9．（25-26高一上·四川遂宁·期末）下列四个选项中，正确的选项为（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为空集 C．幂函数的图像都经过点 D．函数的定义域为 （多选）10．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知，，下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三 幂函数的单调性及求参 【例题精讲】 1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图像关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二上·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 6．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 7．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 （多选）9．（25-26高一上·广东中山·月考）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图像都经过点和 （多选）10．（25-26高一上·广东·月考）已知函数是幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．若在处有意义，则 B．对任意非零实数，有 C．若是增函数，则 D．若的定义域不为，点在函数的图像上，则 题型四 幂函数的奇偶性 1. 由奇偶性确定的分数形式中 p, q 的奇偶性． 2. 结合单调性判断的正负． 3. 利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·湖南长沙·学业考试）函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东湛江·期末）下列函数既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山西晋中·月考）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知幂函数 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．的图像过点， C．是单调函数 D．无最值 （多选）8．（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 （多选）9．（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图像关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 （多选）10．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 题型五 二次函数性质及最值问题 1. 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图像与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 2. 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“轴定区间动”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·模拟预测）已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 4．（25-26高三下·云南楚雄·月考）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 6．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图像顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ （多选）8．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 （多选）9．（25-26高一上·江西上饶·月考）下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．不等式解集为 C．函数最小值为5 D．“”是“二次函数在上不单调”的充要条件. （多选）10．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图像过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 3．（25-26高一上·广东广州·期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图像关于轴对称 C．的图像过点 D． 4．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 5．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若函数与同时满足以下条件：①与具有相同的定义域与单调区间；②且.则称是的“二倍函数”，已知函数，是函数，的“二倍函数”，则（   ） A．5 B．4 C．2 D．1 6．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）8．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 （多选）10．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 （多选）11．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图像关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 三、填空题 12．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 13．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 14．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且 有 ；③且 有 ；④. 四、解答题 15．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知幂函数 (1)求的值及函数的解析式； (2)若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 16．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 17．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图像过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 19．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图像过点，函数，函数 ． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次函数与幂函数 题型一 幂函数的定义域与值域 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】AD 9．【答案】AC 10．【答案】AC 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】ACD 9．【答案】AB 10．【答案】ABD 题型三 幂函数的单调性及求参 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】BCD 9．【答案】BCD 10．【答案】ABD 题型四 幂函数的奇偶性 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】ABD 9．【答案】BC 10．【答案】ABD 题型五 二次函数性质及最值问题 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】ABD 9．【答案】ABC 10．【答案】ACD 课时精练 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】BC 9．【答案】ACD 10．【答案】BCD 11．【答案】BCD 12．【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 13．【答案】2 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，进而可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 14．【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 15．【答案】(1)或，或. (2). 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或. 所以或. （2）因为为偶函数，故， 又方程有一正一负两个实根， 即方程有一正一负两个实根， 设方程根为，则，解得. 所以实数k的取值范围为. 16．【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得； （2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意， 所以，. （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，解得. 所以实数的取值范围为. 18．【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图像过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 19．【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出 并验证，进而求出 值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. （3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图像不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次函数与幂函数 题型一 幂函数的定义域与值域 2 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 7 题型三 幂函数的奇偶性与单调性综合 10 题型四 二次函数的解析式图像性质及最值问题 19 课时精练 27 【基础回顾】 知识点1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图像 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 知识点2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图像和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图像 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 题型一 幂函数的定义域与值域 1. 将化为分数，判断奇偶性与定义域． 2. 结合图像求值域（注意定义域限制）． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图像经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图像经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 【答案】A 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质求出的定义域、值域、奇偶性和单调性判断选项ABC；利用奇偶性和单调性解不等式，得到，判断选项D. 【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图像和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C 4．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图像过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 5．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析求出参数，结合题意分析得出函数的解析式，然后利用函数单调性求值域即可. 【详解】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. （多选）9．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知幂函数 的图像经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断ABC；解法一：取特殊值计算可判断D，解法二：作图，根据函数图像可判断D. 【详解】设幂函数 的解析式为， 因为幂函数 的图像经过点， 所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确； 对于D，解法一：，取， 则，， 此时， 解法二：作出函数的图像如下：      由图像可知，函数为凹函数， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC （多选）10．（25-26高一上·全国·课后作业）幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AC 【详解】当时，的定义域和值域均为，故A正确；当时，的定义域为，值域为，故B错误；当时，的定义域为，值域为，故C正确；当时，的定义域为，值域为，故D错误． 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 比较大小方法： 同底数不同指数：利用单调性（如与）． 同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）． 中间值法：借助 0、 1 等中间值比较（如与，前者，后者）． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图像经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图像关于轴对称，又，则该函数图像在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图像经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 2．（25-26高三下·湖北随州·月考）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 3．（25-26高一上·全国·月考）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 4．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）已知幂函数的图像经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【详解】设，因为幂函数的图像经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合已知数据，即可比较大小. 【详解】∵， ∴，∴； 又， ∴，又均为正数， ∴，∴， ∴. 故选：A. 6．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，将所给的数转化为便于比较的形式即可求出. 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 7．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图像都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图像经过点，则函数在其定义域上单调递增 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：当时，，则无意义，错， B：当时，，错， C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，错， D：由，则在定义域上单调递增，对. 故选：D （多选）8．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图像关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】直接根据幂函数的图像和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图像关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD （多选）9．（25-26高一上·四川遂宁·期末）下列四个选项中，正确的选项为（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为空集 C．幂函数的图像都经过点 D．函数的定义域为 【答案】AB 【分析】对于A，直接解不等式即可判断；对于B，根据一元二次不等式的求解即可；对于C，易知幂函数，不经过；对于D，求出定义域即可判断 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，，，即不等式的解集为空集，故B正确； 对于C，幂函数，不经过，故C错误； 对于D，，解得且， 即函数的定义域为，故D错误． 故选：AB． （多选）10．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知，，下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，利用作差比较法，以及幂函数的单调性即可求解 【详解】.，，又，，故A正确； ，，， ，故B正确； ，，， 当时，，. 当时，，，故C错误； （）在上是增函数， 又，，故D正确. 故选：ABD. 题型三 幂函数的单调性及求参 【例题精讲】 1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图像关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图像关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图像不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图像不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图像关于原点对称，在单调递增，D正确. 2．（2026高二上·北京·学业考试）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 3．（25-26高一上·广东广州·期中）下列函数中，在上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增，故A错误； 对于B，因为 是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由于 是对勾函数， 则在上单调递减，在上单调递增，故Ｃ错误； 对于D，由于 是幂函数，幂指数， 根据幂函数性质，幂指数为负时，函数在上单调递减，故D正确. 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 6．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 7．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． （多选）8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求解解析式，进而判断出ABC，再根据偶函数的定义即可判断D． 【详解】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． （多选）9．（25-26高一上·广东中山·月考）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图像都经过点和 【答案】BCD 【详解】对于A，设，将点代入，则，，则，故A正确； 对于B，因为，所以不是幂函数，故B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减， 所以解得，故C错误； 对于D，幂函数的图像不经过也不经过，故D错误. （多选）10．（25-26高一上·广东·月考）已知函数是幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．若在处有意义，则 B．对任意非零实数，有 C．若是增函数，则 D．若的定义域不为，点在函数的图像上，则 【答案】ABD 【分析】利用幂函数概念可求得参数，或，再结合选项中的定义域和单调性条件可确定幂函数，从而可利用幂函数计算检验，结合基本不等式，对各选项逐一判断即可. 【详解】由幂函数的定义可知可得，或. 对于A，由在处有意义，即存在，则，此时，，故A正确； 对于B，由幂函数，可知，故B正确； 对于C，由是增函数，可知，此时，，故C错误； 对于D，若的定义域不为，此时，即， 依题意可得，即，于是，故D正确. 故选：ABD. 题型四 幂函数的奇偶性 1. 由奇偶性确定的分数形式中 p, q 的奇偶性． 2. 结合单调性判断的正负． 3. 利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 2．（2026高二下·湖南长沙·学业考试）函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图像关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 3．（25-26高一上·广东湛江·期末）下列函数既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项，不满足单调性；B选项，求出定义域，不满足奇偶性；C选项，不满足单调性；D选项，先得到为奇函数，画出图像，得到其单调递增，满足要求，D正确. 【详解】A选项，在R上单调递减，A错误； B选项，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，B错误； C选项，在，上分别单调递增，但在定义域上不是增函数，C错误； D选项，设， 当时，，则， 当时，，则， 故为奇函数， 画出的图像，如下： 故单调递增，D满足要求. 故选：D 4．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 5．（25-26高一上·山西晋中·月考）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 6．（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质列式求出值. 【详解】由幂函数在区间上单调递增，得，而， 解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此. 故选：C 7．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知幂函数 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．的图像过点， C．是单调函数 D．无最值 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再根据函数的性质结合函数奇偶性、单调性、最值的定义对选项进行分析判断． 【详解】是幂函数， ，定义域为， 选项A：，是奇函数，不是偶函数，故A错误； 选项B： 无意义，的图像不过点，故B错误； 选项C：在和上分别单调递减，但整体不连续，不满足单调函数定义，故C错误； 选项D：的值域是，无最大值、最小值，故D正确． 故选：D． （多选）8．（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 【答案】ABD 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图像经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. （多选）9．（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图像关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图像上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图像上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. （多选）10．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图像经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 题型五 二次函数性质及最值问题 1. 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图像与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 2. 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“轴定区间动”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图像的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 2．（2026·江西·模拟预测）已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像结合列式解方程，数形结合得出范围. 【详解】作出的图像. 当，解得， 当，解得， 由结合函数图像，可得或. 当，解得，当，解得，由，可得； 当，解得，当，解得， 当，解得，当，解得， 由，可得或或. 综上，的取值范围为. 3．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）函数的最大值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】B 【详解】令，可得， 可得函数的最大值为9. 4．（25-26高三下·云南楚雄·月考）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图像开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图像开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 6．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是 7．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图像顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图像结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图像可知，二次函数图像开口向下，则，图像与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图像经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图像顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. （多选）8．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【答案】ABD 【分析】求出方程的两根为即可分析求解判断AB；由题设得到不等式即可求解判断C；分、和分析函数单调性求出最小值即可求解m判断D. 【详解】因为二次函数， 所以方程， 所以，故A正确； 方程的两根为，且， 所以一元二次不等式的解集为，故B正确； 若且，则，故C错误； 二次函数对称轴为，开口向上， 所以当时，函数的图像在上单调递减， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为，故此情况无解， 综上，的值为或4，故D正确； 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·江西上饶·月考）下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．不等式解集为 C．函数最小值为5 D．“”是“二次函数在上不单调”的充要条件. 【答案】ABC 【分析】由，计算的值即可判断A选项；解不等式判断B选项；求出函数的最小值判断C选项；由二次函数的性质判断D选项. 【详解】A选项，由，所以，A选项错误； B选项，时，不等式成立，B选项错误； C选项，当时，，C选项错误； D选项，由于对称轴方程为，所以“”是“二次函数在上不单调”的充要条件，D选项正确. 故选：ABC. （多选）10．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知二次函数，满足则下列正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．若在上的值域为，则 D．若在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据对称性可求解析式，利用解析式可判断B、C，分离参数，求解最值可判断D. 【详解】由，可得对称轴为，所以，A正确； 因为，所以，即，解得，B错误； 由在上的值域为，可知其最小值必为，故， 其最大值必为3，而，故须满足，解，得， 综上，，C正确； 因为在上不等式恒成立，所以， 因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确. 故选：ACD 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图像过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 2．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义和单调性得到，进而求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 由幂函数的定义及单调性得，解得． 故选：B 3．（25-26高一上·广东广州·期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的图像关于轴对称 C．的图像过点 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由于的定义域为，故ABC错误， 为上的单调递减函数，故，D正确， 故选：D 4．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数图像性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，由的图像经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 5．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若函数与同时满足以下条件：①与具有相同的定义域与单调区间；②且.则称是的“二倍函数”，已知函数，是函数，的“二倍函数”，则（   ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性与值域，再根据“二倍函数”的定义得在上单调递增，进而求得值域，最后根据值域关系即可求得答案. 【详解】，， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以， 因为函数，是函数，的“二倍函数”， 所以函数在上单调递增，且值域为， 因为函数， 所以，即，解得， 所以. 故选：B 6．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 7．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 二、多选题 （多选）8．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判断BC. 【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. （多选）9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． （多选）10．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. （多选）11．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数与的图像关于直线对称 C．，当时，恒有 D．若幂函数在上单调递减，则 【答案】BCD 【分析】由对数函数的性质可判断A；由反函数的性质可判断B；由指数函数的增长速度远远快于一次函数，可判断C；由幂函数的性质可判断D. 【详解】对于A选项，函数恒过定点，故A错误； 对于B选项，函数与的图像关于对称， 即函数与的图像关于直线对称，故B正确； 对于C选项，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数， 所以时，恒有，故C正确； 对于D选项，由幂函数性质可得，幂函数在单调递减，则，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 13．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义结合奇偶性可得，进而可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 14．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 四、解答题 15．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知幂函数 (1)求的值及函数的解析式； (2)若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或，或. (2). 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 解得或. 所以或. （2）因为为偶函数，故， 又方程有一正一负两个实根， 即方程有一正一负两个实根， 设方程根为，则，解得. 所以实数k的取值范围为. 16．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 17．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得； （2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意， 所以，. （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，解得. 所以实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图像过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图像过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图像过点，函数，函数 ． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出 并验证，进而求出 值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. （3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图像不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $