2.5 二次函数与幂函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，按考向预测、双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练的逻辑架构展开，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，帮助学生系统突破二次函数区间最值、含参讨论及幂函数图像性质等难点。 资料采用分层教学设计，双基自测夯实基础，题型突破通过分类讨论、数形结合等例题培养数学思维，限时训练模拟高考情境提升应用意识。如二次函数单调性与最值的含参分析，引导学生用数学语言表达函数关系，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第二章 函 数 §2.5　二次函数与幂函数 【高考考向预测】 近三年高考二次函数与幂函数考查频次稳定，二次函数为必考核心内容，广泛融入大小题之中，侧重图像性质、区间最值、含参讨论及方程不等式综合应用，幂函数多以基础小题形式考查图像与简单性质；预测2027 年高考将延续该考查模式，二次函数依旧侧重区间值域、恒成立问题与数形结合应用，幂函数侧重基础图像辨识与数值比较，命题注重二者与其他函数知识融合，着重考查分类讨论与数形结合思想。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=是幂函数.(　 　) (2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0. (　 　) (3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1，+∞). (　 　) (4)若幂函数y=xα是偶函数，则α为偶数. (　 　) 【答案】（1）×（2）√（3）×（4）× 2.(2026·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)等于(　　) A. B.2 C.16 D.±2 【答案】B 【解析】由题意设f(x)=xα(α为常数)， ∵f(x)的图象经过点(2，)， ∴2α=，解得α=， ∴f(x)=，∴f(4)==2. 3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是(　　) A.[0，1] B. C.[1，2] D. 【答案】D 【解析】f(x)=2x2-x-1=2-， 因为-1≤x≤1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f=-， 又f(1)=2-1-1=0，f(-1)=2+1-1=2， 故f(x)=2x2-x-1在[-1，1]上的值域为. 4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，-3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】(-∞，4] 【解析】由函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，-3]上单调递减，可得-≥-3，即a≤4，故实数a的取值范围是(-∞，4]. 【核心梳理●明考点】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y=xα为奇函数；当α为偶数时，y=xα为偶函数. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 1.幂函数的性质 (1)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 2.谨防三个易误点 (1)幂函数f(x)=(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. (2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理. (3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论. 【题型突破●明方向】 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B.幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限 C.若幂函数y=(m2-m-1)x-m+1在(0，+∞)上单调递减，则实数m的值为2 D.“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】A选项，幂函数的图象一定经过点(1，1)，若幂函数在x=0处有定义，则其图象过点(0，0)，若幂函数在x=0处没有定义，则其图象一定不过点(0，0)，A错误； B选项，幂函数f(x)=xα，当x>0时，f(x)=xα>0，所以幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限，B正确； C选项，由题意可得m2-m-1=1且-m+1<0，解得m=2，C正确； D选项，若α为奇数，则幂函数f(x)=xα为奇函数，若幂函数f(x)=xα为奇函数，α并不一定为奇数，例如f(x)==，故“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件，D正确. (2)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 【答案】B 【解析】根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象：当n>0时，n越大，y=xn增长速度越快，所以曲线C1的n=2，C2的n=； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-，C4的n=-2. 【思维升华】(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据α<0，0<α<1，α=1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【跟踪训练】1　(1)(2026·沧州模拟)已知点在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 【答案】A 【解析】由题意可得=2α，所以α=-2， 所以f(x)=x-2，易知当x>0时，f(x)=x-2单调递减， 又1<log23<2，0<log32<1，>2， 所以f(log32)>f(log23)>f()， 即b>a>c. (2)(2025·江门模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm的图象关于y轴对称，则f(2m+2)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数f(x)=(m2-m-5)xm是幂函数，得m2-m-5=1，解得m=-2或m=3， 当m=3时，f(x)=x3是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当m=-2时，f(x)=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，因此m=-2，f(x)=x-2， 所以f(2m+2)=f(-2)=(-2)-2=. 题型二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 【解析】方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1)， 所以抛物线的对称轴为x==， 所以m=. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n=8， 所以f(x)=a+8. 因为f(2)=-1，所以a+8=-1， 解得a=-4， 所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8，即=8. 解得a=-4. 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 【思维升华】求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【跟踪训练】2　已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  【答案】f(x)=x2-4x+3 【解析】依题意，设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0)， 由二次函数f(x)的图象过点(0，3)， 得f(0)=3， 所以4a+h=3，即h=3-4a， 所以f(x)=a(x-2)2+3-4a， 令f(x)=0，即a(x-2)2+3-4a=0， 所以ax2-4ax+3=0， 设方程的两根为x1，x2， 则x1+x2=4，x1x2=， 所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-， 所以16-=10，解得a=1， 所以f(x)=x2-4x+3. 题型三　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例3　(多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是(　　) A.abc<0 B.a+b+c=0 C.3a+c=0 D.4a+c>2b 【答案】BCD 【解析】∵抛物线的开口向下，∴a<0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-=-1， ∴b=2a<0，∴abc>0，故A错误； 由题图知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，于是有a+b+c=0，故B正确； 将b=2a代入a+b+c=0，可得3a+c=0，故C正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)， ∴当x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0， ∴4a+c>2b，故D正确. 命题点2　二次函数的单调性与最值 例4　(2026·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式. 【解析】(1)由题意知a≠0. 当a>0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上，对称轴方程为x=， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2， 又a>0，所以0<a≤； 当a<0时，f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下，对称轴方程为x=<0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减恒成立. 综上，a的取值范围是(-∞，0)∪. (2)①当0<≤1，即a≥时， f(x)在区间[1，2]上单调递增， 此时g(a)=f(1)=3a-2. ②当1<<2，即<a<时， f(x)在区间上单调递减，在区间 上单调递增，此时g(a)=f=2a--1. ③当≥2，即0<a≤时， f(x)在区间[1，2]上单调递减， 此时g(a)=f(2)=6a-3. 综上所述，g(a)= 【思维升华】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 【跟踪训练】3　(1)二次函数y=x2+(2a-1)x-3在区间[-1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) A.- B.- C.-或- D.-1或- 【答案】D 【解析】函数y=x2+(2a-1)x-3的图象开口向上，对称轴为直线x=. 若≤1，即a≥-，则当x=3时函数有最大值1，即9+(2a-1)×3-3=1，解得a=-； 若>1，即a<-，则当x=-1时函数有最大值1，即1+(2a-1)×(-1)-3=1，解得a=-1，故a=-1或a=-. (2)(2025·宝鸡模拟)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的值域是[2，3]，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.(0，2] C.[2，+∞) D.[1，2] 【答案】D 【解析】函数f(x)=x2-2x+3的图象的对称轴为直线x=1，且f(0)=f(2)=3，f(1)=2， 画出函数f(x)=x2-2x+3的图象，如图， 由图象可知，要使函数f(x)=x2-2x+3在[0，m]上的值域是[2，3]， 则1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2]. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A.-2 B.2 C. D. 【答案】D 【解析】当α=-2时，f(x)=x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意； 当α=2时，f(x)=x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意； 当α=时，f(x)=，x∈[0，+∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意； 当α=时，f(x)=，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意. 2.(2025·石家庄统考)已知a=，b=，c=1，则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 【答案】A 【解析】b==， 而函数y=在(0，+∞)上单调递增，2<9<17， 因此<<1，所以a<b<c. 3.(2025·苏州期末)设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若幂函数f(x)=xα在定义域内单调递减，则必有α<0，必要性成立； 但如α=-1<0，f(x)=x-1=不在定义域内单调递减，充分性不成立. 4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是(　　) A.(，+∞) B.∪(1，+∞) C. D.(-1，1) 【答案】C 【解析】∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4， 即f(x)max<4， 因为f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以当x∈[-1，2]时，函数f(x)的最大值在端点处取得，故即 解得-1<a<-. 5.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 【答案】B 【解析】由题图看出，f(x)为偶函数，定义域为R， A选项，f(x)==，定义域为[0，+∞)，不符合题意； B选项，f(x)==，定义域为R，且满足f(-x)===f(x)， 故f(x)=为偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，增长速度越来越慢，B正确； C选项，f(x)==的定义域为{x|x≠0}，C错误； D选项，f(x)==()x=，不是偶函数，且在R上为减函数，D错误. 6.(2025·湖南长郡中学模拟)已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)， 故a>0，Δ=12-4ac=0，故ac=， 所以c>0，+==4(a2+c2)+8(a+c) ≥8ac+8×2=2+8=10， 当且仅当a=c=时，等号成立， 故+的最小值为10. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) 【答案】BD 【解析】因为f(x)=ax2-2x+1，g(x)=xa， 对于A，当a=-1时，f(x)=-x2-2x+1，其图象开口向下，对称轴方程为x=-1，g(x)=x-1=，其图象关于原点对称，且在(0，+∞)上单调递减，故A可能是其图象； 对于B，当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时，a>0，此时g(x)=xa在(0，+∞)上单调递增，故B不可能是其图象； 对于C，当a=时，f(x)=x2-2x+1，其图象开口向上，对称轴方程为x=2，g(x)=，其图象在[0，+∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故C可能是其图象； 对于D，当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x=-=>0，故D不可能是其图象. 8.(2025·金华期末)已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.当α=3时，f(π)>f(3) B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0 C.当α=时，[f(x)]2是奇函数 D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f≤ 【答案】ABD 【解析】当α=3时，f(x)=x3在R上单调递增，所以f(π)>f(3)，故A正确； 若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则函数f(x)在x=0处没有定义，故α<0，故B正确； 当α=时，f(x)=(x≥0)，则[f(x)]2=x(x≥0)，定义域不关于原点对称，故[f(x)]2为非奇非偶函数，故C错误； 若α=2，则f(x)=x2， f==， =， 故f- =- = =≤0，当且仅当x1=x2时，等号成立， 故f≤，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　.  【答案】[3，+∞) 【解析】因为函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数，则m2-3m+3=1，解得m=1或m=2. 当m=1时，f(x)=x，该函数是奇函数，不符合题意； 当m=2时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意. 所以f(x)=x2，则g(x)=x2-2ax，其对称轴方程为x=a. 因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，则a≥3. 10.(2026·南阳模拟)若函数f(x)=x2-2x+3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n-m的最大值为　　　　.  【答案】8 【解析】因为函数f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2， 所以当x=1时，f(x)有最小值f(1)=2， 当f(x)=18，即x2-2x+3=18时，解得x=-3或x=5， 又当x∈[-3，1)时，f(x)单调递减， 当x∈(1，5]时，f(x)单调递增， 所以n的最大值为5，m的最小值为-3， 所以n-m的最大值为5+3=8. 四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值；(7分) (2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分) 【解析】(1)由题意得g(x)图象的对称轴为直线x=-=2， 所以当x=2时，g(x)取得最小值，当x=1或x=3时，g(x)取得最大值， 则解得 (2)由(1)得g(x)=3x2-12x+13，其图象的对称轴为直线x=2， 若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调， 则m-1<2<2m，解得1<m<3， 所以实数m的取值范围为(1，3). 12.(15分)已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求m和k的值；(7分) (2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(8分) 【解析】(1)由函数f(x)=(2k-1)为幂函数，则2k-1=1，解得k=1. 由f(x)=(m∈N*)在(0，+∞)上单调递减，得m2-2m-3<0，解得-1<m<3， 而m∈N*，故m=1或m=2， 当m=1时，f(x)=x-4，定义域为{x|x≠0}， 且f(x)为偶函数，符合题意； 当m=2时，f(x)=x-3，定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，不符合题意， 故m=1，k=1. (2)由(1)得m=1，则(2a+1)-1<(3-2a)-1， 即<，故2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3-2a或2a+1<0<3-2a， 解得<a<或a∈⌀或a<-. 故实数a的取值范围为∪. [每小题5分，共10分] 13.已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　) A.-3 B.-6 C.13 D.1 【答案】A 【解析】令g(x)=ax2+bx+c， 则f(x)=， 由图可得方程g(x)=0的两根为2和4， 则g(x)=a(x-2)(x-4)， 又由图象知f(3)=1， 即=1，则g(3)=1， 所以a×(3-2)×(3-4)=1，解得a=-1， 所以g(x)=-(x-2)(x-4)=-x2+6x-8， 所以b=6，c=-8， 则a+b+c=-1+6-8=-3. 14.(2025·岳阳模拟)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为　　　　　.  【答案】[-1，+∞) 【解析】不等式(x-1)9 999-(2x)9 999≤x+1可化为(x-1)9 999+(x-1)≤(2x)9 999+2x， 而幂函数y=x9 999和y=x在R上均为增函数， 所以函数f(x)=x9 999+x为R上的增函数， 所以原不等式可化为f(x-1)≤f(2x)， 所以x-1≤2x，解得x≥-1， 故原不等式的解集为[-1，+∞). 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.5　二次函数与幂函数 【高考考向预测】 近三年高考二次函数与幂函数考查频次稳定，二次函数为必考核心内容，广泛融入大小题之中，侧重图像性质、区间最值、含参讨论及方程不等式综合应用，幂函数多以基础小题形式考查图像与简单性质；预测2027 年高考将延续该考查模式，二次函数依旧侧重区间值域、恒成立问题与数形结合应用，幂函数侧重基础图像辨识与数值比较，命题注重二者与其他函数知识融合，着重考查分类讨论与数形结合思想。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=是幂函数.(　 　) (2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0. (　 　) (3)二次函数y=a(x-1)2+2的单调递增区间是[1，+∞). (　 　) (4)若幂函数y=xα是偶函数，则α为偶数. (　 　) 2.(2026·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)等于(　　) A. B.2 C.16 D.±2 3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是(　　) A.[0，1] B. C.[1，2] D. 4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，-3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y=xα为奇函数；当α为偶数时，y=xα为偶函数. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 1.幂函数的性质 (1)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 2.谨防三个易误点 (1)幂函数f(x)=(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. (2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理. (3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论. 【题型突破●明方向】 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B.幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限 C.若幂函数y=(m2-m-1)x-m+1在(0，+∞)上单调递减，则实数m的值为2 D.“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件 (2)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 【跟踪训练】1　(1)(2026·沧州模拟)已知点在幂函数f(x)=xα的图象上，设a=f(log23)，b=f(log32)，c=f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b (2)(2025·江门模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm的图象关于y轴对称，则f(2m+2)等于(　　) A. B. C. D. 题型二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 【跟踪训练】2　已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  题型三　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例3　(多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是(　　) A.abc<0 B.a+b+c=0 C.3a+c=0 D.4a+c>2b 命题点2　二次函数的单调性与最值 例4　(2026·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式. 【跟踪训练】3　(1)二次函数y=x2+(2a-1)x-3在区间[-1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) A.- B.- C.-或- D.-1或- (2)(2025·宝鸡模拟)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的值域是[2，3]，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.(0，2] C.[2，+∞) D.[1，2] 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A.-2 B.2 C. D. 2.(2025·石家庄统考)已知a=，b=，c=1，则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 3.(2025·苏州期末)设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是(　　) A.(，+∞) B.∪(1，+∞) C. D.(-1，1) 5.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 6.(2025·湖南长郡中学模拟)已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) 8.(2025·金华期末)已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.当α=3时，f(π)>f(3) B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0 C.当α=时，[f(x)]2是奇函数 D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f≤ 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　.  10.(2026·南阳模拟)若函数f(x)=x2-2x+3在区间[m，n]上的值域为[2，18]，则n-m的最大值为　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值；(7分) (2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分) 12.(15分)已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求m和k的值；(7分) (2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(8分) [每小题5分，共10分] 13.已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　) A.-3 B.-6 C.13 D.1 14.(2025·岳阳模拟)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为　　　　　.  第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $