2.11 函数与方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程专题，整合零点概念、存在定理、二分法及六大核心考点，按“基础概念-定理应用-解题方法”层次架构知识，通过考点梳理、方法归纳、真题训练流程，帮助学生系统突破零点判断、参数范围等高频难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，创新“考点分类-题型拆解-策略总结”教学模式，如考点二通过函数图像与性质分析零点个数，强化几何直观与推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合真题案例解析，确保复习高效精准，助力学生提升应考能力，为教师提供清晰的复习进度把控方案。

2.11 函数与方程 函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0． 2．求区间(a，b)的中点c． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 考点一　判断零点所在区间 考点二　零点个数的判断 考点三　利用零点所在的区间求参数范围 考点四　比较零点的大小以及零点求和 考点五　利用零点的分布求参数 考点六　求方程的近似解 考点一　判断零点所在区间 1．（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可. 【详解】设，因为和都是上的单调递增函数， 因此是上的单调递增函数，原方程的解就是的唯一零点. 当时，， 当时，， 由，可知单调函数的零点. 4．（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可． 【详解】函数在定义域上连续，且为增函数， 又， ， 故函数的零点在区间内. 5．（25-26高三上·河北保定·开学考试）方程的实数根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令函数，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又， 因此函数在上存在零点， 所以方程的实数根所在的区间为． 6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由解析式知在定义域上单调递增，且， 所以的零点在，故. 考点二　零点个数的判断 7．（湖南邵阳市2026年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）函数在上的零点个数为________． 【答案】3 【详解】令，则或， 且，则， 可得或或，解得或或， 所以函数在上的零点个数为3. 8．（2026·重庆·三模）（多选）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 【答案】ABD 【详解】对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确； 对B，当时，， 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增， 又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.    9．（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为__________. 【答案】， 【分析】本题可将方程根的问题，转化为函数图像交点的问题，先分析分段函数每段情况，画出函数图像. 要使方程恰有三个根，即函数与函数有三个不同的交点，观察图像可知，当时，均可满足方程有三个根，从而解决问题. 【详解】解：当时，，令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减，因此为的极大值点， 此时极大值，亦为最大值，因此，； 当时，，由二次函数开口向上，对称轴， 所以，函数图像如下所示， 要使方程恰有三个根，则函数与函数有三个不同的交点， 由图可知，当时，函数与函数均有三个不同的交点， 即方程恰有三个根，可以取. 10．（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 11．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得： ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 12．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合函数的单调性及数形结合的方法，对参数和分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断. 【详解】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与轴的交点位于轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 考点三　利用零点所在的区间求参数范围 13．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 14．（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【详解】由，知在内存在唯一的解. 当时，，则，即， 因仅有选项B,C中的值在此范围，故B,C正确. 15．（25-26高三上·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 16．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离参数，转化为求两函数图像交点的问题，画出在区间的图像即可. 【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解， 当时，，故可化为， 令，，则问题转化为与在各有一个交点. 设， ， 时，， 故，在单调递增， 又，所以时，，，在单调递增. 时，设， 故在上单调递增， 又，故存在使成立， ，，单调递减；，，单调递增. 又，，所以存在使成立， ，，单调递增；，，单调递减. 又, 所以大致图像如图所示， 故的取值范围为 故选：A. 17．（25-26高三上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 18．（25-26高三上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点四　比较零点的大小以及零点求和 19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 20．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    21．（25-26高三上·上海·期中）已知函数. (1)求的对称中心坐标； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 【答案】(1)对称中心为，其中. (2). (3). 【分析】（1）利用两角和差公式和倍角公式、辅助角公式化简求出解析式，再结合正弦函数的性质可得； （2）代入后化为恒成立，分离参数，设，利用单调递减、单调递增，证明该函数在区间上单调递减，求出最大值即可； （3）令，结合的图象与的交点即可求出. 【详解】（1）因为 ， 所以， 令，得，故对称中心为，其中. （2）由（1）知，， . 则原不等式化为， 当时，所以对任意的恒成立， 设， 任取，在此区间上单调递减、单调递增， 故，， 从而. 所以在上单调递减，故. 故，故实数的取值范围为. （3）由（1）知，. 令，当时. 画出的图象如图： 由图可知，其图象与共有个交点， 且，，， 则，，， 故. 22．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 23．（2026·湖北黄冈·二模）设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 因为是的唯一零点， 所以， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标. 当时，因为是的零点， 所以， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然，由数形结合思想可知：， 的中点在上， 所以， ，设 ， 由对勾函数的单调性可知该函数在时，单调递减， 即， 所以的取值范围是. 24．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 25．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理得出的取值范围，并求出、的值，即可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，故， 由可得，即，故. 26．（25-26高三上·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 考点五　利用零点的分布求参数 27．（25-26高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 28．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则有零点的充要条件是______. 【答案】 【分析】将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程根的问题求解即可. 【详解】函数有零点方程有解. 当时，方程有一解； 当时，方程有解， 综上知：有零点的充要条件是. 故答案为：. 29．（2026·天津·一模）函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 【答案】 【分析】结合三角函数零点与二次函数的零点分析判断即可. 【详解】当时，令，则，所以， 此时零点为正奇数：. 当时，， 此时在上单调递增，最多有一个零点. 因为恰有四个不同零点，所以在上至少有三个零点， 故，此时，在上有且仅有一个零点， 所以时，与轴有3个交点，需满足， 所以实数a的取值范围为. 30．（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数． (1)求的最小值； (2)将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式，先化简函数的解析式，再求其最小值. （2）先根据函数的图象变换得到函数的解析式，再利用整体代换法求函数的单调递减区间. （3）设，把问题转化为方程在上有两个不同的实数根，再结合二次函数的零点分布求参数的取值范围. 【详解】（1）由， 所以（当即，时取等号）. （2）将的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象； 再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 由，，. 所以函数的单调递减区间为：，. （3）因为，， 所以可化为. 设，因为，所以，所以，即， 则，. 要使原方程在上有四个不同的实数根，等价于方程在上有两个不同的实数根. 设， 由. 即实数的取值范围为. 31．（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选）已知函数，若关于的方程有3个实数解，则（　　） A． B． C． D．关于的方程有3个实数解 【答案】AC 【分析】画出的图像，结合图像，得到，可判定A不正确；根据题意，求得，结合指数函数的性质，可判定B不正确；分别求得且，可判定C正确；求得，设，得到，结合对数函数的性质和一元二次方程的性质，可判定D错误. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 对于A，因为方程有3个实数解， 即函数与的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得，故A正确； 对于B，当时，，可得其对称轴为，所以， 当时，由，即，解得，即， 因为，可得，则， 所以，故B错误； 对于C，当时，由，可得，所以， 当时，由，即，即， 则，故C正确； 对于D，当时，由， 可得在上为单调递减函数，且，即， 设，则， 由方程，即，其中， 当时，可得，即，解得，方程有唯一解； 当时，可得，则，解得， 因为，当，此时不满足，舍去； 当，此时满足，所以此时有唯一的解， 综上可得，方程只有两个实数解，所以D错误. 故选：AC. 32．（25-26高三上·浙江宁波·开学考试）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得； （2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，不符合题意，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意， 所以，. （2）因为有两个不相等的正数解，即方程有两个不相等的正数根. 设方程的两个正数根为，则，解得. 所以实数的取值范围为. 33．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解. （2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解. （3）按图象对称轴与区间的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可. 【详解】（1）函数为开口向上的二次函数，当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得，解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则，而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 考点六　求方程的近似解 34．（25-26高三上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 35．（25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 36．（25-26高三上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 37．（25-26高三上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数的零点个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用导数确定单调性，进而求出函数零点个数. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 函数在R上单调递减，而当时，， 所以函数的零点个数为1. 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数，则在区间上的零点个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】令，则， 解得， 令，解得， 所以， 在区间上的零点个数为8个 3．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 4．（25-26高三上·江西抚州·期中）已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式进行化简，问题转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】. 函数在上有且只有两个零点，可以转化为方程在区间上有且仅有两个不相等的实根， 令，因为，则. 结合的图象可知，若在有且仅有两个不相等的实根， 则，解得. 故的取值范围是. 5．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数有两个不同的零点，转化为函数的图象与直线有两个交点，利用求导判断函数单调性和图象趋势，分析即得参数范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 则方程有两个不同的实根，也即函数的图象与直线有两个交点. 由求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，， 当时，，且，当时，取得极小值. 作出函数的图象： 由图可知，当且仅当时，函数与直线有两个交点， 故实数的取值范围是. 6．（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析在区间内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出有3个零点的a的取值范围． 【详解】当时，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故是的极小值点，即为最小值点，， 且； 当时，， ， ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故函数的图象如下： 已知函数有3个零点，由图象可知， 当时，有3个交点； 当时，有3个交点； 综上，实数a的取值范围是． 7．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A． B．有4个极值点 C．在上有零点 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正负情况即可. 【详解】对于A选项，由，所以选项A正确； 对于B选项，令函数， 则， 所以为偶函数，， 令函数，则， 令函数，则， 当时，，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 则在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减， 则在上单调递增，即在上单调递增， 在上单调递减，因为， ，， 所以在上有1个极值点，在上有1个极值点， 所以只有2个极值点，所以选项B错误； 对于C选项，由，， 由零点的存在性定理可知在上有零点，所以选项C正确； 对于D选项，， 当时，，， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以选项D正确. 8．（2026·江苏南京·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．有且仅有2个零点 【答案】ABD 【分析】利用对数函数的性质求解定义域判断A，利用偶函数的定义判断B，利用导数的性质判断C，利用分类讨论思想结合零点存在性定理与偶函数性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 则的定义域为，故A正确， 对于B，由已知得的定义域关于原点对称， 而， 则是偶函数，故B正确， 对于C，当时，得到， 则，此时， 得到在上单调递减，故C错误， 对于D，由题意得的定义域为 不妨令，讨论时的情况即可， 当时，设， 可得，此时， 得到在上单调递减，而，， 可得，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 当时，，此时无零点， 当时，结合偶函数性质得有1个零点， 综上可得，有且仅有2个零点，故D正确. 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 【答案】ABD 【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得. 【详解】由函数的定义域：由，，得， 即函数的定义域为. 对于A：，满足奇函数定义，A正确； 对于B ：化简，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确； 对于C，由奇函数性质，， 所以不等式可化为： ， ，，所以, 又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误； 对于D，设，因为均为奇函数， 所以是奇函数，只需分析： 当时，，即是一个交点； 当时，求导得， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，，因此在无零点； 因为是奇函数，所以在无零点， 因此函数在有且仅有零点，故D正确. 10．（25-26高三上·四川南充·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 【答案】AB 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. 11．（25-26高三上·全国·期末）方程在上的近似解为 __（精确度为0.1）． 【答案】1.3126（答案不唯一） 【分析】根据二分法，依次计算区间端点及中间点的函数值，根据精确度判断零点所在区间，根据精确度要求写出方程的一个近似解. 【详解】设函数， 区间端点及中点的函数值用二分法逐次计算列表如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 因为，，， 所以原方程的解在区间上，所以取方程的近似解1.3126. 故答案为：1.3126（答案不唯一） 12．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质，得到的零点，结合题设条件建立不等式组即可求解. 【详解】由，得到， 因为在区间上有且只有个零点，故存在， 使得， 故， 因为，故且即， 故， 若，则即， 若，则，无解， 综上. 13．（25-26高三上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值. 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和增区间； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，增区间为； (2) 【详解】（1）， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以的增区间为； （2）当时，，则，故， 令，得，即实数的取值范围是. 15．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3). 【分析】（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值； （2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性； （3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定的取值范围. 【详解】（1），则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. （2），则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值； 即 有2个零点，，即. 令，则； 在上单调递增. 又， 时，； ，得； 即的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.11 函数与方程 函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0． 2．求区间(a，b)的中点c． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 考点一　判断零点所在区间 考点二　零点个数的判断 考点三　利用零点所在的区间求参数范围 考点四　比较零点的大小以及零点求和 考点五　利用零点的分布求参数 考点六　求方程的近似解 考点一　判断零点所在区间 1．（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北保定·开学考试）方程的实数根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二　零点个数的判断 7．（湖南邵阳市2026年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）函数在上的零点个数为________． 8．（2026·重庆·三模）（多选）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 9．（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为__________. 10．（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 考点三　利用零点所在的区间求参数范围 13．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（   ） A． B．1 C． D．3 15．（25-26高三上·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 16．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四　比较零点的大小以及零点求和 19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·上海·期中）已知函数. (1)求的对称中心坐标； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 22．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 23．（2026·湖北黄冈·二模）设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 24．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 25．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 考点五　利用零点的分布求参数 27．（25-26高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 28．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则有零点的充要条件是______. 29．（2026·天津·一模）函数，若恰有四个不同零点，则实数a的取值范围为______________． 30．（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数． (1)求的最小值； (2)将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 31．（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选）已知函数，若关于的方程有3个实数解，则（　　） A． B． C． D．关于的方程有3个实数解 32．（25-26高三上·浙江宁波·开学考试）已知幂函数在上单调递增． (1)求的值及函数的解析式； (2)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围． 33．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 考点六　求方程的近似解 34．（25-26高三上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 35．（25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高三上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）函数的零点个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数，则在区间上的零点个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西抚州·期中）已知，在上有且只有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南德宏·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A． B．有4个极值点 C．在上有零点 D．在上单调递增 8．（2026·江苏南京·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．有且仅有2个零点 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）设函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．曲线与曲线有且仅有个交点 10．（25-26高三上·四川南充·期末）（多选）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 11．（25-26高三上·全国·期末）方程在上的近似解为 __（精确度为0.1）． 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 12．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________． 13．（25-26高三上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 14．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数. (1)求的最小正周期和增区间； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $