2.8 函数与方程讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数与方程专题，涵盖函数零点概念、方程解关系、零点存在定理及二分法，按知识复习与十个典例（区间判断、个数、参数等）分层架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练，帮助学生构建知识网络与解题体系。 讲义采用分类突破与变式训练策略，如零点个数判断结合函数性质与图像分析，培养数学思维与几何直观。设置从基础到综合的例题梯度，配合即时方法总结，高效提升学生应考能力，为教师提供清晰复习路径与考点把控依据。

2.8 函数与方程（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【注意】函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 第二部分：典型例题 典例一：函数零点所在区间的判断（零点存在性定理） 1．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 6．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的零点所在的大致区间为（     ） A． B． C． D． 典例二：函数零点个数的判断 7．（25-26高三上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 9．（25-26高二下·天津·期末）设函数，则（    ） A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间上有零点，在内无零点 D．在区间上无零点，在内有零点 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 11．（25-26高三上·江苏常州·期末）若定义在上的函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 12．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 13．（25-26高三上·上海宝山·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 典例三：根据零点个数求函数解析式中的参数 15．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·四川攀枝花·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.若函数在上恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西榆林·二模）已知函数恰有3个零点，则整数的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 20．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数，若，则，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·山东聊城·一模）已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 22．（25-26高三上·广东汕尾·期末）已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 典例四：比较零点大小关系 23．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 25．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 26．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 典例五：求零点和 29．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，当时，的图象与直线的所有交点的横坐标的和为____________． 30．（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 31．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 32．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（25-26高三上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 34．（2025高三·全国·竞赛）已知，则在上所有根的和为_____. 35．（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）已知函数若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 36．（25-26高三上·安徽芜湖·阶段检测）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 典例六：根据零点所在区间求参数 37．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 39．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 41．（2026·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 42．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例七：函数零点的分布（一次、二次） 43．（2026·浙江·二模）函数至多有______个零点． 44．（25-26高三·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 45．（26-27高三·全国·暑假作业）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 46．（26-27高三·全国·暑假作业）若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 47．（26-27高三·全国·暑假作业）关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 48．（26-27高三·全国·暑假作业）关于x的方程有两个负根，求实数m的范围． 典例八：函数零点的分布（指对幂） 49．（25-26高三上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知函数，若关于的方程的实数根不少于个，则实数的取值范围是__________. 51．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 52．（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是___________；若4个零点分别记为，且，则的取值范围是___________． 53．（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数a的值； (2)当时，函数存在零点，求实数m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围． 54．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）函数，直线与的图象的四个交点的横坐标从左到右依次为、、、，则的取值范围是___________. 56．（25-26高三上·四川达州·阶段检测）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 典例九：二分法求零点 57．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 58．（25-26高三上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高三上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 60．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 典例十：求近似值 61．（25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高三上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 63．（25-26高三上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 64．（25-26高三上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8 函数与方程（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【注意】函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点． [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 第二部分：典型例题 典例一：函数零点所在区间的判断（零点存在性定理） 1．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数. 又， 所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 3．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 4．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 5．（25-26高三上·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 6．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的零点所在的大致区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理逐个选项代入计算验证即可. 【详解】因为零点存在定理：若函数在区间上连续，且，则在内存在零点. 因为函数的定义域是.函数在上单调递增. 对于选项A，，所以函数在上恒成立，故选项A不正确. 对于选项B，，所以. 故在区间存在零点. 对于选项C，，所以. 故选项C不正确. 对于选项D，，所以 故选项D不正确. 典例二：函数零点个数的判断 7．（25-26高三上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 8．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为_____. 【答案】 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 9．（25-26高二下·天津·期末）设函数，则（    ） A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间上有零点，在内无零点 D．在区间上无零点，在内有零点 【答案】D 【分析】先对函数进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案． 【详解】由题得，令解得； 令解得； 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在点处有极小值； 又，，， 即，， 所以在区间上无零点，在内有零点. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【分析】分， ，三种情况分析的零点个数，并结合函数的周期性，可得的零点. 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数 在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当 时， ，，则，函数在上无零点. 当时， ，则 ，. 令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在 上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以 ； 若，则，，所以 ； 又 ，所以在上恰有一个零点. 综上，函数 在有两个零点. 所以函数 有 个零点. 11．（25-26高三上·江苏常州·期末）若定义在上的函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】的零点个数，即与的交点个数，在同一坐标系分别作出与的图象，然后确定交点的个数即可. 【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数， 函数在上递增，且， 在上递减，且，在上递增，且， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图， 由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在[-6,6]内的交点个数， 观察图象知，函数的图象在内有12个交点， 所以函数在内有12个零点. 故选：B 12．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知，则函数的零点个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据函数零点定义，结合函数图象进行求解即可. 【详解】由，或， 函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点， 所以函数有7个零点.    故选：B 13．（25-26高三上·上海宝山·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 【答案】6 【详解】因为，，所以与均为偶函数， 所以只需先研究上的交点， 当时，，由，得， 整理得，解得或， 当，时，解得或，共2个解； 当，时，解为，共1个解. 所以当时，函数与的图象有3个交点； 所以由偶函数对称性，上也有3个交点。 所以函数与的图象的交点个数为6. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可. 【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标， 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图象如下： 两函数图象有3个公共点， 则函数的零点个数是3. 典例三：根据零点个数求函数解析式中的参数 15．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 16．（25-26高三上·四川攀枝花·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，.若函数在上恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出函数的周期性和对称性，再结合已知区间函数的表达式画出函数图象，根据函数在上恰有3个不同的零点列出不等式解出即可． 【详解】函数是定义在上的奇函数，，且， 由可知，函数关于直线对称，则， 即，则，的周期为4， ，即，的图像关于点对称， 又当时，，作出函数的部分图像： 函数在上恰有3个不同的零点，即在上有3个不同的交点. ，解得，故实数a的取值范围为. 故选：B. 17．（2026·陕西榆林·二模）已知函数恰有3个零点，则整数的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意解出，，分别画出函数图像，数形结合求解即可. 【详解】 令，得或； 作出的大致图象，如图所示， 这两个函数的图象的交点为，因为， 所以由图可知的取值范围是.故整数或2，个数为2. 故选：B 18．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为图象交点问题，从而结合图象即可得解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 设，则原方程可化为，解得或． 由图可知当时，有2个根． 因为原方程有4个不同的实数根，则有2个根， 所以或或， 解得或或，则实数的取值范围为. 故选：D. 19．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 (2). 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 20．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数，若，则，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，可化为，根据函数与函数均为增函数可得到两个函数的零点相同，即可得答案. 【详解】 ， 因为， 所以可化为， 函数在定义域上单调递增，零点为， 函数在上单调递增，零点为， 所以当函数与零点相同时，， 所以，即. 21．（2026·山东聊城·一模）已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 【答案】/ 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以函数的周期为， 所以， 由题意知，， 即， 解得. 22．（25-26高三上·广东汕尾·期末）已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可. 【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 由可知由指数函数向下平移2个单位得到， 结合函数图象易知，    即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点， 又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 典例四：比较零点大小关系 23．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 25．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 26．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 27．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    28．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 典例五：求零点和 29．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，当时，的图象与直线的所有交点的横坐标的和为____________． 【答案】 【详解】令，则或，， 所以或，，而， 所以， 故所有交点的横坐标的和为. 30．（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 31．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化成方程根的问题，利用韦达定理和判别式讨论的取值范围，进而求解4个零点之和的取值范围． 【详解】函数的零点即的解，，且时， ，所以方程的解必定为整数解，， 当时，方程为，即①； 当时，方程为，即②； 要使有4个不同零点，需两个二次方程各有2个不同的正实根，且满足符号条件， 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 综上可得，当时，两个二次方程各有2个不同的正实根，且无公共根， 有4个不同的零点， 方程①的两根之和为，方程②的两根之和为， 所有零点之和为， ， ，故所有零点之和的取值范围为． 32．（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 33．（25-26高三上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 34．（2025高三·全国·竞赛）已知，则在上所有根的和为_____. 【答案】60 【分析】首先确定两个函数的相同的对称中心，再根据两个函数图象的交点个数，以及交点的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称， 在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象上有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 故答案为： 35．（25-26高三上·河北承德·期末）（多选）已知函数若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象，对数的运算性质、二次函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】如图，作出函数的大致图象． 设．因为， 所以由图象可知，当时，直线与函数的图象有4个交点． 已知4个交点的横坐标分别为，且， 所以． 由关于直线对称，得，故A错误． 由，得，即，即， 所以，解得，故B正确． 由图象知，，则 ，故C正确． 由图象知，，即，得， 则， 因为函数在时，单调递减， 所以， 因此，故D错误． 故选：BC． 36．（25-26高三上·安徽芜湖·阶段检测）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】应用指对数转化，再换元得出，最后应用指数运算律及指对数转化求解. 【详解】  令，可得． 设，则， 解得，， 则． 故的所有零点之和为． 故选：A. 典例六：根据零点所在区间求参数 37．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 38．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象特点，结合零点存在性定理，列式求解. 【详解】，， 由条件可知，，解得：， 所以选项中满足条件的只有. 故选：B 39．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 40．（25-26高三上·上海·期中）若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__． 【答案】 【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得. 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 41．（2026·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 42．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 典例七：函数零点的分布（一次、二次） 43．（2026·浙江·二模）函数至多有______个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 44．（25-26高三·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 45．（26-27高三·全国·暑假作业）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 46．（26-27高三·全国·暑假作业）若关于的方程有且只有一个根在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】令， ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 47．（26-27高三·全国·暑假作业）关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 【答案】 【分析】令，条件可转化为，解不等式可得结论. 【详解】令， 因为方程有两个实数根，且一根大于，另一根小于， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 48．（26-27高三·全国·暑假作业）关于x的方程有两个负根，求实数m的范围． 【答案】 【分析】由条件结合二次函数图象列不等式求的范围即可. 【详解】令，对称轴为 根据题意，作函数的图象： 则，解得， 所以实数的范围是. 典例八：函数零点的分布（指对幂） 49．（25-26高三上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 50．（25-26高三上·贵州遵义·期末）已知函数，若关于的方程的实数根不少于个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由可得或，则直线、与函数图象交点个数至少为，对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得， 所以或， 由题意可知，直线、与函数图象交点个数至少为， 由图可知， ①当时，则直线与函数图象有个交点， 则直线与函数图象至少有个交点，则，解得， 此时； ②当时，直线与函数的图象有个交点， 直线与函数的图象有个交点， 则关于的方程的实数根的个数为，符合题意； ③当时，直线与函数的图象有个交点， 直线与函数的图象至少有个交点， 则关于的方程的实数根的个数至少为，符合题意； ④当时，直线与函数的图象至多有个交点， 直线与函数的图象只有个交点， 则关于的方程的实数根的个数至多为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 51．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 52．（25-26高三上·贵州毕节·期末）已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是___________；若4个零点分别记为，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据函数图象得出的取值范围，再根据函数图象与性质可得，，结合图象，并利用的范围即可求解. 【详解】函数有4个不同的零点等价于函数与有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，作出的图象如下： 由图象得：，， 且关于函数的对称轴对称， 所以， 故，所以， 所以， 令， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增； 所以， 又， 所以， 故答案为：； 53．（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数a的值； (2)当时，函数存在零点，求实数m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或或. 【分析】（1）根据偶函数的性质列方程，从而求得的值. （2）问题化为在上有解，利用对数复合函数的性质求右侧的值域，即可得. （3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知的定义域为R， ， 整理得， 而， ∴恒成立，则； （2）由题设在上有解， 所以在上有解， 由，故， 所以，即； （3）由， 函数在区间上单调递增， 当时，，则在上单调递增，故函数在上单调递增， 由函数为偶函数，知函数的减区间为，增区间为， 令，有， 方程①， 可化为，整理为②， ， 当时，有或， 时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； 当时，有或， 令，由上可知有一正一负两个零点， 只需，则或. 综上，或或. 54．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出的范围，再将选项C代入选项D，解出，即可判断. 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 55．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）函数，直线与的图象的四个交点的横坐标从左到右依次为、、、，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据条件画出函数的图象，根据图象以及函数的性质求解. 【详解】作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 由图可知点与点关于直线对称，所以，且， 所以， 因为函数在上单调递减，因为，所以， 且，因为，所以， 且有，故，即， 所以， 故的取值范围为. 故答案为：. 56．（25-26高三上·四川达州·阶段检测）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】令，如图所示， A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，A正确； B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 而，所以，B错误； C，由上知，，所以，C正确； D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，D正确. 典例九：二分法求零点 57．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 58．（25-26高三上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 59．（25-26高三上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 60．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 典例十：求近似值 61．（25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 62．（25-26高三上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 63．（25-26高三上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 64．（25-26高三上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $