江苏南通市海安高级中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试题

高一年级练习 数学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则（ ▲ ） A．1 B．2 C． D．5 2．已知，是两个不共线的向量，，，，则（ ▲ ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 3．（ ▲ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若与垂直，则（ ▲ ） A．13 B． C．11 D． 5．已知中，，，，则（ ▲ ） A． B． C．或 D．或 6．若，，其中，则（ ▲ ） A． B． C． D． 7．点是斜边上一点，若，，则的值（ ▲ ） A． B． C． D． 8．在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ▲ ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ▲ ） A． B． C． D． 10．下列结论中正确的有（ ▲ ） A．若为非零向量，且，则 B．对向量非零向量，，若，则存在唯一实数使得 C．在中，若，则与的面积之比为 D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11．设中角，，所对的边长度分别为，，，满足，则以下选项中正确的有（ ▲ ） A．为锐角三角形 B．若确定，则的面积确定 C． D． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 13．化简__________． 14．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数，其中，为虚数单位． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围． 16．（15分） 如图，在长方形网格中，每个小格都是边长为1的正方形，向量，，，向量，． （1）在图中，以为起点作向量，并求； （2）若与共线，求实数的值； （3）若与垂直，求实数的值． 17．已知函数，． （1）求函数的值域； （2）若，求的值． 18．（17分） “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说…除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，． （1）若，求； （2）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值． 19．（17分） 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随特征向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随特征向量； （2）记向量的伴随函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的伴随特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $高一年级练习 数学答案 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】A 5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】ABD10.【答案】BC11.【答案】ABD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】a13.【答案】2或0514，【答案】75 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 3m2-12=0 【详解】(1)z为纯虚数， ,解得m=2 3m2-m-14≠0 (2)由z在复平面内对应的点在第一象限， 3m2-m-14>0'解得m<-2或m 3m2-12>0 73 数m的取值范为-，-2仔 16.(15分) 【详解】(1)如图所示： 2a-=4-2a6+4=4+2-5: (2)因为元=ka+6,d=2a-6,且c与i共线， 2 k 1 所以21，解得k=4: 2 (3)因为c=ka+6,d=2a-6,且c与i垂直， 2 所uc-d=(a+6列2a-2a+2-ja6-5. 解得k=1. 2向量=a+6,d=2a-5 共线（平行）求参数 =26×2=0. 21 17.【详解】 【小问1详解】 √3sin+co 2 22 2.cos2-1 22 cos- 2 1 2 222 即函数f(x)的值域为 15 2'2 【小问2详解】 引 所ea2引m+引引-n2+引+孙+引-2 3 18.(17分) 【详解】 (1)在aABD中，由AB=2,AD=2V3.∠A=30°， 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB-AD0sA=2:+2月-2×2×2V5×5=4, 所以BD=2. 又BC=CD=2,所以△BCD是等边三角形，所以∠C=60°； (2)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD-2AB·ADcosA=16-8V3CoSA, 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC.CDcosC=8-8cosC, ∴.16-8V3cosA=8-8cosC,所以V3cosA-cosC=1为定值； 3)iinDCsinc2sinc S2+S2=16-(12cos2 A+4cos2C), 由(2)知：√5cosA=cosC+1,∴V3cosA-1=cosC 代入上式得：S+S号=16-12cos2A-4V3cosA-1=-24cos2A+8V3cos4+12, 配方得：S+S=-240s4-5） +14, 6 ,C∈(0，π)，.-1<cosC<1 又.V3cosA-1=cosC,∴.V3cosA=cosC+1>0 所以当c0s1=5时，S+S取到袋大值14. 6 19.(17分) 5+cosxsi 6 5元+cosx 6 gx)=-53 -sinx+ osx“gx)的伴随特征向量OM= (2)向量ON=(1,V3)的伴随函数为f(x)=six+V3cosx, =m+5owsx=nx+引-sc}-号 (引+引m+到- m引周引+9+到 8)山0i=(5刘为创=m个-引9mr mncosx的伴随特征向量知：m=-2. 断-引-2m修）君}-2怎-引-2m 设P,20s24-2.3.B(2,6. 0-(+22号-即-(-22wm3-6 又，亚1丽.那=0+2-22a-2ao-6）0 x2-4+4cos21 1 x-18cos÷x+18=0 2 2 4 s19)2 20o2-2)和 5-2同时等于孕，这时（内式成立 25 4 ∴在y=h(x)图像上存在点P(0,2),使得AP⊥BP.