精品解析：江苏南京师范大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

南师附中2025-2026学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，，则为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 一定为实数 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C. 若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D. 存在点E，使得平面 11. 已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则的面积最大值为3 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在锐角中，已知，，，则的面积等于______ 13. 在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 14. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）求证：； （2）若，且，求． 16. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． （1）求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面的夹角． 17. 当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题： （1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由； （2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）． 18. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 19. 设函数． （1）求的值； （2）求方程的最小的9个正实数解之和； （3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师附中2025-2026学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部 【详解】由，可得 则复数z的虚部为2 故选：D 2. 已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论充分性和必要性，即可选出答案． 【详解】充分性：由直线和平面垂直的性质定理，可知“若，则”能够推出，故充分性成立；必要性：当时，若，显然成立． 故若，则“”是“”的充要条件，故选C. 【点睛】本题考查了直线和平面垂直的性质定理，及平行线的性质，属于基础题． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到的范围，求出，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】 ， ． 4. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先判断角的范围，求得，再根据正弦定理确定的大小关系，从而判断角的范围求得，再用诱导公式结合两角和的余弦公式计算． 【详解】∵，∴为锐角， ， 由正弦定理，得， 所以，故为锐角， ∴， ． 5. 已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，解得. 6. 已知，，且，，则为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 由两角和的正切公式得， 而，，可得， 故，因此． 7. 已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，化简得， 在上的投影向量为：． 8. 在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数恒等变换公式对已知式子化简可求得，再由平分结合面积公式，可得，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】已知 ， 由余弦定理，又，所以， 由等面积法知，又平分， 则，又， 所以有，即， 因此 ， 当且仅当时取等． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 一定为实数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据分析判断即可；对于B：根据运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算分析判断. 【详解】设，，，则，. 对于选项A：因为，则或， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 即，可得，故B正确； 对于选项C：例如，，则，， 可得，符合题意，但，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以一定为实数，故D正确． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C. 若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D. 存在点E，使得平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.通过线线平行证明线面平行；C.画图可得；D.由与不垂直，知不存在点E，使得平面. 【详解】在正方体中有，，又平面, 所以平面， 因为平面，所以，故A对； 在B中，由中点得，即有， 在C中，如图，延长，分别交直线、于，连接交于， 连接，交于，则可得如图所示的截面， 此时截面为五边形，故C对； 因为四边形是矩形，非正方形，所以与不垂直， 若存在点E，使得平面，平面，则，矛盾， 所以不存在点E，使得平面，故D错. 11. 已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则的面积最大值为3 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量模的运算，结合一元二次不等式恒成立，得到一个结论且，再利用这个结论结合向量的线性运算可判断A，结合直角三角正切函数可判断B，利用面积变换，结合不等式求最值可判断C，利用三角形内角和及正切的和角公式可判断D. 【详解】 由已知得：，平方得：， 化简得： ， 因为上式对恒成立，所以 ， 化简得： ， 即，则作垂足为，有，所以， 因为，故A错误； 因为 ，故B正确； 因为，即， 所以， 所以当且仅当时取等号，故C正确； 因为， 所以 ， 当且仅当时取等，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在锐角中，已知，，，则的面积等于______ 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理得，解得或， 因为最大边为，所以，即，即，故舍，此时． 13. 在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为. 14. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据任意三角函数值的定义可知，，根据同角三角函数关系结合两角和差公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 若，则， 且，可知， 则， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）求证：； （2）若，且，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先设，，a，b，c，，再代入计算即可证明； （2）先求出，，再结合（1）即可求出． 【小问1详解】 设，，a，b，c，， ． 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）得，所以，故． 16. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． （1）求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【小问1详解】 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. 【小问2详解】 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 17. 当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题： （1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由； （2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）． 【答案】（1）是， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对进行边角互化，根据平方差公式、两角和差化积公式、二倍角的正弦公式进行化简，可得，即为“倍角三角形”.由锐角三角形中各角均为锐角，列得关于的不等式，求解可得的范围，即幸运角的取值范围； （2）由已知条件可直接求出，由正弦定理及二倍角公式可求得，根据三角形的面积公式可得的面积，减出三角形内部三个观景台的面积，即为围成区域内湖面的面积. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得， 即有， 得， 得， 因为，所以 ， 所以， 又在中，， 所以，即，或 （舍去）. 因此是倍角三角形. 由锐角三角形得，即，解得， 因此幸运角的取值范围是； 【小问2详解】 由，，， 得 ，所以. 三边长都大于圆心观景点的半径， 所以内观景台部分面积为， 在中，由正弦定理，得， 其中， 所以有， 解得，所以，. 所以， 因此围成区域内湖面的面积为． 18. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，代入已知等式化简得到，从而得到角C； （2）①为中点，将表示为 ，对其平方后结合余弦定理、基本不等式即可求 的最小值； ②先根据向量性质判断为边上的高，结合①和面积公式求出，即可得到三角形周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即有 ，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. 【小问2详解】 ①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即 ， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得 ，即，即， 由①知，所以有 ，即， 所以，因此三角形的周长为． 19. 设函数． （1）求的值； （2）求方程的最小的9个正实数解之和； （3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对进行化简，再代入求解； （2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出，进而根据正弦函数的性质求解； （3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为，，设，分类讨论的最小值，进而得出的最大值． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 已知，由（1）知， ，即，解得或， 此方程最小的9个正实数解之和为：． 【小问3详解】 已知恒成立，即恒成立， 设，则有，， 设， ①时，要满足题意则需，即， ，即； ②时，要满足题意则需，即， 设，则， ，即，整理得， 要满足题意则此不等式有解，即，解得， 当，时取等号， 综上所述，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $