精品解析：福建莆田市北京大学附属中学莆田学校2025-2026学年七年级下学期期中考试数学卷

2025-2026学年七年级下北附期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是 A. （2，3） B. （﹣2，3） C. （﹣2，﹣3） D. （2，﹣3） 3. 下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 如果，，那么 6. 如图，若，，则∠1的度数为（ ） A. 110° B. 100° C. 80° D. 70° 7. 已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ） A. 甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B. 乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C. 乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D. 甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 9. 如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　 　） ①；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④ 二．填空题（共6小题） 11. 根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 12. 的算术平方根是___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． 14. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图①．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②．已知于点A，，则的度数为______． 15. 关于x，y的方程组的解满足，则a的值为________． 16. 重庆一中初一年级为了奖励军训中表现优异的学生，决定购买文具作为奖励．某文具店有A、B、C三种文具套装，C套装的价格为奇数，B套装比A套装每套贵a元，且一套A套装的价格与一套B套装的价格和不小于45元，若购买20套A套装，30套B套装，需要花费1170元．根据数据统计，年级最终决定购买A、B两种文具套装一共105套，同时还加购了一套C文具套装（A套装的数量不超过47套），一共花费2436元，则一套C文具套装的价格为 _______元（三种套装的单价均为整数）． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 完成下面的证明： 已知：如图，，，． 求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（_______________）． ∴//___________（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴//__________（_______________）． ∴（_______________）． ∴（_______________）． 20. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． （1）当时，求的值； （2）若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 22. 在平面直角坐标系中，已知点与点． （1）若点A在x轴上，点B在y轴上，求的值． （2）若点A在第一、三象限的角平分线上，点B在第二、四象限的角平分线上，求A，B两点的坐标． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，并且点A在y轴上． （1）求A、C两点坐标． （2）若有点P从A点出发，以每秒2个点位长度沿射线方向运动，，运动时间为t，连接．设三角形的面积为S，试用含t的代数式表示S． （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，F是与x轴的交点，过C点作轴，垂足是点B，点E在第二象限，且，当时，求点P的坐标． 25. 如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． （1）求、的值； （2）若射线与射线交于点，当，求的值； （3）如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下北附期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是 A. （2，3） B. （﹣2，3） C. （﹣2，﹣3） D. （2，﹣3） 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴（2，3）、（-2，3）、（-2，-3）、（2，-3）中只有（-2，3）在第二象限． 故选：B． 3. 下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 4. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入原方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 化简得：， 移项得：， 即：， 两边同时除以， 解得：， 因此，k的值为4， 故选：B． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 如果，，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，根据对顶角的性质、平行线的性质、平行线的判定、平行公理逐项判断即可得出答案，熟练掌握对顶角的性质、平行线的性质、平行线的判定、平行公理是解此题的关键． 【详解】解：A、对顶角相等，故原说法正确，为真命题，不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，为假命题，符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法正确，为真命题，不符合题意； D、如果，，那么，故原说法正确，为真命题，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，若，，则∠1的度数为（ ） A. 110° B. 100° C. 80° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】先证明再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“平行线的性质”是解本题的关键． 7. 已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平方根以及立方根的性质得出的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， 则． 故选：C． 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ ） A. 甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B. 乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C. 乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D. 甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50， 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”， 故选：C． 9. 如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 10. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（　 　） ①；②；③；④ A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分为当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作， 同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11. 根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【解析】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 12. 的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标的表示方法． 根据平面直角坐标系中点Q的位置即可得出答案． 【详解】解：点Q的坐标为． 故答案为：． 14. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图①．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②．已知于点A，，则的度数为______． 【答案】270° 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作．得到，再证明即可． 【详解】解：如图所示，过点作． ， ． ． ， ． ． 故答案为：． 15. 关于x，y的方程组的解满足，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先用表示，再代入，即可解答，熟练计算二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， 由①得， 把③代入②可得，， 解得， 把代入③，可得， ， ， 解得， 故答案为：. 16. 重庆一中初一年级为了奖励军训中表现优异的学生，决定购买文具作为奖励．某文具店有A、B、C三种文具套装，C套装的价格为奇数，B套装比A套装每套贵a元，且一套A套装的价格与一套B套装的价格和不小于45元，若购买20套A套装，30套B套装，需要花费1170元．根据数据统计，年级最终决定购买A、B两种文具套装一共105套，同时还加购了一套C文具套装（A套装的数量不超过47套），一共花费2436元，则一套C文具套装的价格为 _______元（三种套装的单价均为整数）． 【答案】15 【解析】 【分析】首先根据题干要求，假设一套套装的价格为元，一套套装的价格为元，一套套装的价格为元，最终购买套装套，则购买套装套，然后列出数量关系式，，，，整理求解即可． 【详解】解：设一套套装的价格为元，一套套装的价格为元，一套套装的价格为元，最终购买套装套，则购买套装套，其中，，，均为正整数，且为奇数，． 购买20套套装，30套套装，需要花费1170元， ， ， 一套套装的价格与一套套装的价格和不小于45元， ， ， 解得． 最终购买、两种文具套装一共105套，同时还加购了一套C文具套装，一共花费2436元， ， ①当时，，则 ，整理得， 若时，为偶数，舍去； 若时，为奇数，符合题意； 若时，为偶数，舍去； 若时，，舍去； ②当时，，此时不是正整数，舍去； ③当时，，此时不是正整数，舍去； ④当时，，则 ，整理得， 若时，，舍去； ⑤当时，，此时不是正整数，舍去； ⑥当时，，此时不是正整数，舍去； ⑦当时，，舍去； 综上所述，当时，有，其中时，得． 即一套文具套装的价格为15元． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了整数问题的综合应用，二元一次方程的应用，三元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据变量的取值范围分情况进行讨论是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算． （1）根据算术平方根、立方根的性质化简，再计算加减即可； （2）根据乘方、算术平方根的性质化简，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解： 将①代入②得，， 解得：， 将代入①得，， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：． 19. 完成下面的证明： 已知：如图，，，． 求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（_______________）． ∴//___________（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴//__________（_______________）． ∴（_______________）． ∴（_______________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据垂直定义得出∠ABD=∠CDF=90°，根据平行线的判定定理得出AB∥CD，AB∥EF，求出CD∥EF，再根据平行线的性质定理得出即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键，平行线的性质定理：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 20. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． （1）当时，求的值； （2）若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． 【小问1详解】 解：将代入得， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 22. 在平面直角坐标系中，已知点与点． （1）若点A在x轴上，点B在y轴上，求的值． （2）若点A在第一、三象限的角平分线上，点B在第二、四象限的角平分线上，求A，B两点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，掌握坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0；象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限的角平分线上点的横坐标相等，第二、四象限的角平分线上点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． （1）根据点在x轴上，可得，可求得x的值；点在y轴上可得，即可求得y的值，从而可求解； （2）由点A在第一、三象限的角平分线上可得出，可求得y的值，由点B在第二、四象限的角平分线上，可得，可求得x的值，从而可求得A，B两点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上 ∴，解得：； ∵点在y轴上， ∴，解得：， ∴； 即的值为． 【小问2详解】 解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴，解得：， ∴； ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴ 把代入得， ∴， ∴，， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 【答案】任务一：；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列方程组和不等式组是解题关键． 任务一：根据题意得到谷物、牛奶以及鸡蛋中每的蛋白质含量，即可得到答案； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物，根据“早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的”列二元一次方程组求解即可； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐，根据“在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过”列一元一次不等式组，取整数解即可． 【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量， 则． 答：该份早餐中蛋白质总含量为； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物， 列方程组得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐， 根据题意得：． 解得： 或， 当时，；当时，． 答：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，并且点A在y轴上． （1）求A、C两点坐标． （2）若有点P从A点出发，以每秒2个点位长度沿射线方向运动，，运动时间为t，连接．设三角形的面积为S，试用含t的代数式表示S． （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，F是与x轴的交点，过C点作轴，垂足是点B，点E在第二象限，且，当时，求点P的坐标． 【答案】（1），； （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系中点的坐标特征可得，进而求出，即可求解； （2）过点作于点，根据等面积法求出，由题意得：，分两种情况：当时，当时，根据即可求解； （3）过点作轴于点，过点作于点，由题意可得：，，推出，根据，求出，得到，推出，由（2）知，，可求出或，进而得到或，然后根据，求出或，点的横坐标为或，利用三角形面积公式，结合或，点的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点在轴上， ， 解得：， ，，， ，； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，即， 解得：， 由题意得：， 当时，， ； 当时，如图，， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：过点作轴于点，过点作于点，如图， ，轴，垂足是点，且， ，， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， 由（2）知，，且， 或， 解得：或， 或， ， 或， 解得：或， 点的横坐标为或， 当点横坐标为时，点在线段上， ， ， 解得：， 此时点的坐标为； 当点横坐标为时，点在射线上， ， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 25. 如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． （1）求、的值； （2）若射线与射线交于点，当，求的值； （3）如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【小问1详解】 ∵，， 解得， ，； 【小问2详解】 由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． 【小问3详解】 ， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $