福建莆田第八中学2025-2026学年七年级下学期期中数学考试卷

**基本信息** 莆田八中七年级下期中卷以五子棋、华罗庚解题等生活文化情境为载体，通过基础题与创新题梯度设计，考查实数、几何、坐标系等核心知识，体现数学抽象、推理与模型意识的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数判断、平行线判定、坐标系象限|第9题结合五子棋坐标考查应用能力| |填空题|6/24|立方根性质、角度计算|第15题迁移华罗庚解题方法考查数感| |解答题|9/86|方程组、平移、新定义问题|第24题光线反射探究推理能力，第25题“横纵偏差”新定义考查模型意识|

2025-2026学年莆田市第八中学七年级下期中考试卷 一．选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1．下列各数中是无理数的有（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的（　　） A．∠3+∠4＝180° B．∠1＝∠2 C．∠1＝∠3 D．∠1+∠4＝180° 3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣x2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D．4 5．如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（0，0）上，“相”位于点（2，0）上，则“炮”位于点（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣2） 6．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 8．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．邻补角的平分线相互垂直 C．互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角 D．同位角相等 9．五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在（2，4）位置胜利；小亮认为黑棋放在（7，﹣1）位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题：本题共6小题，每题4分，共24分 11．填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 　 　 ． （2）　 　 ；（）3＝　 　 ． （3）的平方根是 　 　 ；的立方根是 　 　 ． 12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，∠AOE＝28°，则∠COF的度数是　 　 ． 13．已知2x﹣y＝3，若用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ． 14．如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为　 　 ． 15．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数n的立方是59319，求这个正整数n．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数； ②由303＝27000，403＝64000，27000＜59319＜64000可知，n的十位数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方个位数字是9，所以确定n的个位数字是9，所以n＝39． 请你根据上述步骤求出140608的立方根是 　 　 ． 16．如图，AB∥CD，EF平分∠BEG，HN平分∠CHG，HM∥EF，若∠MHN＝36°，则∠EGH的度数为　 　 ． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解方程组：． 18．计算：． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4）、B（0，﹣3）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣3，﹣2），点A经过平移后对应点为A′（0，﹣1），将四边形ABCD作同样的平移得到四边形A′B′C′D′． （1）请画出四边形A′B′C′D′，并写出点B的对应点B'的坐标； （2）求四边形A′B′C′D′的面积． 20．已知2a+1为9的算术平方根，2为5b﹣2的立方根． （1）求a、b的值； （2）求2a+b的平方根． 21．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝59°，求∠2的度数． 22．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为　 　 ； （2）若点B（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为（﹣5，9﹣2b），判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 23．数学吴老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是 　 　 ． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． （3）已知，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值． 24．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． （1）如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； （3）如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 25．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）．例如：点A（2，5），点B（3，1），dx＝|2﹣3|＝1，dy＝|5﹣1|＝4，μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣4|＝3． （1）A（0，﹣2），B（2，3） ①μ（A，B）的值是 　 　 ； ②点K在x轴上，若μ（B，K）＝0，求点K的坐标． （2）点P，Q在y轴上，点P在点Q的上方，PQ＝6，点M的坐标为（﹣4，0）． ①当点Q的坐标为（0，1）时，则μ（M，PQ）的值是 　 　 ． ②当线段PQ在y轴上运动时，直接写出μ（M，PQ）的最小值及此时点P的坐标． 2025-2026学年莆田市第八中学七年级下期中考试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．D．2．D．3．C．4．B．5．C．6．D．7．D．8．B．9．A．10．A． 二．填空题（共6小题） 11．0或±1；，8；±2，2．12．149° 13．2x﹣3．14．．15．52． 16．108° 三．解答题（共9小题） 17．解：， ②×2，得4x+2y＝﹣8③， ①+③，得7x＝﹣7， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1 代入①，得﹣3﹣2y＝1， 解得：y＝﹣2， ∴方程组的解为． 18．解：原式＝﹣1+2﹣3 ． 19．解：（1）如图，四边形A′B′C′D′即为所求. 点B'的坐标为（3，0）． （2）四边形A′B′C′D′的面积为． 20．解：（1）根据题意可知，2a+1＝3，5b﹣2＝23， 即a＝1；b＝2； （2）∵a＝1，b＝2， ∴2a+b＝2×1+2＝4， ∴2a+b的平方根是±2． 21．解：∵AB∥CD，∠1＝59°， ∴∠ABC＝∠1＝59°（两直线平行，同位角相等），∠ABD+∠BDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABC＝118°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝62°， ∴∠2＝∠BDC＝62°． 22．解：（1）∵A（﹣1，2）， ∴点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∵2＞1， ∴点A（﹣1，2）的“长距”为2， 故答案为：2； （2）点C是“完美点”，理由如下： ∵点B（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点B在第四象限内， ∴|3b﹣2|＝4且3b﹣2＞0， ∴3b﹣2＝4， ∴b＝2， ∵C（﹣5，9﹣2b）， ∴C（﹣5，9﹣2×2），即C（﹣5，5）， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为|﹣5|＝5， ∵点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”， ∴点C是“完美点”． 23．解：（1）∵， ∴的整数部分为3，小数部分为：； 故答案为：3； （2）∵a为的小数部分，b为的整数部分， ∴，b＝2， ∴； （3）∵，其中x是一个正整数，0＜y＜1， ∴x＝8+1＝9，， ∴ ＝18+（﹣1）2024 ＝18+1 ＝19． 24．解：（1）AB∥CD．理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2∠3， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2（∠2+∠3）， ∵∠BOC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD； （2）∵∠AOC＝40°，∠BOC＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝180°﹣90°＝40°＝50°， ∵∠AOM＝∠BON， ∴∠AOM＝∠BON＝25°， ∴∠COM＝25°+40°＝65°，∠CON＝25°+90°＝115°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：65或115； （3）①当0s≤t≤20s时，如图， 若AB∥CD，则∠BAC＝∠ACD， 即120+3t＝140+t， 解得t＝10， ∴当t＝10s时AB∥CD； ②当20s＜t≤40s时，如图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如图， 若AB∥CD，则∠BAC＝∠DCF， 即3t﹣240＝t﹣40， 解得t＝100， ∴当t＝100s时，AB∥CD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t＝10s或100s． 25．解：（1）①A（0，﹣2），B（2，3）， ∴dx＝2，dy＝5， ∴|dx﹣dy|＝3， ∴μ（A，B）＝3． 故答案为：3． ②设K的坐标为（x，0）， ∵B（2，3）， ∴dx＝|x﹣2|，dy＝3， ∴|x﹣2|﹣3＝0， ∴|x﹣2|＝3， ∴x＝﹣1或5． ∴点K的坐标为：（﹣1，0）或（5，0）． （2）设点N在线段PQ上，N的坐标为（0，y）， ∵Q点坐标（0，1），PQ＝6， ∴P点坐标（0，7）， ∴1≤y≤7． ∵M的坐标（﹣4，0），N的坐标（0，y）， ∴dx＝4，dy＝y， ∴|dx﹣dy|＝|4﹣y| ∵1≤y≤7， ∴﹣3≤4﹣y≤3， ∴0≤|4﹣y|≤3， ∴0≤|dx﹣dy|≤3， ∴μ（M，PQ）＝3． 故答案为：3． ②μ（M，PQ）的最小值是3． （Ⅰ）当m＝1时，由（2）得μ（M，PQ）＝3． （Ⅱ）当m＝﹣7时，m+6＝1，由（2）得μ（M，PQ）＝3． 7 6 学科网（北京）股份有限公司 $