精品解析：甘肃武威第九中学2025-2026 学年下学期九年级第二次评估数学试卷

2025-2026 学年度第二学期第二次评估数学试卷 九年级数学 一、选择题（本题共 10 个小题，每题 3 分，共 30 分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 2025 年 10 月，我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约 248300 万元，将数据248300万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 9. 习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量先减少后增加 B. 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C. 年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为，图2是点P运动时，的面积随变化的图象，则a的值为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 分解因式：________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 13. 若，是方程的两根，则的值为_____． 14. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 16. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 32 分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解． 19. 先化简，再求值：(a＋1－)÷()，其中a＝2＋. 20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 22. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 四、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取 A、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： （数据：13 万件：1 台；14 万件：3 台；15 万件：2 台；16 万件：3 台；17 万件：1 台） B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数 中位数 / 万件 平均数 / 万件 方差 A 型号 14 和 16 15 B 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ． （2） 型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定？（填 A 或 B ） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智机器人，请你结合 “数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 24. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 25. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第二学期第二次评估数学试卷 九年级数学 一、选择题（本题共 10 个小题，每题 3 分，共 30 分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 3. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 4. 2025 年 10 月，我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约 248300 万元，将数据248300万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将数据248300万用科学记数法表示为． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 6. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 8. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 9. 习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量先减少后增加 B. 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C. 年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可知， 年我国粮食产量一直增加，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知， 年我国粮食产量增长率先减少后增加，再减少，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可知，年我国粮食产量相比前一年一直在增加，原说法正确，符合题意； D、由统计图可知，相比 2023 年，2024 年我国粮食产量增长率减少，但是产量还是正增长，原说法错误，不符合题意 ． 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为，图2是点P运动时，的面积随变化的图象，则a的值为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，由E为的中点，得到，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由为中位线，求出，根据的面积s为，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出长，求出a． 【详解】解：结合图形得， 当点P运动到点E处时，运动路程为a，即， ∵E为的中点， ∴， 当点P运动到点D处时，运动路程为， ∴， ∵为中位线， ∴， 此时的面积s为，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0，列出不等式组，计算即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 即，且， 故答案为：，且． 13. 若，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ． 14. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 15. 甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转与坐标规律，根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在x轴负半轴，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 32 分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解． 【答案】，数轴上表示见解析，整数解为4，5，6 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，最后根据数轴求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ∴原不等式组的整数解为4，5，6． 19. 先化简，再求值：(a＋1－)÷()，其中a＝2＋. 【答案】3+2 【解析】 【详解】分析：用分式的混合运算法则把原分式化简，再把a的值代入求解. 详解：(a＋1－)÷() ＝(－)÷() ＝· ＝a(a－2). 当a＝2＋时， 原式＝(2＋)(2＋－2) ＝3＋. 点睛：对于分式化简求值问题，要先确定运算顺序，再根据分式的混合运算法则进行计算，最后把相关字母的值代入化简后的式子求值．当分子分母是多项式时，应先分解因式，如果分子分母有公因式，要约分． 20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下，即为所求； 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 22. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案． 【详解】解：过点D作于点F，作于点H 由题意得：， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 答：该风力发电机塔杆的高度为． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取 A、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： （数据：13 万件：1 台；14 万件：3 台；15 万件：2 台；16 万件：3 台；17 万件：1 台） B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数 中位数 / 万件 平均数 / 万件 方差 A 型号 14 和 16 15 B 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ． （2） 型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定？（填 A 或 B ） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智机器人，请你结合 “数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15 （2）A （3）购买B型机器人，分析见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差与稳定性之间的关系可得答案； （3）从众数、中位数和平均数三个方面进行分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：把10台A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量按照从低到高的顺序排列，第5个数据和第6个数据分别为15万件，15万件， ∴A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的中位数为万件，即； ∵B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量为20万件的数量最多， ∴B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的众数为20万件，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴A型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定； 【小问3详解】 解：从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人，故应该购买B型机器人． 24. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 25. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）长为44． 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【小问1详解】 证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． 【小问2详解】 延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 27. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①，在抛物线上② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 ①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $