精品解析：福建省厦门市海沧区厦门海沧实验中学2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷

2025-2026学年第二学期初二数学科期中考试卷 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 化简的结果是（　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 2. 点A（﹣2，m）在函数的图象上，则m的值是（　　） A. B. C. 2 D. ﹣2 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　） A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长 4. 在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　） A. ∠BAC＝90° B. ∠BAD＝90° C. ∠ABD＝90° D. ∠ADB＝90° 5. 如图，在▱ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边BC、AD上，若将△ABE沿着射线AD平移后，会与△FEC重合，则平移的距离是（　　） A. m B. n C. D. 6. 不论m取何值，如果点P（2m，m+1）都在某一条直线上，则这条直线的解析式是（　　） A. y＝2x﹣1 B. y＝2x+1 C. y＝x﹣1 D. y＝x+1 7. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，点分别在上，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 10. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 11. 如图，四边形是正方形，点E在正方形外，为等边三角形，连接交于点G．则______． 12. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 13. 在中，，则______，______． 14. 如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_________ 16. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：（1）； （2） ． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数解析式； （2）画出该一次函数的图象． 20. 某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分每人10元． （1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）（其中）之间的函数关系式； （2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，购买门票共花了多少元？ 21. 如图，中，，点是中点，连接，过点作． （1）尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是矩形． 22. 如图，在中，，，，D，E分别是，的中点，延长至点F，使，连接，． （1）求的长度； （2）求证：四边形是菱形． 23. 在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． （1）求证：完全三角形是直角三角形； （2）在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 24. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH． （1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG； （2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件． 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象记作直线，与x轴相交于点，一次函数的图象记作直线． （1）求k的值； （2）点M，N分别在直线，上，将线段进行平移得到线段，使得点P，Q分别落在直线，上，连接，． ①若点，求点Q的坐标； ②若直线：（n，t为常数，）将四边形分成面积相等的两部分．试探究是否存在一组常数n，t，使得无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n，t的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二数学科期中考试卷 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 化简的结果是（　　） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行化简即可. 【详解】 故选：A. 【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键. 2. 点A（﹣2，m）在函数的图象上，则m的值是（　　） A. B. C. 2 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】将x＝﹣2代入一次函数解析式中求出y值，此题得解． 【详解】解：∵点A（﹣2，m）在函数的图象上， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数已知横坐标求纵坐标，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　） A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长 【答案】A 【解析】 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC， ∴AE的长为平行线AD与BC之间的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离的定义，掌握定义是解题的关键． 4. 在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　） A. ∠BAC＝90° B. ∠BAD＝90° C. ∠ABD＝90° D. ∠ADB＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据AD2+BD2＝AB2，则∠ADB＝90°，即可得出答案． 【详解】解：∵AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理. 5. 如图，在▱ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边BC、AD上，若将△ABE沿着射线AD平移后，会与△FEC重合，则平移的距离是（　　） A. m B. n C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，平移性质得BE＝EC，通过计算即可得平移的距离． 【详解】∵△ABE沿着射线AD平移后，会与△FEC重合， ∴BE＝EC＝BC＝ ∴平移的距离为 故选：D． 【点睛】本题考查了平移、平行四边形的知识；解题的关键是熟练掌握平移、平行四边形的性质，从而完成求解． 6. 不论m取何值，如果点P（2m，m+1）都在某一条直线上，则这条直线的解析式是（　　） A. y＝2x﹣1 B. y＝2x+1 C. y＝x﹣1 D. y＝x+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据当自变量为2m时求出四个函数的函数值，然后根据一次函数图像上的点的坐标特征判断求解. 【详解】当时，； ；； 所以点P（2m，m+1）在直线上. 故答案选D 【点睛】本题考查了如何判断点是否在函数图像上，把点的坐标代入解析式看等式是否成立是解题的关键,此题还可以运用待定系数法来做. 7. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在中，，，，点分别在上，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．作点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质，可得，，，易得，并证明为等边三角形，过点作，交于点， 此时取最小值，即取最小值，为的长度，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，，如下图， 由轴对称的性质，可得，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 过点作，交于点，如下图， 此时取最小值，即取最小值，为的长度， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：B． 二、填空题（每题4分，共32分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 若正比例函数的图象经过点 ，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的代入求值，掌握正比例函数的性质是解题的关键．把点代入正比例函数解析式即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 11. 如图，四边形是正方形，点E在正方形外，为等边三角形，连接交于点G．则______． 【答案】 ##度 【解析】 【详解】解：∵四边形是正方形，为等边三角形， ∴， ∴，， ∴. 12. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线y=2x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=2x+2． 故答案为：y=2x+2． 【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 13. 在中，，则______，______． 【答案】 ①. 60 ②. 120 【解析】 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴. 14. 如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ 【解析】 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小， 点，都在该一次函数的图象上，且， . 15. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象确定不等式的解集，解题关键是能根据不等式结合函数图象求解． 根据不等式的意义，及它们的交点，即可得出不等式的解集． 【详解】解：由两个一次函数图象的交点可知，交点的左侧直线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等相关知识；由题意证明，所以，则是等腰直角三角形，即可得到；过点F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，则，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：（1）； （2） ． 【答案】（1）4；（2）3﹣2． 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再合并同类二次根式即可； （2）直接化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减乘除运算以及化简二次根式，熟练掌握二次根式的有关运算是解题的关键． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求该一次函数解析式； （2）画出该一次函数的图象． 【答案】（1）； （2）图见解析 【解析】 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为，把点和点代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，画图如下： 20. 某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分每人10元． （1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）（其中）之间的函数关系式； （2）利用（1）中的函数关系计算：某班54名学生去该风景区游览时，购买门票共花了多少元？ 【答案】（1） （2） 购买门票共花了840元 【解析】 【分析】（1）根据收费标准，时，总门票费为20人的基础门票费加上超出20人部分的费用，整理即可得到函数关系式； （2）将游览人数代入（1）所得的函数解析式计算即可得到总花费. 【小问1详解】 解： 由题意得，当时，20人的门票总费用为（元）， 超过20人的人数为人，超过部分的总费用为元. 故应收门票总费用：， 即所求函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，游览人数，满足， 将代入得：（元）， 答：购买门票共花了840元. 21. 如图，中，，点是中点，连接，过点作． （1）尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是矩形． 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理和平行线的性质可知，利用尺规作图过点作，根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知； （2）根据等腰三角形的三线合一定理和平行线的性质可知、，由尺规作图可知，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如下图所示， 中，，点是中点， ， ， ， ， 以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点、， 分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点， 连接交于点， 则， ， 即为所求； 【小问2详解】 证明：中，，点是中点， ， ， ， ， 由作图可知， 四边形是矩形． 22. 如图，在中，，，，D，E分别是，的中点，延长至点F，使，连接，． （1）求的长度； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）1 （2） 证明：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）利用三角形中位线定理证得，证明四边形是平行四边形，由直角三角形斜边中线定理得到，根据萎形的判定定理即可证得结论 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴ 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了菱形判断，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 23. 在中，，，所对的边分别为a，b，c． 定义：若，则称是“完全三角形”． （1）求证：完全三角形是直角三角形； （2）在中，，若，判断是否为完全三角形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由题意得，设， ∴， ∴， ∴完全三角形是直角三角形； （2） 是完全三角形，理由如下： ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 设 ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴是完全三角形， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，因式分解的应用，利用完全平方公式计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理求解即可； （2）先由勾股定理得到，而，则，代入得到，整理并因式分解得到或（舍），再由勾股定理即可求求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH． （1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG； （2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件． 【答案】（1）见解析；（2）要使四边形OCGH是菱形，▱ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD，∠ADC＝60°． 【解析】 【分析】（1）连接OG，证Rt△OFG≌Rt△OCG（HL），即可得出FG＝CG； （2）证▱ABCD是菱形，得CD＝AD，OA＝OC，再证△ACD是等边三角形，得∠ADC＝60°即可． 【详解】（1）证明：连接OG，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∵AC⊥AB， ∴AC⊥CD， ∴∠OCG＝90°， ∵EF⊥BD， ∴∠OFG＝90°， 在Rt△OFG和Rt△OCG中， ∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL）， ∴FG＝CG； （2）解：如图2所示： 若四边形OCGH是菱形， 则OH＝OC，OH//CG，OC//GH， ∵EF⊥BD， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形， ∴CD＝AD，OA＝OC， ∴OA＝OH， ∴∠OAH＝∠OHA， ∵OH//CG， ∴∠OHA＝∠ADC， ∵CD＝AD， ∴∠CAD＝∠DCA， ∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， 即要使四边形OCGH是菱形，▱ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD，∠ADC＝60°． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象记作直线，与x轴相交于点，一次函数的图象记作直线． （1）求k的值； （2）点M，N分别在直线，上，将线段进行平移得到线段，使得点P，Q分别落在直线，上，连接，． ①若点，求点Q的坐标； ②若直线：（n，t为常数，）将四边形分成面积相等的两部分．试探究是否存在一组常数n，t，使得无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点，若存在，请求出n，t的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）①，②存在，，，过定点 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过点代入得到方程，结合已知条件求得k值即可； （2）由（1）知一次函数，，①根据点M在直线上求得m，即可得一次函数，，联立求得交点为，结合平移的性质可知四边形为平行四边形，则点M和点Q的中点为直线和交点，设点，根据中点列出方程组求解即可； ②由一次函数和得：，结合平行四边形的性质可得直线经过直线和直线的交点，列出方程组求得直线经过直线和直线的交点为，进一步得到和，联立求得n和t，即可得，可求得与x轴的交点． 【小问1详解】 解：∵一次函数过点， ∴， ∵ ∴， 则； 【小问2详解】 解：由（1）知，则一次函数，， ①∵点在直线， ∴，解得， 则一次函数，， 联立得， 解得， 则直线和交点为， 如图所示， ∵线段进行平移得到线段， ∴四边形为平行四边形， 则点M和点Q的中点为直线和交点， 设点， 则解得， ∴； ②存在，理由如下， ∵一次函数，， ∴直线： ， ∵直线将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线经过直线和直线的交点， 联立，解得， ∵直线经过直线和直线的交点， ∴ ∴， ∵与m的值无关， ∴， ∵无论m取何值，直线都经过x轴上的某一个定点， ∴， 则， ∵无论m取何值， ∴， 则，解得， 则， 则， 令，则，解得， 即过定点， ∴存在，，，过定点． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及一次函数的性质、解二元一次方程组、平移的性质、平行四边形的判定和性质和过定点的性质，解题的关键是熟悉一次函数的性质和过定点的求解方式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $