精品解析：福建省厦门市海沧区厦门双十中学海沧附属学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年（下）厦门双十中学海沧附属学校 初二数学期中考试试卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意．） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 2. 已知在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A 1，1， B. 1，，2 C. 1，，3 D. 3，4，5 7. 电动拉闸门中有许多菱形，将如图所示的菱形记为菱形．在拉闸门移动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 是变量 B. 是变量 C. 是常量 D. 是常量 8. 在物理学中，导线的电阻随温度的变化而变化，有一段导线时电阻为欧姆，温度每增加，电阻会增加欧姆，则电阻与温度的关系是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 数学小组将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1所示，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法错误的是( ) A. 平移个单位长度后，四边形是矩形 B. 平移过程中，四边形始终是平行四边形 C. 当平移距离大于个单位长度时，存在四边形是菱形 D. 在平移过程中，四边形可能是正方形 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分．其中第11题每空1分，第14题和第16题每空2分．） 11 化简： （1）____________； （2）________； （3）____________； （4）____________． 12. 如图所示，中，，，若点D为中点，则的长为____________． 13. 如图，在中，，则的度数是____________． 14. 命题“如果，那么”的逆命题是_______，该逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 15. 如图，四边形，四边形分别是菱形与正方形．若，则=______°． 16. “低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示．则点E的坐标为_______，点E的实际意义是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点．求证：． 19. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地（如图所示）的周长，其中边上有水池遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知，，，，．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形场地的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形场地的周长；若不同意，请说明理由． 20. 如图1，在中，平分，且交于点． （1）求证：是菱形； （2）如图2，延长至点，使得，连接．求证：． 21. 某种牙膏上部圆的直径为，下部底边可近似看成一条长为的线段，如图所示，现要制作长方体的牙膏盒．在手工课上，小思、小明和小华制作的牙膏盒的高度都一样，且高度符合要求．其中，小思和小明制作的牙膏盒底面是正方形，小华制作的牙膏盒底面是长方形，他们制作的底面图形边长数据如表： 制作者 小思 小明 小华 牙膏盒底面形状 正方形 正方形 长方形 边长 长： 宽： （1）这位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？请说明理由； （2）在（）的条件下，若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更合理？并说明理由． 22. 如图1，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明． 23. 在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： （1）求证：； （2）若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 24. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形中，，平分，则四边形是近似菱形． （1）请在图2中作出一个以为对角线的“近似菱形”，顶点A、顶点C要在网格格点上． （2）如图3，在四边形中，，，，求证：四边形是“近似菱形”． （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 25. 如图1，在等腰中，，点M为边上一动点． （1）在边上取一点N，使得连接，过点C、M分别作的平行线交于点P，连接．证明：； （2）在（1）的条件下，若，，当点M沿着边从点A运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P运动的轨迹长度是_______； （3）【迁移应用】如图2，以等腰的底边构造矩形，若，．点N在边上，连接．当点M在边上运动时，的长度也随之改变，但需始终保持，请求出长度的最小值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）厦门双十中学海沧附属学校 初二数学期中考试试卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题意．） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可． 【详解】二次根式有意义的条件是被开方数． 解得． 故选：B． 2. 已知在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行四边形对角相等的性质可知，．结合题目条件，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， （平行四边形对角相等）． 又， ， 解得． 故选：A． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A：，被开方数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B：，被开方数，无平方数因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，符合题意； C：，被开方数含分母，需化为才满足最简形式，不符合题意； D：，化为分数，被开方数含分母，需有理化为，不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则是解题的关键．根据二次根式性质化简并判定A；根据二次根式加法法则计算并判定B；根据二次根式除法法则计算并判定C；根据二次根式乘法法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，能判断四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B．由，，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，故该选项正确，符合题意； C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，，2 C. 1，，3 D. 3，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理逆定理和三角形三边关系，逐一验证各选项是否满足条件．若三边无法构成三角形或不满足“较短两边平方和等于最长边平方”，则不能组成直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 7. 电动拉闸门中有许多菱形，将如图所示的菱形记为菱形．在拉闸门移动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 是变量 B. 是变量 C. 是常量 D. 是常量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数的定义，确定变量与常量是解题的关键．根据菱形的性质分析四个选项中变量与常量，即可求解． 【详解】解：A. 常量，故该选项不正确，不符合题意； B. 是变量，故该选项正确，符合题意； C. 是变量，故该选项不正确，不符合题意； D. 是变量，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 8. 在物理学中，导线的电阻随温度的变化而变化，有一段导线时电阻为欧姆，温度每增加，电阻会增加欧姆，则电阻与温度的关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是根据实际问题列函数关系式，根据在时的电阻为欧姆，温度每增加，电阻增加欧姆，即得结果． 【详解】解：由题意得，电阻表示为温度的函数关系式为， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过作轴于， 点的坐标是， ，，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 10. 数学小组将两块全等的含角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1所示，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法错误的是( ) A. 平移个单位长度后，四边形是矩形 B. 平移过程中，四边形始终是平行四边形 C. 当平移的距离大于个单位长度时，存在四边形是菱形 D. 在平移的过程中，四边形可能是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键．根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，故A正确， 继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为，故C正确 综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形，B正确， 在平移的过程中，四边形不可能是正方形，故D错误 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分．其中第11题每空1分，第14题和第16题每空2分．） 11. 化简： （1）____________； （2）________； （3）____________； （4）____________． 【答案】 ①. 2 ②. ③. 1 ④. 3 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和二次根式的混合运算，将各为最简二次根式是解题的关键． （1）求出算术平方根即可； （2）化为最简二次根式即可； （3）计算零次幂运算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） （4）， 故答案为：2；；1；3 12. 如图所示，中，，，若点D为中点，则的长为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握此性质是解题关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵中，，，点D为中点， ∴． 故答案为：8． 13. 如图，在中，，则的度数是____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是关键，根据等边对等角，三角形内角和定理得到，根据平行四边形对角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为： ． 14. 命题“如果，那么”的逆命题是_______，该逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 如果，那么， ②. 假 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 15. 如图，四边形，四边形分别是菱形与正方形．若，则=______°． 【答案】46 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 平分 ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题综合考查正方形和菱形的性质．熟悉相关性质是解题的关键． 16. “低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示．则点E的坐标为_______，点E的实际意义是_______． 【答案】 ①. ②. 出发时，小明到达甲地，此时小丽与小明的距离为； 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，关键是根据函数图象分析两人的运动状态和路程关系． 先由图1算出小丽速度，再结合图2相遇信息算小明速度；接着根据小明速度和甲乙距离算其到达甲地时间（即E横坐标），最后依据小丽速度和该时间算其骑行路程（即E纵坐标），确定坐标．结合坐标求解过程，横坐标对应小明到达甲地的时间，纵坐标对应此时两人的距离，据此阐述实际意义． 【详解】由图1可知，甲、乙两地相距，小丽从甲地到乙地用时， ∴小丽的速度． 由图2可知，两人后相遇，根据路程和等于总路程，可得两人速度和， ∴小明的速度． 小明从乙地到甲地用时，即点的横坐标为． 此时小丽骑行的路程，两人之间的距离（即点的纵坐标）为，所以点坐标为． 点的实际意义是：出发时，小明到达甲地，此时小丽与小明的距离为； 故答案为：；出发时，小明到达甲地，此时小丽与小明的距离为． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法运算即可求解． （2）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法，加减法运算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握它们的判定和性质． 先利用平行线性质得角相等，结合是中点得边相等，用证，推出，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，最后由平行四边形对边相等得． 【详解】∵， ∴，． ∵是中点， ∴． ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 19. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地（如图所示）的周长，其中边上有水池遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知，，，，．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形场地的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形场地的周长；若不同意，请说明理由． 【答案】同意， 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，连接，易得为等边三角形，进而求出，勾股定理求出的长，再根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：同意； 连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为：． 20. 如图1，在中，平分，且交于点． （1）求证：菱形； （2）如图2，延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质的综合，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求证； （2）根据题意可得四边形是平行四边形，，由菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又点在上，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴． 21. 某种牙膏上部圆的直径为，下部底边可近似看成一条长为的线段，如图所示，现要制作长方体的牙膏盒．在手工课上，小思、小明和小华制作的牙膏盒的高度都一样，且高度符合要求．其中，小思和小明制作的牙膏盒底面是正方形，小华制作的牙膏盒底面是长方形，他们制作的底面图形边长数据如表： 制作者 小思 小明 小华 牙膏盒底面形状 正方形 正方形 长方形 边长 长： 宽： （1）这位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？请说明理由； （2）在（）的条件下，若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更合理？并说明理由． 【答案】（1）小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏， 理由如下：要把牙膏放入牙膏盒内，则牙膏盒底面对角线长应大于或等于， ∵，，， ∴小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏； （2）小明的制作更合理， 理由如下：设牙膏盒的高度为，则小明制作的牙膏盒表面积为：，小华制作的牙膏盒表面积为：， ∵， ∴小明制作的牙膏盒材料更少， 又∵小明制作的牙膏盒体积为：，小华制作的牙膏盒体积为：， ∴小明制作的牙膏盒体积更小，更方便取放牙膏， 综上，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，小明的制作更合理． 【解析】 【分析】（）要把牙膏放入牙膏盒内，则牙膏盒底面对角线长应大于或等于，利用咕咕咕定理判断即可求解； （）设牙膏盒的高度为，分别求出小明和小华制作的牙膏盒的表面积和体积，进行比较即可判断求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图1，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，若，请你写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，等量代换，得到，进而得到，即可得证； （2）延长，，交于点，证明，得到，，进而得到垂直平分，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 延长，，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴． 23. 在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作： 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④． 解决问题： （1）求证：； （2）若正方形的边长为2． （I）求的长； （Ⅱ）求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（I）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可； （）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解； （）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 （）由折叠性质可知，，， 由（）知， ∵正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得； （）连接，如图， 由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形中，，平分，则四边形是近似菱形． （1）请在图2中作出一个以为对角线的“近似菱形”，顶点A、顶点C要在网格格点上． （2）如图3，在四边形中，，，，求证：四边形是“近似菱形”． （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了“近似菱形”定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，是四边形综合题．正确作出辅助线构建菱形是解题的关键． （1）理解“近似菱形”的定义，按照定义作图即可，答案不唯一； （2）理解“近似菱形”的定义，按照定义找出条件证明即可； （3）过点D作，交于E，连接，交于O，证明四边形是菱形，得出条件证明，最后根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 ∵以为对角线的“近似菱形”， ∴或，以例作图，则点A在的垂直平分线上，设点A在上方第三个网格格点上，则点C在点B下方第一个网格对角线上，如图2所示，答案不唯一； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分，， ∴， ∴四边形是“近似菱形”； 【小问3详解】 解：过点D作，交于E，连接，交于O，如图3所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得：． 25. 如图1，在等腰中，，点M为边上一动点． （1）在边上取一点N，使得连接，过点C、M分别作的平行线交于点P，连接．证明：； （2）在（1）的条件下，若，，当点M沿着边从点A运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P运动的轨迹长度是_______； （3）【迁移应用】如图2，以等腰的底边构造矩形，若，．点N在边上，连接．当点M在边上运动时，的长度也随之改变，但需始终保持，请求出长度的最小值，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）先由（1）及等边三角形性质找角的关系得度数，确定点的运动路径，再根据，结合点运动路径，进行求解即可． （3）类比构造平行四边形，将转化为，通过找最小值求解．先构造平行四边形，得出相关边和角的关系，再利用直角三角形性质求最小值即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， 是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； ∴点在以为顶点，为一边的30度角的另一条边上运动， 当点移动到点时，点与点重合，此时点在的延长线上，且，如图， ∴，， ∴； 故点的运动路径长为； 【小问3详解】 的最小值为，理由如下： 过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，最小，此时最小， 作于点， 在中，， ∴， ∴ ∴ 中，， ∴， ∴线段长度的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形判定和性质、等腰三角形性质、直角三角形性质（含角和角 ），熟练掌握平行四边形的构造转化线段，以及利用特殊三角形性质求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $