精品解析：黑龙江绥棱县克音河乡学校2025-2026学年第二学期八年级数学期中考试试题

绥棱县克音河乡学校2025-2026学年第二学期 八年级数学期中考试试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（每小题3分，满分36分） 1. 使式子有意义的x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式的被开方数非负，分式分母不为，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 由得， 由得且， ∴使式子有意义的的取值范围是且． 2. 以下列各组线段的长为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，8，10 D. 5，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】判断三角形是否为直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，，， ∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 对于选项B： ，，， ∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 对于选项C：，，即， ∴能构成直角三角形，故该选项符合题意； 对于选项D：，，， ∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意． 3. 如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而得出，再根据中位线的性质得出答案． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴是斜边的中线， ∴， ∴， ∵点D，E是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 4. 化简：=（　　） A. 2x﹣6 B. 0 C. 6﹣2x D. 2x+6 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先根据有意义，得到，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 详解：有意义，， 故 故选B. 点睛：考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件. 5. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、∵， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 、由，，判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 6. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（　　） A. 55° B. 45° C. 40° D. 42.5° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形，可证△AED为等腰三角形，从而可求∠AED，也就可得∠BED的度数． 【详解】解：∵等边△ABE ∴∠EAB=∠BED=60°，AE=AD ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=90°， AB=AD ∴∠EAD=150°，AE=AD ∴∠AED=∠ADE=15° ∴∠BED=60°-15°=45° 故选B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质．即每个角为60度． 7. 已知，则与的关系是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将a分母有理化，然后求出a+b即可得出结论． 【详解】解： ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键． 8. 比较大小：4与5的结果是（ ） A. 4=5 B. 4＞5 C. 4＜5 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出4与5的平方各是多少，然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出4与5的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵48＜50， ∴4＜5 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个正实数，平方大的这个数也大． 9. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求出∠AEB和∠EDC，即可证出△AED为直角三角形，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AE和DE，最后利用勾股定理即可求出AD的值． 【详解】解：∵∠BAE＝∠DEC＝60° ∴∠AEB=90°－∠BAE=30°，∠EDC=90°－∠DEC=30° ∴∠AED=180°－∠AEB－∠DEC=90° ∴△AED为直角三角形 在Rt△ABE中，AE=2AB=6 在Rt△DEC中，DE=2CE=8 在Rt△AED中，AD= 故选A． 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解决此题的关键． 10. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 11. 如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）． A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图先证明四边形ABEF是菱形，再根据菱形的性质，利用勾股定理即可求解． 【详解】由尺规作图的过程可知，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE＝∠BAE， ∴AF＝AB，EF＝EB， ∵AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴BA＝BE， ∴BA＝BE＝AF＝FE， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF ∵BF=12，AB=10， ∴BO=BF=6 ∴AO= ∴AE=2AO=16 故选B． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、复杂尺规作图、勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的作法是解题的关键． 12. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①先证得，求得，再证得，进而证得，进而证得为的中点，即可判断该说法是否正确．②根据，，，即可判断该说法是否正确．③根据，即可判断该说法是否正确．④由题意可求得，结合三角形的外角的性质，判断该说法是否正确． 【详解】解：①在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法①正确． ②如图，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 说法②错误． ③∵， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法③正确． ④∵为正方形的中心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 说法④正确． 综上所述，说法正确的为①③④，共3个． 二、填空题(每小题3分，满分30分) 13. 国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示为____； 【答案】2.6×105 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是比原整数位数少1的数． 【详解】解：260000=2.6×105． 故答案为：2.6×105． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14. 如果代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件；掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键． 15. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． 16. 如图，在平行四边形中，，，于，则_____． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，又因为，所以，再根据可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若，，则边BC的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC=2EF，BE=AE=3，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出DE=3，可得EF=4，即可求出BC的长． 【详解】解：∵EF是△ABC的中位线，AE=3， ∴EF∥BC，BC=2EF，BE=AE=3， ∴∠EDB=∠DBC， ∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴ED=BE=3， ∵DF=1， ∴EF=ED+DF=3+1=4， ∴BC=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____ 【答案】22.5 ° 【解析】 【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数． 【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°， 已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°， 又∵CE=AC， ∴∠E==22.5°． 故答案为：22.5°． 【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用． 19. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为_____． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数． 【详解】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°， ∴∠C'FM=40°， 设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α， 由折叠可得，∠EFC=∠EFC'， ∴180°﹣α=40°+α， ∴α=70°， ∴∠BEF=70°， 故答案为70°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 20. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要_____________平方米． 【答案】（） 【解析】 【分析】由含30度角的直角三角形的性质得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【详解】在Rt△ABC中，AB=2BC=4（米）， AC=（米）， ∴AC+BC=米， ∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）； 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质；由含30度角的直角三角形的性质求出AC是解决问题的关键． 21. 如图，在中，，，为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴，， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴PQ的最小值＝2OP′＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质、以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 22. 图形表示运算，图形表示运算，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查有理数的四则运算，理解新定义运算，需弄清基本图象如何转化成常见运算的形式．根据新定义运算法则即可列式求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：0． 三．解答题（满分54分） 23. 计算（1） （2） 【答案】（1）；（1）1 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质和零指数幂进行化简，然后合并即可. （2）先计算完全平方式，然后利用平方差公式进行计算，即可得到答案. 【详解】解：（1） = =； （2） = = = =1. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 24. 作图题： 如图在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形，并完成填空：点的坐标是 ，线段的长是 ； （2）请计算菱形的面积． 【答案】（1），;（2）15． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构和菱形的对边平行且相等找出点D的位置即可，再根据平面直角坐标系写出点D的坐标；利用勾股定理列式计算即可求出BC； （2）根据S菱形ABCD=2S△ABC列式计算即可得解． 【详解】解：（1）如图所示： ，BC＝； （2）． 【点睛】考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及菱形的对边平行且相等是解题的关键． 25. 如图，点E，F是对角线上两点，． （1）求证∶． （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用证出解答． （1）先证，再证出，从而得出． （2）过A点作，交的延长线于G，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用平行四边形的面积解答即可． 【小问1详解】 证明：中，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过A点作，交的延长线于G， 在中，， ∴， ∴的面积． 26. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，证得，推出，得出四边形为平行四边形，最后由菱形的判定定理判定即可证得四边形是菱形； （2）根据菱形性质求出，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得， 则， 解得，即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 27. 某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元． （1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？ （2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？ 【答案】（1）购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元 （2）最多可以购买27瓶B品牌消毒液 【解析】 【分析】（1）设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买m瓶B品牌消毒液，则购买瓶A品牌消毒液，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需元， 依题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元． 【小问2详解】 解：设购买m瓶B品牌消毒液，则购买瓶A品牌消毒液， 依题意，得：， 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的最大值为27． 答：最多可以购买27瓶B品牌消毒液． 28. 如图①正方形中，是中点，是延长线上一点，交的平分线于，在上截取，∴，连结，易证，∴． （1）如图②当点是边上任意一点时图的结论是什么？ （2）如图③当点在的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？选择图②或③的一种情况加以证明． 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）在上取一点，使，连接，证明，可得结论； （2）在延长线上取点，使，连接，证明，可得结论． 【小问1详解】 结论：． 证明：如图，在上取一点，使，连接， ∵四边形是正方形，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 结论：． 证明：如图，在延长线上取点，使，连接， ∵，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵为的平分线，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边对等角，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥棱县克音河乡学校2025-2026学年第二学期 八年级数学期中考试试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（每小题3分，满分36分） 1. 使式子有意义的x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 2. 以下列各组线段的长为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，8，10 D. 5，12，15 3. 如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 4. 化简：=（　　） A. 2x﹣6 B. 0 C. 6﹣2x D. 2x+6 5. 在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（　　） A. 55° B. 45° C. 40° D. 42.5° 7. 已知，则与的关系是(　　) A. B. C. D. 8. 比较大小：4与5的结果是（ ） A. 4=5 B. 4＞5 C. 4＜5 D. 无法确定 9. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 10. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 11. 如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）． A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 12. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题(每小题3分，满分30分) 13. 国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示为____； 14. 如果代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 15. 分解因式：________________． 16. 如图，在平行四边形中，，，于，则_____． 17. 如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若，，则边BC的长为______． 18. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____ 19. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为_____． 20. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2米，楼梯宽1米，则地毯的面积至少需要_____________平方米． 21. 如图，在中，，，为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为___． 22. 图形表示运算，图形表示运算，则________． 三．解答题（满分54分） 23. 计算（1） （2） 24. 作图题： 如图在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形，并完成填空：点的坐标是 ，线段的长是 ； （2）请计算菱形的面积． 25. 如图，点E，F是对角线上两点，． （1）求证∶． （2）若，，，求的面积． 26. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 27. 某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元． （1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？ （2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？ 28. 如图①正方形中，是中点，是延长线上一点，交的平分线于，在上截取，∴，连结，易证，∴． （1）如图②当点是边上任意一点时图的结论是什么？ （2）如图③当点在的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？选择图②或③的一种情况加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $