广东揭阳第一中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高二级数学科期中考试卷答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D C B D D B AC AC BCD 12.【答案】-5 13.【答案】4 14.【答案】 1-3 15解：(1)及，=4B,+B品，P(4)=P(B)=0,52分) P(B,4)=1-0.6'P(B,1B)=0.84分) 由全概率公式得 P(B2)=P(4B2)+P(BB2)=P(4)P(B214)+P(B)P(BIB) =0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.(6分) (2)设P(4)=p,依题可知，P(B,)=1-P,则 P(A)=P(AA)+P(BA)=P(4)P(4l4)+P(B)P(4B). 即p41=0.6p+(1-0.8)x(1-P,)=0.4p,+0.2,(9分) 构遮等比煮列和+水，设P+入-子+，解得1=号 则a乱a-》 (10分) 又A-方A青名所以{口-司引是甘碳为行公为号的等批数列02列 即-名+号 0号 16(1)解，PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,.PA⊥CD.(I分) 在△ACD中，AC=1,AD=2,∠CAD=60°，.CD=V5,2分) .AC2+CD2=AD2,.AC⊥CD(4分) 又PA∩AC=A,PA、AC?平面PAC\CDA平面PAC,(5分) CDc平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC.(6分) 1 (2)解法一：取BC的中点E,连接AE,则AE,AD,AP两 两互相垂直，以A为坐标原点，AE,AD,AP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(8分) .o.cr-0a 设平面PAC的一个法向量为m=(x,少，2)，则 AP.m=0, AC·m=0, z=0, 所以 5,1 令x=1,得m=(1,-V3,0).(12分) 2 x+2y=0 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), BC=0, [y=0, 则 PC.n=0, 所以{V3.,1；,。令x=2,得=(2,0,5)13分) (2x+2y-z=0, 2 记平面PAC与平面PBC的夹角为0， 2 万 则cos9=eos(m,列+34+37,4列 即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为V -(15分) > 几何法：，PA⊥平面ABCD,BMC平面ABCD,.PA⊥BM.(7分) 过B作BM⊥AC交AC于M,PA∩AC=A,PA、AC?平 面PAC,.BM⊥平面PAC,(9分) .BM⊥PC,(10分) 过M作MN⊥PC交PC于N,连BN, 又NOBM=M,MN、BMc平面BMN,.PC⊥平面 BMN,BNc平面BMN,,PC⊥BN,(I3分) 所以∠BNM即为平面PAC与平面PBC所成二面角的平面角.(14分) 2 在aBW中，BM= 之，nw= ，(15分) 4 .tan∠BWM= %=v6,'6别 ∴o8∠BNMM-万，即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为Y .(17分) 17(1)解因为y=(x>0）,所以y=-三(1分) 因为2的横坐标为xn,所以Pn的坐标为 由y儿文 可得曲线在Pn处的切线的斜率为一 ,3分) 所以P,处的切线的方程为y 令y=0,得x=2xn,即2n1的坐标为(2x,0),(6分) 所以xn1=2xn.(7分) (2)解：由(1)得R处的切线的方程为y-1=(-1)×(x-), 令y=0,得x=2,即9的坐标为(2,0)，故x=2,.(8分) 所以{xn}首项为2，公比为2的等比数列，所以xn=2”,则xn=n×2”，(10分) 则Sn=1×2+2×22+3×2+…+(n-1)×2m+n×2",①.(11分) 所以2Sn=1×22+2×23++(n-1)×2+n×2,②.(12分) ①-②得-Sn=2+22+23+…+2”-n×2 =20-2）-nx2州=2r-2-mx2=(-n小x2-2(4分) 1-2 所以数列{xn}的前n项和为2+(n-1)×2.(15分) 18.解：(1)因为TF+TF=4>FF=2,所以C的轨迹是以F,E为焦点，且长轴长为4的椭 圆，设C的轨迹方程为三+ +京=1(a>b>0）,则2a=4,可得a=2. 3 又c=1,所以2=d2-c2=3,所以C的方程为 2+上=10分) 43 ②)设B(4,),过B且与C相切的直线斜率存在，设直线方程为y-1=(x-4),(4分)联立 [y-t=k(x-4) 三+上-1，消去y得(3+42）x2+8k-4)x+4-4-12=0,6分 143 由△=642(-42-4(3+42)儿4t-4)2-12]=0,得12-8k+1-3=0,(7分) 买典BP,0的料率分别为3，则北+店-场-十 12 0证明：设眠的斜率为店，则无=名行9分创 因为k+k2= 2=2k,所以BP,BE,B配的斜率成等差数列(10分) B ②法1：在y-1=k(x-4)中，令x=0,得yp=t-4%,所以P(0,t-4k),同理，得2(0，t-4k2), 所以P的中垂线为y=t-2(店+k2).(11分) 海8P的中点为(2,1-2)，所以BP的中垂线为y=kCx-2)+1-2%,《12 y=1-2(飞+2)， 联立 6e-21-2,0隔N2年+21-26+6》.0阳分 所以N亚=(-2%k-2,2k-2k),N0=(-2kk-2,2k-2k), 要使∠PN2=90°，则Np.N0=0,即4(k1k2+1)2-4(k-k)2=0,(14分) 盟+州--k---结-眉-4侣9 4 所以 2-3 +1 12 +9,解得1=7,1=士v7,6分 3 故存在符合题意的点B,使得∠PNQ=90,此时BM=√7.(7分) 法2：在y-1=k(x-4)中，令x=0,得yp=1-4k,因此P(0,1-4k), 同理可得Q(0,1-4k).所以PQ的中线为y=1-2(k+k).(11分) 岛每8P的中点为21-2).所以BP的帅里线为y=一女-2+1-242分剂 y=1-2(飞+k), 联立 y=1(-2+1-2k 解得xw=2kk+2(13分) 因为∠PN2=90,所以kw=P四，即2k5+2=2k-4,4分) 故存在符合题意的点B,使得∠PN9=90°，此时BM=√7.(17分) 法3：要使∠PN2=90°，即∠PB2=45°或135°，从而，tan∠PBg=1.(12分) 义现-卡是会贵1 1+kk2 V2+9 3 解得2=7,1=±7.(16分)， 故存在符合题意的点B,使得∠PN2=90°，此时BM=V万…(17分) BP.8@ 法4：要使∠PN2=90°，即∠PB9=45°或135°，cos∠PBg= EP BO 2(12分) 在y-1=k(x-4)中，令x=0,得n=t-4k,故P(0,1-4k),同理可得(0,1-4k).因 5 此BP=（-4.4k),B0=(-4,-4k), 所以 F照=16+16kk一2 BB@4√1+k,4V+店 2,(14分) 故V互(1+kk)=V1+k+k+好，即2+2好+4kk2=1+好+片+号， 61=化+所6倍1( 整理得 1+22-63=0,解得2=7或-9（舍去），(16分) 故存在符合题意的点B,使得∠PNQ=90°，此时BM=√万.(17分) 要使∠PNg=90,即∠PB2=45或13S,从而sin∠P89=22 在y-t=k(x-4)中，令x=0,得yp=-4k,故P(0,1-4k),同理可得2(0,1-4k), 曲时阳-wma叫g是4-44-4+听4r店94分 2传+-钱+6+1，所)-合6位21. t‘+212-63=0,解得2=7或-9（舍去），(16分) 故存在符合题意的点B,使得∠PNg=90°，此时BM=√7.(I7分) 19【详解】1)f问的定义域为0，w),)=2amc+a-2列---2x+,1分 .x ①当a≤0时，f(x)<0,函数f(x)在(0，+∞)单调递减：f(x)至多有一个零点：2分) ②当a>0时，当xe0时，了(<0，函数了日单调递减： 当xe后时，国>0，函数/四单调递增， f(a取得最小值为f日=1-。+l0B分) 因为当e后树时，fq(-后a当x0时，e-+a+e 所以函数了)有两个零点当且仅当/日<0，(4分) 设g(a)=lna-二+1，函数g(a在(0，+o)单调递增， 因为g()=0,g(a)<0的解集为a∈(0，)即a的取值范围是(0,1).(5分) 由)知山题证1即证1>26分》 x+x2> a 0 g创--f&-0<x<君则g=f倒r合- ee.66.a-0n x(2-x) a6》上起装：t-0时6任-斯)y任-)9 又。名-4>且（因在（日上塔 (10分) 2 六>。即 、2(11分) (3)因为f(y)=(x+a-2x-lx,由f(0=2a-2<0,结合(1)知0<x<1(12分) 要证(6)>-2即证(2x+1(a-)>-2即x(25+1>2x-1（3分列) 当。1时，因为x(2x+)>0'24-1≤0，不等式恒成立：(14分) 0<x 2 -0a6小-+2x 即证(2x+1(+2x)>(2x-(s+) 、24-02x2 即证 1(15分) 2x+1 2x1+1 ”++2乐 ->0 设p=rtx+2经 -+1 2>0 2x+ °(16分) 所以p网在[传单调递增所以p>P)-h2+10,数故)>-27分州2025-2026学年度第二学期高二级期中考试 数学科试题 考试时长120分钟，总分150分 一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的， 1.已知i为虚数单位，复数z满足z1+i)=2,则=() A. B.1 c② D. 2.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是() A.3 B.7 C.21 D.210 3.食堂周五提供麻婆豆腐，清炒豌豆尖，豆干回锅肉，水煮肉片，麻辣小龙虾共五道菜，其中后三道为 荤菜，小轩同学仟打两道菜，正好打到一荤一素的概率() A B C. D. 4 4.函数(x)=(x2-2xe的图象大致是（) 5.已知直线1与圆C:(x-)+(y-2)=16交于A,B两点，C为圆心，若△ABC的面积等于8，则A8= A.√2 B.2V2 C.32 D.42 6.已知 2x- 的展开式共有13项，则下列说法中正确的是() A.所有奇数项的二项式系数和为2 B.所有项的系数和为32 C.二项式系数最大的项为第6项或第7项 D.有理项共5项 7设4，B是一个随机试验中的两个事件，且P(4=7P(到-子P(回-名：则下列说法中错误的 是() A.P(4B)= B.P(-写 C.() D.P小-号 8.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为7,9,11， 第四行为13,15,17,19，如图所示，在宝塔形数表中位于第1行，第j列的数记为4，例如乌2=9， a4.2=15,454=23,若a=2025,则i+j=（) 35 1197 A.64 B.65 C.68 D.72 1351719 2927252321 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，·有选错的得0分. 9.对于抛物线上x2=y,下列描述正确的是( e ) A.开口向上，焦点为(0,2) B.开口向上，焦点为 0i6 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y=-4 10.在学校的数学节，小明制作了一个“半正多面体形状的花灯（图1），半 正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对 称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方 体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的正确结论为() 图1 图2 A棱长为V2: B两条棱所在育线异面时，这两条异面直线所成角的大小是0°： C表面积为S=12+4V3 D.外接球的体积为V=4V3π 1l.已知函数f(x)=xcosx-sinx,则() A函数()在x=三时，取得极小值-】 B.对于∈(0，π)，f(x)<0恒成立 C.若0<光<为<π，则立<i加立 x2 sin xa D若a<血<D,对于￥：e(o,)恒成立，则u的最大值为后，b的最小值为1 2 2 第二部分非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知双曲线x+上-1的海近线方程为y=5x,则m=」 m 13.设底面为正三角形的直楼柱的体积为16，那么其表面积取极小值时底面边长为 14、若抛掷一枚质地均匀的骰子两次，落地时朝上的面的点数分别为4，b.设事件A=“函数 b f(=a-2 为奇函数，B=“函数g(y)=sin 上恰有一个最大值点和一个最 +1 小值点”，则P(BA)= 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写文字说明、证明过程或演算步藤 15.(13分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换 为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽 签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.记“第次投篮的人是甲”为事件A, “第i次投篮的人是乙”为事件B (I)求P(B2) 的值： (2)求P(4) (用i表示)。 16.(15分)如图四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC,AABC是等边三角形， PA=AB=1. (I)求证：Ψ面PCD⊥平面PAC: (2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值」 1n《5分)己如曲线C:y=〔x>0叭，自线C在点BL)处的切线交x轴于点，过Q作与x轴垂 直的直线与C交于点？，曲线C在点？处的切线交x轴于点22，，依次下去，得到点列：2,22，马，， 2,,设2n的横坐标为xn (1)求证：x+1=2xm: (2)求数列{xn}的前n项和Sn 18.(17分)已知点F(-1,0),E(1,0),动点T满足|T+TF=4,动点T的轨迹记为C. (1)求C的方程： (2)直线I:x=4与x轴交于点M,B为I上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,2 ①证明：直线BP,BF,BQ的斜率成等差数列： ②圆N经过B,P,2三点，是否存在点B,使得∠PNQ=90°？若存在，求BM的值：若不存在， 请说明理由 19.(17分)己知函数fx)=ax2+(a-2)x-lnx有两个零点xx2x,<x2,f'(x)为f(x)的导函数. (I)求实数a的取值范围： y ②证明：+ 3)证明：xf'(x)>-2」 4