6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积，通过“粮仓设计大赛”情境导入，引导学生从用料计算需求出发，结合动手剪开圆柱、圆锥模型观察展开图，推导侧面积公式，构建圆台与圆柱、圆锥的转化关系，形成知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过动手操作和类比推理培养数学思维，用公式汇总表和体系构建强化数学语言表达。如互动探究中推导圆台侧面积，典型例题解决组合体表面积，助力学生发展空间想象与建模意识，也为教师提供探究式教学的丰富素材。

6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 学 习 目 标 1 2 3 理解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状特征，掌握侧面积和表面积公式 能运用公式计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 理解圆柱、圆锥、圆台侧面积公式之间的内在联系 通过动手操作，体会”空间问题平面化”的转化思想 经历从特殊到一般的探究过程，培养类比推理能力 情感态度与价值观。 感受数学与实际生活的紧密联系 培养空间想象能力和数学建模意识 新课引入 🏭 情境：粮仓设计大赛 假如你和同学们都是农户，需要设计一款粮仓模型。请从成本（用料多少）和实用性两方面考虑，展示并推销你设计的粮仓。 圆柱形粮仓、圆锥形粮仓、圆台形粮仓模型图片。 作为农户，你想选择哪款粮仓？为什么？ 如果要计算制作粮仓需要多少材料，本质上是在求什么？ 这些几何体的侧面是曲面，如何计算曲面的面积？ 互动探究 探究活动1：圆柱的侧面展开 每位同学准备一个圆柱形纸筒（如薯片筒），沿一条母线剪开。 观察思考： 展开前（圆柱） 展开后（矩形） 侧面是曲面 侧面展开为矩形 母线长 矩形的宽 底面周长 矩形的长 小组推导圆柱侧面积、全面积： 圆柱的侧面积 = 矩形面积 = 2πr · l 表面积 = 侧面积 + 2×底面积 = 2πrl + 2πr² = 2πr(r+l) 互动探究 探究活动2：圆锥的侧面展开 准备一个圆锥形纸帽，沿母线剪开并展平。 观察思考： 小组推导圆锥侧面积、全面积： 扇形面积公式：S=×弧长×半径 ， 圆锥的侧面积 = ×2πr×l=πrl 圆锥的表面积 = 侧面积 + 底面积 = πrl + πr² = πr(r+l) 展开前（圆锥） 展开后（扇形） 侧面是曲面 侧面展开为扇形 母线长 扇形的半径 底面周长 扇形的弧长 互动探究 探究活动3：圆台的侧面展开 观察圆台模型，思考如何展开。 提示： 设 圆台可以看作是大圆锥截去小圆锥后剩余的部分 ， 侧面展开图是扇环（大扇形减去小扇形） 设圆台上底半径为 r1，下底半径为 r2，母线长为 l。 设小圆锥母线长为 x。 求x =⋅2π⋅(x+l)-⋅2πr1⋅x=π(r1+r2)l 由相似三角形：=⇒x= 侧面积 构建体系 柱锥台的侧面展开与面积 📊 公式汇总表 几何体 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 圆柱 矩形 圆锥 扇形 圆台 扇环 构建体系 🔗 三者关系（核心思想） 圆台 / \ r'=r \ / r'=0 圆柱 圆锥 上底扩大：当 𝒓′=𝒓 时，圆台 → 圆柱 =𝝅(𝒓+𝒓)𝒍=𝟐𝝅𝒓𝒍 ✓ 上底缩小为0：当 𝒓′=𝟎 时，圆台 → 圆锥 =𝝅(𝟎+𝒓)𝒍=𝝅𝒓𝒍 ✓ 数学思想：转化与类比——将空间曲面问题转化为平面图形问题。 柱锥台的侧面展开与面积 微练 1.圆柱的底面积为 π，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（　　） A. 4π²　 　B. 3π²　　 C. 2π²　　 D. π² 【解析】选A. 由 πr²=π，可知 r=1，所以正方形的边长是 2π，故圆柱的侧面积是 (2π)²=4π². 2.若圆锥的底面半径为1，高为 ，则圆锥的表面积为（　　） A. π　　 B. 2π　　 C. 3π　　 D. 4π 【解析】选C. 设圆锥的母线长为 l，则 l=√(3+1)=2，所以圆锥的表面积为 S=π×1×(1+2)=3π. 构建体系 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积 柱锥台的侧面展开与面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 直棱柱 为 底面周长 为 高 正棱锥 为 底面周长 为 斜高 正棱台 为 上底面周长 为 下底面周长 为 斜高 正棱台的表面积 = 侧面积 + 下底面面积 + 上底面面积。 3.已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积等于________cm². 如图所示，正四棱锥的高 PO、斜高 PE、底面边心距 OE 组成 Rt△POE. 因为 OE=×4=2(cm)，∠OPE=30°， 所以 PE==4(cm). 所以 S<侧面积=×4×4×4=32(cm²). 微练 4. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 时，该三棱锥的侧面积是（　　） A. 　　 B. 　 　C.　 　D. B　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于 ， ∴该三棱锥的侧面积是 .]   典型例题 类型三　组合体的表面积 类型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 例1 (1) 若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为，则这个圆台的侧面积是 （） A.27π B.27 π C.9 π D.36 π 分析 利用已知条件求出母线长后代入侧面积公式求值. (1)选B.设圆台上底面半径为r1，下底面半径为r2，母线长为l，如图所示，2r2=2r1+6=4r1，所以r1=3，r2=6. S圆台侧=π(r1+r2)l=π(6+3)×3 =27π. 解 (2)以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径. (2)设出圆柱的底面半径、高后表示出圆柱的侧面积、圆锥的侧面积解出半径. 分析 解 (2)如图所示，设圆柱底面圆的半径为R，高为h，则圆锥的底面半径为R，高为h，设圆锥母线长为l， 则有l=, 依题意，得 由①②，得R=，即圆柱的底面半径为。 典型例题 类型三　组合体的表面积 类型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 例3.圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 【解析】如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，圆锥母线长为l， 则有=，即=。 所以R=2r，l= R。 所以 ====-1。 求圆柱、圆锥、圆台的表面积的三个关注点 (1)确定基本量：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积关键是确定其基本量，即求出它们的底面半径、母线长，然后代入公式即可. (2)轴截面：利用好轴截面可以将空间问题转化为平 面问题. (3)平行截面：圆锥平行于底面的截面半径为r，原底面半径为R，则截得的小圆锥的高与原来的圆锥的高的比为 ，截得的小圆锥的侧面积与原来的圆锥的侧面积的比为 . 典型例题 类型三　组合体的表面积 类型二　直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积 例4 （1）侧面都是直角三角形的正三棱锥, 底面边长为，则该三棱锥的表面积是（） A. B. C D. 【解析】(1) 选A. 因为底面边长为，则斜高为， 故。 而，故。 (2)已知正四棱台两底面边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，则它的侧面积为_________ cm2.  (2)作出正四棱台的一个侧面如图，设E，F分别为AD，BC的中点，过D作DG⊥BC于点G.由题知AD=4 cm，BC=8 cm，CD=8 cm，得DE=2 cm，FC=4 cm，解得GC=2 cm， 在Rt△DGC中，DG==2(cm)， 即斜高为2cm，所以所求侧面积为 4××(4+8)×2=48 。 例5.正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为_________cm2.  【解析】正四棱锥的高PO、斜高PE与底面边心距OE组成Rt△POE. 因为OE=2 cm，∠OPE=30°， 所以PE= =4(cm)， S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2). 答案：48 求直棱柱、正棱锥和正棱台的表面积的方法 (1)求斜高是关键：棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是确定斜高和底面边长. (2)构建求解图形：斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键. 典例分析 类型三　组合体的表面积 例6(1)如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为_________.  点拨 几合体的表面积应是正方体的表面积减去圆柱的两个底面积，加上圆柱的侧面积. 解析 几何体的表面积为 S=6×22-π×(0.5)2×2+2π×0.5×2 =24-0.5π+2π=24+1.5π. 答案：24+1.5π 典例分析 类型三　组合体的表面积 例6.(2)有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).  点拨 解析 几何体的表面积在求解时难点是底面积的处理，加加减减，拼合而得。 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2， ，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍.所以S表=2S下+S侧=2×22+4×[22+( )2+12]=36. 典例分析 类型三　组合体的表面积 例7已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积。 点拨 解析 求圆柱和圆锥的高及→计算侧面积和底面积→得到旋转体的表面积 如图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥。在直角梯形中，，，，。又。 典例分析 类型三　组合体的表面积 例8.把例7中的梯形换为如图所示的 ，其中 ，，，以 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积。 [解] 过 点作 于点 。如图所示， 以 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为 ，底面半径 ， 故 。 求解组合体表面积的解题思路 求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积，再通过求和或作差，得到所求组合体的表面积。 若遇到与旋转体有关的问题，应根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长，再代入公式求解。 举一反三 1. 思考辨析（正确的画”√“，错误的画”ד） (1)斜三棱柱的侧面积也可以用 来求解，其中 为侧棱长， 为底面周长。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　） (2)多面体的表面积等于各个面的面积之和。　　　　　　　　　 （　　） (3)圆柱的一个底面积为 ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 。　 　　　 （　　）   （1）错误。若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长 l 不相等时，不能用公式 cl 来求解。 （2）正确。 （3）错误。圆柱的侧面积是 4πS。 举一反三 2. 已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1, 2, 3，则该长方体的表面积为（　　） A．22　　　　B．20 C．10　　　　　　D．11（　　）  A　[所求长方体的表面积 S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22。] 3. 若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（　　） A．1:2　　　　　 　B．1: C．1:　　　　 D．:2  C　[设圆锥底面半径为 ，则高 ， 其母线长 。，，。] 举一反三 4. 正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，它的高 SO=3，求此正三棱锥的侧面积。 [解] 设正三棱锥底面边长为 ，斜高为 ， 如图所示，过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，且 。 因为 ，所以 。 所以 。 举一反三 4. 正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，它的高 SO=3，求此正三棱锥的侧面积。 [解] 设正三棱锥底面边长为 ，斜高为 ， 如图所示，过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，且 。因为 ，所以 。所以 。因为 ，所以 。所以 。所以 ，所以 。所以 。 所以 。 举一反三 5.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 解析： 正四棱锥的斜高 ，。 答案：D 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(　　) A.7 B.6 C.5 D.3 解析：设圆台较小底面的半径为r,则圆台较大底面的半径为3r,圆台的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7. 举一反三 7. 一个圆柱的侧面展开图是一个矩形，其对角线长为 ，且矩形的一边长为1，求圆柱的表面积。 已知矩形一边长为 ，分两种情况讨论： 若高 ： 由勾股定理，底面周长 ， 因此底面半径 。 圆柱表面积 。 2.若底面周长 ： 由勾股定理，高 ， 底面半径 。 圆柱表面积 。 学海拾贝 📌 知识网络 柱、锥、台的侧面展开与面积 │ ├── 圆柱：展开为矩形 → S侧=2πrl │ ├── 圆锥：展开为扇形 → S侧=πrl │ └── 圆台：展开为扇环 → S侧=π(r'+r)l ↑ 统一公式（梯形类比） 学海拾贝 📌 核心思想 转化思想：将空间曲面问题 → 平面图形问题 类比思想：圆台侧面积公式类比梯形面积公式 极限思想：圆台通过极限可退化为圆柱或圆锥 学海拾贝 📌 易错提醒和课后思考 区分母线长与高：圆锥/圆台中 l>h ⚠ 区分侧面积与表面积：表面积 = 侧面积 + 底面积 ⚠ 圆台展开图的圆心角：θ=（弧度） 某农户想要定制一款粮仓，中间为圆柱体（底面半径2米，高3米），上下各接一个圆锥（底面半径2米，高1.5米）。若每平方米材料费100元，配件费600元，大约需要支付多少钱？（） 感谢聆听! 北师大（2019）高一必修二 $