6.2柱、锥、台的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章 立体几何初步 6.2 柱、锥、台的体积 1. 圆柱、圆锥、圆台的体积 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 活动二 圆柱、圆锥、圆台的体积 内容索引 思考 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 内容索引 (3) 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高． 内容索引 2. 了解棱柱、棱锥、棱台的体积 (1) 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是 V正方体＝a3(a是正方体的棱长)， V长方体＝abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高)． 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh. 棱柱、棱锥、棱台体积 内容索引 注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离． 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离． 内容索引 思考2 内容索引 V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 内容索引 例1　如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)? 柱、锥、台体积的计算 内容索引 内容索引 V圆柱＝π×52×10≈785(mm3)， 所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)， 故这堆毛坯约有260个． 例2　有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已 知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内 孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度 是7.8g/cm3) 内容索引 2 4 5 3 【答案】 12 1 内容索引 例4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1 的体积为________. 内容索引 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥 A1－ABD，求： (1) 截去的三棱锥A1－ABD的表面积； (2) 求三棱锥A－A1BD的体积． 内容索引 1. 常见的求几何体体积的方法： ①公式法：直接代入公式求解；②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 2. 求几何体体积时需注意的问题： 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 内容索引 V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 【解析】 V柱体＝Sh, V台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh. (2) 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥的体积的 3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积V棱锥＝Sh. V棱台＝h(S′＋＋S)， 观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式V棱柱＝Sh，V棱锥＝Sh，V棱台＝h(S′＋＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 【解析】 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系V棱柱＝Sh V棱台＝h(S′＋＋S) V棱锥＝Sh. V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 【解析】 由题意，知V长方体ABCD－A′B′C′D′＝1×1×0.5＝(m3)， V棱锥P－ABCD＝×1×1×0.5＝(m3)， 所以这个漏斗的容积V＝＋＝≈0.67(m3)． 【解析】 因为V六棱柱＝×122×6×10≈3 741(mm3)， ≈260(个)， 例3 某圆台的上、下底面圆的半径分别为，5，且该圆台的体积为139π，则该圆台的高为________. 【解析】 设该圆台的高为h，则由圆台的体积V＝(S＋＋S′)h＝πh＝139π，得h＝12. 【解析】 V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝××1×1×1＝. 【答案】 $$