浙江杭州第二中学、温州中学、金华第一中学、绍兴市第一中学、舟山中学、慈溪中学、衢州二中等校2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试题

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷聚焦核心素养，解答题融合真实情境与分层设计，如概率题以文创刮刮卡为背景考查期望与递推，导数题三问递进，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、统计、向量、函数、立体几何、解析几何|散点图相关系数比较（第3题）考查数据分析，体现数学眼光| |填空题|3题15分|二项式定理、导数几何意义、立体几何折叠|矩形折叠面积最值（第14题）结合空间想象，考查数学思维| |解答题|5题77分|数列、立体几何、导数、椭圆、概率统计|概率题（第19题）以文创刮刮卡情境考期望与递推，导数题三问分层，体现数学语言与创新意识|

2026年全国高考数学模拟卷 命题：杭州第二中学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合A={x∈Zx<2},全集U={-2,-1,01,2},则uA=（) A.0 B.{-2y c.2) D.{-2,2 答案：D 2.复数2=1-2i 的虚部为() 3i 司 答案：B 3.对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是 () 25 25 20 20 2 20 15 15 15 15 10 …… 10 10 10 5 5 5 0510152025 0510152025 0510152025 0510152025 相关系数为r1 相关系数为r2 相关系数为r3 相关系数为r4 A.3<4<0<5<r B.4<3<0<片<5 C.4<2<0<r3<行 D.5<r4<0<r<3 答案：A 4.已知向量a=(1,-2),万=(0,1)，c=(4,x),若(2五-a)1c,则x=() A.1 B.-1 C.16 D.-16 答案：A 5.已知函数f(x)=sin2x+√5sinx-cosx-l,则() A.f(x)的最大值为√ B.f(x)的最小正周期为2π c 上单调递增 D.四)的最小正零点为号 答案：C 6.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和6，球0与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球0的表面 积为（) A.36元 B.72π C.108π D.144π 答案：B 1已知双曲线C等-茶=(6>06>0的左，右焦点分别为5,5，过点5的直线与C的右支交于点B, 4B=B=,设双曲线的离心率为e,则e=（) A.4-22 B.5-2V2 C.6-22 D.7-2√2 答案：B 8.若曲线C:y=√x2+2x+3上存在至少两点到直线/：x+my+2=0的距离为1，则实数m的取值范 围为() A.「-2V2,0u0,26 B.「-260U(0,22) C.（o,-2W6U(22,+0) D.（-0,-22]U[26,+∞) 答案：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.某城市连续6天的最低温度（单位：℃）为0,2,5,5,6,6则这组数据的（ A.极差为6 B.40%分位数为3.5 C.平均数为4 D.方差为5 答案：ACD 已知暖改创-(》-) 10. 则下列说法正确的是( A.函数f(x)的定义域为{xx<0或x>1} B.不等式f(x)>0的解集为☑ C.函数f(x)的图象为轴对称图形 D.函数∫(x)的图象为中心对称图形 答案：ABC .已知数列Q的通项公式为Q,三)0+n∈W,S,是其前n项的和，mm∈N,下列结论正疆 的是（) A.S<1 B.(m-n)(Sm-Sn)≤0 c.1-Sm+n>(1-Sm)2 D.1-Sn>(1-Sm)1-Sn) 答案：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 的展开式中的常数项为 答案：15 13.己知函数f(x)=ln(2x-1)+C的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a=_ 答案：-1 14.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点 P,则△ADP面积的最大值为 答案：108-72√2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知公差不为零的等差数列{an}中，a3=7,且41，a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列，}满足，=，求数列{凸，}的前n项和S. anan 解：(1)a3=7,.a+2d=7①… …2分 41,a4,a13成等比数列， ∴.a=aa3,∴(a+3d2=a(a,+12d化简得6a,d=9d2, 因为d≠0，所以6g=9d②，… …5分 由①②可得，a=3,d=2 …7分 所以数列的通项公式是an=2n+1.… …9分 1 =11-1 (2)由(1)得b。=2n+l2n+3)22n+12n+3 …11分 32n+3）… …13分 16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠ABC= 3 ∠APD=90°，PA=1,PC=2,M是AD的中点. (1)证明：PA⊥CM; (2)求直线AB和平面PCM所成角的正弦值. 解(1)连接AC,由题意△ACD是等边三角形，M是AD的中点， 所以CML AD.…。 …2分 因为AD=2,所以CM=√5，又因为∠APD=90°， 所以PM=AD=1.又PC=2,则PM+CW=PC2, 2 所以CM⊥PM,…5分 且AD∩PM=M,AD,PMc平面PAD, 所以CM⊥平面PAD,而PAC平面PAD, 所以PALCM.… …6分 (2)以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，过M作垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 由(1)可知平面PAD⊥平面ABCD, 于是wao0.4ao.4-lao.ceg.0.aft5o.P}a9 …8分 7 是c-60-台09 设平面PCM的一个 法向量为万=(xy,),则 n.MC=3y=0 万而=x+5:=0则y=0,令红=-1得x=5 2 于是可得一个法向量方=（5,0，-1)， …1分 又AB=(L,√5,0)，设直线AB和平面PCM所成角为0，则 sin8=cos(,4B） n.AB 所以直线AB和平面PCM所成角的正弦值为V …15分 4 说明：或转化为直线CD和平面PCM所成角. 17.己知函数f(x)=x(2lnx-x+1), (1)设f(x)是f(x)的导函数，求f'(x)的单调区间； (2)设x是f(x)的极小值点，求证：-1<f(x)<0: (3)若f(x)≤a·x2恒成立，求实数a的取值范围 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，o), (=21nx-2x+3,f6=2-2=20-x), 易得f'(x)在(0，)单调递增，在(，十∞)单调递减.…4分 (2)由(1)f'(x)x=f'(0)=1>0, 且当x→0时，f'(x)→0，当x→0时，f'(x)→-0 所以存在x,∈(O,1),使得f(x)在(O,x)单调递减，在(x,)单调递增， f(x)极孙=f()=x(2lnx。-。+1), 其中x满足f"(xo)=0,即2lnx-2x。+3=0,于是 f)=x(x-2)=(x。-1)2-1, 因为0<x,<1,所以f(x)∈(-1,0) …10分 (3)由题意，f(x)≤ax2恒成立，即x(2lnx-x+1)≤ax, 因为x>0,所以a≥2nx-x+1 设g)-21nx-x+1,则g=1-2nx x2 于是gx)在(0，√E)单调递增，在(NE,+o)单调递减， 所以g6m=gV6=2- e 2-e 所以实数a的取值范围为a≥ …15分 8。已知圆C等+茶=1a>6>0)过这点 离心率为2 O是坐标原点， (1)求C的方程： (2)过C的右焦点F作直线1与椭圆交于AB两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAQB, ()求点Q的轨迹方程并说明其形状： (ii)过F的任意一条直线'与椭圆C交于，P两点，与Q的轨迹交于P,P4两点，其中P,P在x 轴上方，求△OP卫和△OP2P,面积之和的范围. 解D已克c学+发=1a≥6>0.然过月代入方起青g,食1 又离心率e==克所以62=a2-华=g,联立解得a2=4,b2=3 一所以椭圆方程为：十片三1.…3分 (2)(i)椭圆右焦点F(1,0),设直线L:x=ky+1,A(x1y1),B(x2,y2),Q(x,y) 由平行四边形性质0Q=0A+0B,所以(x,y)=(x1+x2y1+y2) x=ky+1 联立与椭圆方程 (3k2+4)y2+6ky-9=0 由韦达定理： 6k 8 1+h=-3k2+4+2=k0+y%)+2=32+4 8 X二 3k2+4 6k y=-3k2+4 消去参数k得到Q点的轨迹方程为x-12+号=1，(c≠0)… …8分 其形状为焦点在x轴上，中心在(1,0)，长轴长2、短轴长√3的一个椭圆（不包括原点）· (i)设直线方程为：x=my+1,和椭圆兰+号=1联立得到 43 (3m2+4)y2+6my-9=0 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),y1>0>y2),则： 6m 9 1+h=-3m2+4y12=-3m2+4 x=my+1和(x-1P+号=1联立得到 (m2+=1,即(3m2+4)y2=3,设P,(x,2),P,(x4,4),02>0>⅓)，则 f四=v3u(2V1-u2-1),u∈(o, 设u=sin0,日∈(0，别， 则cos日e[盟，1)， f(u)=g(θ)=V3.(2sin日.cos0-sina) g'(0)=V3(4cos20-cos0-2)>0 于是g()在(0，习单调递增，令日=0和6=代入即得。 方法四：S(m)= 6vm2+1 V3 3m2+4 V3m直接关于m求导 3m[V33m2+4)(m2+万-2(3m2+2) S'(m)= (3m2+4)2Vm2+1 进一步判断可得函数S(m)为偶函数，且在[0，+∞)单调递减，于是同理可得值域. 综上，所求面积和的范围为(0,2 …17分 19.某景点周边文创店推出了一款单价10元的”幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如 下（未中奖则无奖金)： ①一等奖：奖金40元，中奖概率5%： ② 二等奖：奖金20元，中奖概率10%： ③三等奖：奖金10元，中奖概率30%： (1)小明初始有20元零花钱. ()若他购买1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望； ()小明想要购买一款定价40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最 终能够凑齐钱款的概率. (2)若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的n元 就立刻停止购买。设他最终能够成功挣到钱的概率为p,求证：p< 5 解：(1)(1)小明初始有20元，购买1张刮刮卡花费10元，因此抽奖前己支出10元，剩余10元，假设 抽奖后剩余金额为X: 中一等奖(40元)：剩余金额X=20-10+40=50元，P(X=50)=0.05; 中二等奖(20元)：剩余金额X=20-10+20=30元，P(X=30)=0.1: 中三等奖(10元)：剩余金额X=20-10+10=20元，P(X=20)=0.3: 未中奖：剩余金额X=20-10=10元，P(X=10)=0.55. E(X)=50×0.05+30×0.1+20×0.3+10×0.55=2.5+3+6+5.5=17元 所以购买后剩余金额的数学期望为17元。…4分 (ii)设P(n)为当前持有n元时，最终能凑到40元的概率： 当n≥40时，己经凑够钱款，P(n)=1: 当n<10时，无法再购买刮刮卡，且金额不足40元，P(n)=0. 当持有10≤n≤30元时，购买1张刮刮卡花费10元，剩余n-10元，根据中奖结果分类讨论： 中一等奖（概率0.05）：总金额变为(n-10)+40=n+30≥40，成功： 中二等奖（概率0.1）：总金额变为(n-10)+20=n+10; 中三等奖（概率0.3）：总金额变为(n-10)+10=n: 未中奖（概率0.55）：总金额变为(n-10)+0=n-10. 于是P(n)=0.05+0.1P(m+10)+0.3P(m)+0.55P(m-10), 即14P(n)=1+2P(n+10)+11P(n-10),由题意，只需考虑n=10,20,30的情况： ①当n=30时，P(40)=1,代入公式： 14P(30)=1+2P(40)+11P(20)=1+2×1+11P20=3+11P(20),所以 P(30)=3+11P(20) 14 ②当n=20时，代入公式得到14P(20)=1+2P(30)+11P(10) ③当n=10时，P(0)=0,代入公式： 14P(10)=1+2P(20)+11P(0)=1+2P(20) 所以P(10)=1+2P(20) 14 将①和③的表达式代入②的表达式得到： 14P(20)=1+2.3+11P(20) +11.1+2P(20) 14 14 于是196P(20)=14+2×(3+11P(20)+11×(1+2P(20)即152P(20)=31 所以P(20)=器 即小明最终能够成功凑到40元的概率为31 ………10分 152 (2)设P(k)表示当前持有k元时最终能够成功挣到钱（即总金额超过初始n元）的概率： 当k>n时，己经挣到钱，P(k)=1: 当k<10时，无法再购买刮刮卡，且金额不超过n,P(k)=0: 对于10≤k≤n的情况，由(1)(ii),同理可得： 14P(k)=P(k+30)+2P(k+10)+11P(k-10)(*) 若n≥40，先考虑n为10的倍数的情形， 对(*)式从k取10到n累加，注意到k>n时，P(k)=1,于是得到： 14[P(10)+P(20)+…+P(n)] =[P(40)+…+P(n)+3]+2[P(20)+…+P)+1]+11[0+P(10)+…+P(n-10】] 化简得：3P(10)+P(20)+P(30)+11P(n)=5 因此5=3P(10)+P(20)+P(30)+11P(n)>11P(n), 所以P()<是 若n=10,同理可得P()=<品 若n=20,同理有3P(10)+12P20)=4,所以P(m)<音<是 若m=30,则3P(10)+P(20)+12P(30)=5,所以P6m<最<品 所以对任意n为10的倍数的情形，都有P()<品 若n不是10的倍数，假设不超过n的最大的10的倍数为ng,Pm)=Pn。)<是 综上，对任意心10，最终成功挣到钱的概率P(m)<吾证毕.…l7分 说明：第(2)小题中，通过建立方程组，直接求出m=20时，P)=号<会n=30时，P()=<品 当然也可以 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 数 学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟： 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效： 4．考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，全集，则（ ） A． B． C． D． 2．复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（ ） A．1 B． C．16 D． 5．已知函数，则（ ） A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的最小正零点为 6．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和6，球与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，设双曲线的离心率为，则（ ） A． B． C． D． 8．若曲线上存在至少两点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某城市连续6天的最低温度（单位：°C）为0、2、5、5、6、6，则这组数据的（ ） A．极差为6 B．40%分位数为3.5 C．平均数为4 D．方差为5 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为 B．不等式的解集为 C．函数的图象为轴对称图形 D．函数的图象为中心对称图形 11．已知数列的通项公式为，是其前项的和．，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式的展开式中的常数项为 ． 13．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 ． 14．设矩形的周长为24．把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式： （2）若数列满足，求数列的前项和． 16．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，，是的中点． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 17．已知函数． （1）设是的导函数，求的单调区间； （2）设是的极小值点，求证：； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 18．已知椭圆过点，离心率为，是坐标原点． （1）求的方程； （2）过的右焦点作直线与椭圆交于两点，以为邻边作平行四边形． （i）求点的轨迹方程并说明其形状； （ii）过的任意一条直线与椭圆交于两点，与的轨迹交于两点，其中在轴上方，求和面积之和的范围． 19．某景点周边文创店推出了一款单价10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下（未中奖则无奖金）： ①一等奖：奖金40元，中奖概率5%； ②二等奖：奖金20元，中奖概率10%； ③三等奖：奖金10元，中奖概率30%． （1）小明初始有20元零花钱． （i）若他购买1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望； （ii）小明想要购买一款定价40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率． （2）若小明初始有元（为正整数且），他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的元就立刻停止购买．设他最终能够成功挣到钱的概率为，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $