第八章 空间几何体的“内切”、“外接”球问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义以空间几何体“内切”“外接”球问题为核心，通过题型分类构建知识体系，结合方法提炼、表格归纳和图示辅助，系统梳理正方体、圆柱、圆锥等五大类几何体的切接公式与转化策略，明晰重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型-方法-例题”一体化设计，如以“墙角模型三棱锥外接球”为例，引导学生用补形法转化为长方体问题，培养空间观念与推理能力。基础题巩固公式应用，综合题提升模型构建能力，助力学生分层突破，为教师精准教学提供系统支持。

第八章 空间几何体的“内切”、“外接”球问题 目录 题型1：正方体、长方体的切接问题 2 题型2：圆柱、直棱柱的切接问题 3 题型3：圆锥、正棱锥的切接问题 6 题型4：圆台、棱台的切接问题 7 题型5：二面角模型的切接问题 9 题型1：正方体、长方体的切接问题 方法提炼 (1) 正方体的外接球半径；内切球半径；棱切球半径(为正方体棱长). (2) 正四面体可以补形成正方体，则正四面体的外接球的半径，内切球的半径，其半径之比(为该正四面体的棱长). (3) 长方体的共顶点的三条棱长分别为，则外接球的半径. (4) 常见的可以补形成长方体的三棱锥： ①三条侧棱互相垂直的三棱锥（墙角模型） ②四个面均是直角三角形的三棱锥 ③对棱相等的三棱锥 ④有三个面为直角三角形的三棱锥 【例1.1.】 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【例1.2.】 设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______. 【例1.4.】 棱长均为2的四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【例1.6.】 设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例1.7.】 三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例1.9.】 古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 【例1.10.】 已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 题型2：圆柱、直棱柱的切接问题 方法提炼 (1) 圆柱的外接球半径(为底面半径，为圆柱的高).圆柱存在内切球的充要条件是，此时，内切球的半径. (2) 求直棱柱的外接球可以补成圆柱，如图，则(为直棱柱的高,为角对应的边). 【例2.1.】 古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【例2.2.】 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【例2.3.】 已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【例2.5.】 已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ）    A． B． C． D． 题型3：圆锥、正棱锥的切接问题 方法提炼 (1) 圆锥的外接球 ，解出． (2) 圆锥的内切球 在圆锥中，内切球半径等于其最大轴截面三角形的内切圆半径.设底面圆半径为，圆锥的高为，则利用等面积法可得内切球半径或（为圆锥轴截面三角形的面积和周长）. (1) 正棱锥可补形成圆锥 正棱锥的顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上. 正三棱锥外接球的半径 (为正三棱锥的高，为底面外接圆的半径). 【例3.1.】 （多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【例3.2.】 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【例3.4.】 正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【例3.5.】 已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为______. 【例3.6.】 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，在该圆锥内有三个半径相等的球，当球最大时，其中一个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型4：圆台、棱台的切接问题 方法提炼 (1) 圆台的外接球 设圆台上、下底面的半径分别为，圆台的高为，球心到上底面的距离为，圆台的外接球半径为. 则 (2) 圆台的内切球 (3) 棱台的切接球问题，可按照圆台处理. 【例4.1.】 已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【例4.5.】 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 题型5：二面角模型的切接问题 方法提炼 (1) 直棱锥外接球 为的外心，小圆的半径，， (2) 已知二面角的三棱锥的外接球（双外心法） 解题思路： 和的外接圆圆心，分别记为和． 分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． 取的中点为，连接，则． 在四边形中，， 所以四点共圆，且为直径. 在中使用正弦定理，得， 在中使用余弦定理，有， 所以. 在中，，且（为三棱锥的外接球半径），.所以. (3) 任意三棱锥的内切球问题 先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，因为内切球球心到多面体各面的距离均相等，所以运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中为几何体内切球的半径，为几何体的体积，为几何体的表面积． 【例5.1】 在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【例5.2】 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【例5.3】 如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【例5.4】 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 空间几何体的“内切”、“外接”球问题 目录 题型1：正方体、长方体的切接问题 2 题型2：圆柱、直棱柱的切接问题 9 题型3：圆锥、正棱锥的切接问题 14 题型4：圆台、棱台的切接问题 20 题型5：二面角模型的切接问题 28 题型1：正方体、长方体的切接问题 方法提炼 (1) 正方体的外接球半径；内切球半径；棱切球半径(为正方体棱长). (2) 正四面体可以补形成正方体，则正四面体的外接球的半径，内切球的半径，其半径之比(为该正四面体的棱长). (3) 长方体的共顶点的三条棱长分别为，则外接球的半径. (4) 常见的可以补形成长方体的三棱锥： ①三条侧棱互相垂直的三棱锥（墙角模型） ②四个面均是直角三角形的三棱锥 ③对棱相等的三棱锥 ④有三个面为直角三角形的三棱锥 【例1.1.】 已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为， 故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为， 则该正方体外接球的表面积. 【例1.2.】 设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】正棱柱及其有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据题意，求得长方体的对角线长为，结合长方体的性质，求得，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由长方体的长、宽、高分别为2，1，1，可得长方体的对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以该球的体积为. 【例1.3.】 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的表面积为______；外接球体积为______. 【答案】 ； . 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】应用棱柱的表面积公式求正四棱柱的表面积，正四棱柱的结构特征确定外接球的半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正四棱柱的表面积为， 由外接球的直径为正四棱柱的体对角线，则， 所以外接球体积为. 故答案为：， 【例1.4.】 棱长均为2的四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】正棱锥及其有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【详解】方法一：因为四面体所有棱长都是，所以四面体可以看成由一个边长为的正方体截得的， 因此四面体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径， 故四面体的外接球体积为. 方法二：作在底面上的投影，连接，则外接球球心位于上， 连接， 设外接球半径为，则，已知，则 ， ， 在中，，即， 解得， ． 【例1.5.】 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径， 则该球的表面积为. 【例1.6.】 设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【详解】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 【例1.7.】 三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 【例1.8.】 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 【例1.9.】 古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据补形的方法求得外接球的体积. 【详解】由于平面，，平面，所以，， 由于四边形是矩形，所以，所以，，两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以外接球的半径， 所以外接球的体积为. 【例1.10.】 已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【难度】0.43 【知识点】多面体与球体内切外接问题、基本不等式求和的最小值、球的表面积的有关计算 【分析】根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 题型2：圆柱、直棱柱的切接问题 方法提炼 (1) 圆柱的外接球半径(为底面半径，为圆柱的高).圆柱存在内切球的充要条件是，此时，内切球的半径. (2) 求直棱柱的外接球可以补成圆柱，如图，则(为直棱柱的高,为角对应的边). 【例2.1.】 古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用球的体积公式和圆柱的表面积公式求解. 【详解】解：可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，圆柱的高等于， 球的体积为，， ， 圆柱的表面积公式为. 故选：D. 【例2.2.】 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【难度】0.62 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 【例2.3.】 已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 【例2.4.】 一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】棱柱表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、棱柱的结构特征和分类、球的体积的有关计算 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 【例2.5.】 已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱外接球半径，然后根据直三棱柱的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解. 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 【例2.6.】 如图，在一个表面积为的正三棱柱中，，其若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、棱柱表面积的有关计算 【分析】根据条件求出正三棱柱的棱长，进而求出正三棱柱的内切球，再由题设可知所求为内切球的内接正方体的边长，即可求解. 【详解】因为是正三棱柱，且，令， 则三棱柱的表面积为， 由题有，解得， 设内切圆半径为，由，得到， 又，则正三棱柱的内切球与下底面和侧面相切，且内切球半径为， 因为存在一个可以在正三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 则要使正方体棱长取到最大值，正方体的体对角线长为正三棱柱内切球的直径， 即，得到，解得， 故选：A. 题型3：圆锥、正棱锥的切接问题 方法提炼 (1) 圆锥的外接球 ，解出． (2) 圆锥的内切球 在圆锥中，内切球半径等于其最大轴截面三角形的内切圆半径.设底面圆半径为，圆锥的高为，则利用等面积法可得内切球半径或（为圆锥轴截面三角形的面积和周长）. (1) 正棱锥可补形成圆锥 正棱锥的顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上. 正三棱锥外接球的半径 (为正三棱锥的高，为底面外接圆的半径). 【例3.1.】 （多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 所以圆锥的高. 对于A：圆锥侧面积，A正确. 对于B：圆锥体积，B错误. 对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，C正确. 对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得. 所以内切球的体积为，D正确. 【例3.2.】 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球表面积为，则圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】已知圆锥底面半径，内切球表面积为，设内切球半径为，则 ，解得， 设圆锥的母线长为，高为， 则， ，即，解得或（舍去）， ， 设圆锥表面积为， 则． 【例3.3.】 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【难度】0.64 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥中截面的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 【例3.4.】 正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】根据题意画出图形，由体积可算得正四棱锥的高，再由勾股定理可求得外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 【例3.5.】 已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为______. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】由内切球的体积可求内切球的半径，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点，根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解. 【详解】设内切球的半径为，因为内切球的体积为，所以，解得， 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点， 设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以， 又，所以，即，解得， 所以，所以正四棱锥的体积为. 【例3.6.】 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，在该圆锥内有三个半径相等的球，当球最大时，其中一个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.22 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据题意可得当三个球两两相切且与圆锥相切时，球的半径最大，设最大时的球的半径为R，在圆锥的轴截面中，三个球的球心构成一个边长为2R的等边三角形，利用高为建立等式求出，得解. 【详解】易知圆锥的轴截面为等边三角形，边长为4，高为， 当三个球两两相切且都与圆锥侧面相切，下方两个球与圆锥底面相切，上方一个球在中间时，此时球的半径最大，设最大时的球的半径为R， 在圆锥的轴截面中，三个球的球心构成一个边长为2R的等边三角形， 如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，分别是内切球的球心， 连接，与交于点，过点作，垂足为， 可得，，， 所以，解得， 所以其中一个球的表面积.    题型4：圆台、棱台的切接问题 方法提炼 (1) 圆台的外接球 设圆台上、下底面的半径分别为，圆台的高为，球心到上底面的距离为，圆台的外接球半径为. 则 (2) 圆台的内切球 (3) 棱台的切接球问题，可按照圆台处理. 【例4.1.】 已知圆台的上、下底面圆半径分别为2，，高为3，若该圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征，结合球的截面圆性质列式求出球半径，再求出球的表面积. 【详解】设球的半径为，球心到上底面圆距离为，而球心在圆台两底面圆圆心确定的直线上， 则球心到下底面圆距离为，因此，解得， 所以球O的表面积为. 【例4.2.】 如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据题中条件，先求出各个边长，由题意，旋转后的几何体为圆台，取其轴截面，设外接球球心为O，分别讨论O在线段AD上和在DA延长线上两种情况，根据勾股定理，列出方程组，化简计算，求出，代入面积公式，即可得答案. 【详解】过C作，交AB于E， 则， 因为，且四边形ADCE为矩形， 所以，即. 由题意得，梯形绕所在直线旋转一周得到的几何体为圆台，取圆台的轴截面， 如图所示，设外接球球心为O，半径为R，， 当O在线段AD上时，则， 由勾股定理得，即， 整理得，即，不成立，故O不在线段AD上； 当球心O在DA的延长线上时，则，如图： 所以，即， 解得，所以， 所以该圆台外接球的表面积为. 故选：D 【例4.3.】 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 【例4.4.】 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案. 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 【例4.5.】 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】正棱台及其有关计算、球的体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 【例4.6.】 若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， ，，， 所以，， 由，设， 可得， 解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 【例4.7.】 已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先通过构造直角三角形等方法来求出球的半径，再根据球的表面积公式求解. 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 即，即， 平方可得：，解得； 所以球的表面积为. 故选：A.    【例4.8.】 在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 题型5：二面角模型的切接问题 方法提炼 (1) 直棱锥外接球 为的外心，小圆的半径，， (2) 已知二面角的三棱锥的外接球（双外心法） 解题思路： 和的外接圆圆心，分别记为和． 分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． 取的中点为，连接，则． 在四边形中，， 所以四点共圆，且为直径. 在中使用正弦定理，得， 在中使用余弦定理，有， 所以. 在中，，且（为三棱锥的外接球半径），.所以. (3) 任意三棱锥的内切球问题 先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图所示，因为内切球球心到多面体各面的距离均相等，所以运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是就有，其中为几何体内切球的半径，为几何体的体积，为几何体的表面积． 【例5.1】 在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A．84π B．88π C．92π D．96π 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 【例5.2】 如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为二面角为直二面角， 平面平面，平面， 所以平面， 因为，，所以，， ，所以，， 因为，所以外接球的球心在上，设为，连接， 则， 可得，其中， 解得，即外接球的半径为， 所以该球的体积为. 【例5.3】 如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 【例5.4】 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【难度】0.46 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算 【分析】当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可. 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 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