第8章 培优课 与球相关的“切”“接”问题 能力提升(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦几何体的切接问题这一核心知识点，系统梳理外接球（含柱体、锥体、台体及可补成规则几何体）和内切球的图形特征与求解方法，通过定义阐释、例题解析、规律总结及训练题巩固，构建从概念理解到转化计算的完整学习支架。 该资料以直观想象和数学思维为核心素养导向，通过轴截面分析、补形法等策略将空间问题转化为平面问题，如圆柱外接球利用轴截面对角线求直径，三棱锥补形为长方体求外接球。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过例题与训练巩固方法，查漏补缺，提升复杂几何问题的解决能力。

1.理解与球有关的几何体的切、接时的图形特征（直观想象）. 2.会利用切、接关系进行相关的转化与计算（数学运算）. 　　 一、几何体的外接球 几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球.求解外接球的关键就是确定球心. 角度1　柱体的外接球 【例1】　（1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（　　） A. B. C. D. （2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为　　　　. 【规律方法】 柱体外接球问题的求解策略 （1）正方体、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半； （2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； （3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴截面求半径. 训练1　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　. 角度2　锥体的外接球 【例2】　（1）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一球面上，则此球的体积为（　　） A.π B.π C. D.π （2）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A.3π B.4π C.9π D.12π 【规律方法】 锥体外接球问题的求解策略 （1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解； （2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面求半径； （3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半径的方法求解. 训练2　已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为，则圆锥PO1的侧面积为　　　　. 角度3　台体的外接球 【例3】　已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π B.128π C.144π D.192π 【规律方法】 台体外接球问题的求解策略 （1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径和高，R为外接球的半径： （2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的方法求解. 训练3　已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，其外接球球心O满足＝3，则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积之比为　　　　. 角度4　可补成规则几何体的外接球 【例4】　已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积为　　　　. 【规律方法】 1.若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示. 2.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示. 3.正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图3所示. 4.若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示. 训练4　数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD-EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝，则十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是　　　　. 二、几何体的内切球 内切球是指与几何体的各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的关键是作出合适的截面圆. 【例5】　（1）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积为（　　） A.3 B.4 C.6 D.6 （2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（　　） A. B. C. D.π 【规律方法】 常见几何体内切球的求解策略 （1）多面体内切球的球心与半径的确定： ①内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等； ②正多面体的内切球和外接球的球心重合； ③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合. （2）常见几何体内切球半径与其他几何量的关系： ①正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设正方体的边长为a，其内切球半径为R＝； ②正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一（a为该正四面体的棱长）； ③圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝. 训练5　（1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（　　） A. B. C. D.9π （2）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（　　） A.1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 1.已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为（　　） A.2 B. C. D. 2.底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（　　） A.6π B.12π C.8π D.16π 3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为　　　　. 4.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 1.理清单 （1）柱体的外接球； （2）锥体的外接球； （3）台体的外接球； （4）可补成规则几何体的外接球； （5）几何体的内切球. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 圆锥、圆台外接球球心的位置易判断错误. 提示：完成课后作业　第八章　培优课 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　与球相关的“切”“接”问题 【例1】　（1）B　（2）π∶2 解析：（1）法一　如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝＝，∴外接球体积V＝π（）3＝.故选B. 法二　由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，∴2R＝＝2，R＝，∴外接球体积V＝π（）3＝. （2）作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，所以R＝a.从而V半球＝πR3＝π·＝πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2. 训练1　　解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有解得由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，∴外接球的直径2R＝＝2，∴R＝1，∴球的体积V球＝. 【例2】　（1）C　（2）B 解析：（1）法一　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径，在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2，∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形，∴＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径，故V球＝. 法二　设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S-ABCD的外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆的半径r＝1，又AS＝，AO1＝r＝1，∴SO1＝＝＝1，∴R2＝（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝. （2）如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则由＝可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，所以＝，所以CD＝＝，因此这两个圆锥的体积之和为π×CD2·（AD＋BD）＝π×3×4＝4π. 训练2　3π　解析：设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2r.由球O的表面积为4πR2＝，得R2＝.在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2r－R）2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3r2π＝3π. 【例3】　A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 训练3　　解析：设圆台O1O2的高为4h，外接球的半径为R，作出轴截面（一半）如图，因为O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，则圆O1，O2的半径分别为2，6，又＝3，所以O1O＝3h，OO2＝h，所以R2＝4＋9h2＝36＋h2，解得h＝2，R＝2（负值已舍去），故所求体积之比为＝. 【例4】　16π　解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长方体的外接球，所以球O的半径R＝＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝16π. 训练4　（11＋2）π　解析：由题中数据可知A1E2＝1＋（－1）2＝4－2，则AA1＝＝＋1，因为十面体ABCD-EFGH是由长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面绕着其中心旋转45°得到，所以长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球就是十面体ABCD-EFGH的外接球.设十面体ABCD-EFGH外接球的半径为R，（2R）2＝22＋22＋（＋1）2，则R2＝，故十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是4πR2＝（11＋2）π. 【例5】　（1）D　（2）B　解析：（1）设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×（2）2×2＝6. （2）易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为. 训练5　（1）C　（2）D　解析：（1）设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝××3×4×4＝×（×3×4＋×4×3＋×5×4＋×4×5）×r，解得r＝，所以球O的体积V＝πr3＝.故选C. （2）三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆☉O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B，则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由（R－）2＝22＋（）2可得R＝＋. 随堂检测 1.A　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝π，∴R3＝2，∴R＝，∴a＝2. 2.D　由圆锥的底面半径为，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为.设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（）2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π. 3.3∶2　解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝90°，所以CB＝PC＝r，PB＝2r，所以圆锥的侧面积S1＝π×r×2r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2. 4.解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高， 则在Rt△AOF中，（4－r）2＋（）2＝r2，解得r＝，所以该球的表面积为4πr2＝4π×（）2＝π. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $