6.2.4向量的数量积（第3课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算律，通过复习数量积的定义、几何意义、性质及投影向量，类比实数乘法运算律引入新知，搭建前后知识的学习支架，引导学生自然过渡到运算律的探究。 其亮点在于结合投影向量定义推导分配律并进行几何解释，培养学生数学眼光与推理能力，拓展探究极化恒等式等内容，例题覆盖模、夹角、垂直问题，小结明确运算律差异，助力学生简化计算，教师可高效开展教学。

6.2 平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第3课时 数量积的运算律 复习引入 1. 向量数量积的定义是什么？数量积的几何意义是什么？ 2. 向量的数量积有哪些重要的性质？   3. 向量a在向量b上的投影向量如何表示？ 4.利用数量积的定义和几何意义是求数量积的重要方法，但有时不是很方便.我们类比实数乘法的运算律，结合向量的线性运算的运算律来研究数量积的运算律，从而为简化数量积运算提供理论支持. 1. 向量数量积的定义是什么？数量积的几何意义是什么？ 定义 设两个非零向量的，把数量││ │cos叫向量的数量积（或内积），记作， 即= ││ │cos： =0. 设非零向量的夹角为，作=， = , 则BM⊥OA，垂足为M. 若为锐角，则 =OA×OM； 若为钝角，则 =-OA×OM. A B o M A B M o 几何意义 4 2. 向量的数量积有哪些重要的性质？ 设是非零向量，其夹角为，是与方向相同的单位向量，则 (3) 当同向时，= ││ │； 当反向时，= -││ │； 特别地= . (1) ==││cos ; (2) ; (4) ││≤│││，当且仅当共线时取等号. 3.   向量a在向量b上的投影向量如何表示？ 设非零向量的夹角，是与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量是││cos （ . 投影向量的表示 N M o N M o 4.利用数量积的定义和几何意义是求数量积的重要方法，但有时不是很方便.我们类比实数乘法的运算律，结合向量的线性运算的运算律来研究数量积的运算律，从而为简化数量积运算提供理论支持. 具体情况请大家阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1. 向量的数量积满足哪些运算律？ 2. 如何结合投影向量的定义推导分配律？如何从平面几何的角度理解分配律？ 3. 由例11可得什么结论？ 1. 向量的数量积满足哪些运算律？ 对于向量，和实数λ，有 （1） · = · ； （2）(λ)· = λ(· ) = ·(λ)； （3）(+ )· = · + · . 数量积的运算律 9 2. 如何结合投影向量的定义推导分配律？如何从平面几何的角度理解分配律？ 分配律的几何解释：如图，△OA₁A ≌ △BED， E (+ )· = OD₁ ×OC = (OB₁+B₁ D₁ )×OC = (OB₁+BE)×OC = (OB₁+OA₁)×OC = OA₁×OC +OB₁×OC = · + · . 10 3. 由例11可得什么结论？ = ²±2· +²; =(+)·(− ). 11 拓展探究 1. 对于非零向量，，，(·) 与 (·)相等吗？ 2. 在△ABC中，如何用三条边长表示· ？ 3. ·=1/4[(+)²−( −)²]称为“极化恒等式”，其几何意义是什么？（教材P₂₂练习3） 12 1. 对于非零向量，，，(·) 与 (·)相等吗？ (·)与共线，(·)与共线， (·)≠(·). 13 2. 在△ABC中，如何用三条边长表示· ？ − = ， (− )²= ²， 即²+ ²−2 · = ²， · =1/2(²+²− ²). A B C 14 3. ·=1/4[( +)²−( −)²]称为“极化恒等式”，其几何意义是什么？（教材P₂₂练习3） 作OA=，OB=，C为AB的中点，则· =²− ². A B C O 15 例1 设向量，的夹角的余弦值为，且||=1，|b|=3，则(2+)·=______. 巩固应用 【解】根据题意，得(2+)·=2·+²=2×1×3×+9=11. 11 例2 已知向量，满足|−|= ，|+|=|2−|，则| |=______. 【解】由|+|=|2a−|，得²+2·+ ²=4²−4·+²，即²=2·，则由|−|= ，得²−2·+²=²=3，所以||= . 例3 已知向量，，满足||=||=1，||=，++=0，则cos〈−，−〉=（ ）. A. −4/5 B. −2/5 C. 2/5 D. 4/5 【解】∵++=0，∴+=−，∴²+²+2·=²， ∵||=||=1，||=√2，∴1+1+2·=2，解得·=0， +=−，∴²+²+2·=²，得·=−1，同理·=−1， ∴(−)·(−)= ·−·−·+²=4， 又|−|²=²+²−2·=1+2+2=5，∴|−|=√5，同理|−|=√5， ∴cos〈−，−〉=(−)·(−)/|−|·|−|=4/(√5×√5)=4/5，故选D. D 例4 已知单位向量a，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）. A. +2 B. 2+ C. −2 D. 2− 【解】由题意得·=||||cos60°=1/2，²=||²=1. 对于A，(+2)·=·+2²=1/2+2=5/2≠0，故错误； 对于B，(2+)·=2·+²=1+1=2≠0，故错误； 对于C，(−2)·=·−2²=1/2−2=−3/2≠0，故错误； 对于D，(2−)·=2·−²=1−1=0，所以(2−)⊥， 故正确.故选D. D 19 小结 1.向量数量积的运算律的引入，使得求数量积的方法不再局限于定义，达到了简化计算的效果. 2.区分实数的乘法运算律与数量积的运算律，二者均满足交换律和分配律，但前者满足结合律，后者不满足分配律. 3.将数量积的运算律与向量的运算相结合，灵活运用数量积解决向量的模、夹角、垂直等重要问题. 20 作业 《课时作业》 6.2.4 向量的数量积 第3课时 数量积的运算律 $