6.2.4向量的数量积（第2课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的投影向量与数量积性质，课堂导入通过复习向量夹角、数量积定义及符号条件等旧知，以问题链搭建学习支架，自然衔接投影向量概念，帮助学生形成知识脉络。 其亮点在于通过拓展探究（如投影向量多种表示、数量积为零的条件）和情境化例题（如正六边形中数量积范围），培养数学思维与应用意识。小结系统归纳核心方法，助力学生用数学语言表达，提升学习效率，方便教师教学。

6.2 平面向量的运算 第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第2课时 投影向量与数量积性质 复习引入 1.  向量的夹角的含义及取值范围是什么？   2. 向量数量积的定义是什么？   3. 设非零向量的夹角，则为正数、零、负数的充要条件分别是什么？ 4. 过点A作直线l的垂线，垂足为，称点为点A在直线l上的投影. 把向量的起点和终点都投影到直线l上，就得到一个新向量，该向量称为投影向量. 那么如何定义一个向量在另一个向量上的投影向量？如何表示投影向量？数量积有哪些重要性质？ 1. 向量的夹角的含义及取值范围是什么？ 对于两个非零向量，作=， = , 则∠AOB=为向量的夹角，记作 . 含义 范围 2.  向量数量积的定义是什么？ 设两个非零向量的，把数量││ │cos叫向量的数量积（或内积），记作， 定义 即= ││ │cos： =0. 3.  设非零向量的夹角，则为正数、零、负数的充要条件分别是什么？ (1) ＞0 0°≤＜90°； (2) =0 90°； (3) ＜0 90° ＜≤ 180°. 4.过点A作直线l的垂线，垂足为，称点为点A在直线l上的投影. 把向量的起点和终点都投影到直线l上，就得到一个新向量，该向量称为投影向量. 那么如何定义一个向量在另一个向量上的投影向量？如何表示投影向量？数量积有哪些重要性质？ 具体情况请大家阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1. 投影向量是什么概念？如何表示？ 2. 向量数量积有哪些重要性质？ 1.  投影向量是什么概念？如何表示？ 设是两个非零向量，，过点A，B作所在直线的垂线，垂足分别为，，则叫做向量在向量上的投影向量. 设非零向量的夹角，是与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量是││cos 概念 表示 A B C N M o N M o D 8 2.向量数量积有哪些重要性质？ 设是非零向量，其夹角为，是与方向相同的单位向量，则 (3) 当同向时，= ││ │； 当反向时，= -││ │； 特别地= . (1) ==││cos ; (2) ; (4) ││≤│││，当且仅当共线时取等号. 9 拓展探究 1.投影向量还有哪些表示方式？ 2.对于向量，在哪些条件下有=0？ 3.设为非零向量，=可作哪些等价转换？ 10 1.投影向量还有哪些表示方式？ 设是与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量是（. 同理，向量在向上的投影向量是. 11 2.对于向量，在哪些条件下有=0？ (1) ； (2) ； (3) . 12 3.设为非零向量，=可作哪些等价转换？ =   = 13 例1 (1)设向量是与方向相同的单位向量，已知=-12，且│=4，则向量在向量上的投影向量是（ ）. A. 3 B.3 C.-4 D.4 巩固应用 【解析】向量在向量上的投影向量是（ =-3 A (2) 已知││=1，│=2，向量的夹角为30°，则向量在向上的投影向量是（ ）. A.2 B.2 C.D. 【解析】 则向量在向量上的投影向量是=. C (3) 已知若点A，B，C不共线，点P满足 ，则P是△ABC的（ ）. A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【解析】因为 . C 则PB⊥CA，同理，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心. 例2 已知向量的夹角为60°，且=1，则 +的最小值为 . 【解析】由已知，==1，则=2， 所以+=≥2=4，当且仅当时取等号，则+的最小值是4. 4 17 例3 已知P是边长为4的正六边形ABCDEF内一点（不在边界上），O为其中心点，则的取值范围是 . 【解析】 正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，故=4，= cos，其中，为的夹角. 当点P与D重合时，=0， cos=1，=4，此时 = cos=4×4×1=16； 当点P与A重合时，=Π， cos=-1， =4， 点P不在边界上，无法取端点值，∈(-16, 16). (-16,16) A B C D E F O P 此时= cos= 4×4×（-1)=-16. 小结 1. 向量在向量上的投影向量有三种表示方式：①（││cos，②（，③，虽然外在形式不同，但其本质是一致的. 2. 向量关系=源于数量积定义，实现了向量的平方与模的平方的相互转化，在向量的字符运算中被广泛应用. 3. 若a，b为实数，则|a•b|=|a||b|；若，为向量，则││≤│││.当│││为定值时，的最大值为│││，最小值为-│││. 19 作业 《课时作业》 6.2.3 向量的数量积 第2课时 投影向量与数量积性质 $