精品解析：江苏东台市第一中学2025-2026学年高一下学期阶段学情调研数学试题

2025-2026学年度第二学期阶段学情调研 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列命题正确的个数为（ ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足 ，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. -2 C. 或-2 D. 或-2 5. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 7. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若i为虚数单位，为正整数，则 B. 若、互为共轭复数，则为实数 C. 若是纯虚数，则 D. 复数满足，则的最大值为 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 若的平分线交于，，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上） 12. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________. 13. 已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数__________. 14. 中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15. 已知，，与的夹角为. （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值. 16. 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 18. 如图，在长方体中，，，点为棱上一点. （1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 19. 如图，已知中，，，，，为线段上两点，且. （1）若，求的值； （2）设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段学情调研 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 1. 已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数， 由题意可得，解得. 2. 下列命题正确的个数为（ ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】对于（1）考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于（2）根据直线与平面平行性质即可判断；对于（3）直线平行不能通过平面传递；（4）综合直线与平面平行性质与判定. 【详解】（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误， 理由如下：还有可能在经过的平面内； （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误， 理由如下：直线与平面内的直线平行或异面； （3）如果直线，和平面满足，，那么，错误， 理由如下：直线，还可能相交或异面； （4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下： 若，则存在使得，又，所以 . 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出角，然后再求解的值. 【详解】由，，，可得 ，所以，. 4. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. -2 C. 或-2 D. 或-2 【答案】D 【解析】 【分析】使用投影向量的概念求出在上的投影向量，再求出的值. 【详解】由于在上的投影向量为, 又，所以，，解得或-2. 5. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 6. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得，所以. 7. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决. 【详解】运用和差化积公式进行化简，得 . 8. 在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦定理，应用三角形面积公式化简得，求出角，再使用正弦定理边化角得，根据正切函数性质及不等式性质求出的取值范围，进而利用对勾函数单调性求解即可. 【详解】， 又，所以， 即，即， 由于，所以， 由正弦定理可知，， ， 由于， 所以 ， 设，则，， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，的取值范围为. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题卡的指定位置填涂答案选项.） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因， 则 ，即，C正确； 对于D， ，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若i为虚数单位，为正整数，则 B. 若、互为共轭复数，则为实数 C. 若是纯虚数，则 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于BC：举反例说明即可；对于D：分析可知点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：例如，则， 可得不为实数，故B错误； 对于选项C：例如为纯虚数，则，故C错误； 对于选项D：设复数，在复平面内对应的点分别为，， 若，即，可得点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径的圆， 则， 所以的最大值为，故D正确. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系 ；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角 的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断. 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上） 12. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的倍，求出平面图形的面积. 【详解】因为，，，则，， 可得直观图的面积为， 所以原多边形面积为 . 13. 已知圆锥的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点在上，且.若平面，则实数__________. 【答案】## 【解析】 【分析】延长交圆于点，设，求出三边边长，分析可知，利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】如图，延长交圆于点， 由题意可知，、均为等边三角形， 设，由正弦定理可得，则， 易知为的中点，则，， 则，， 因为平面，平面，所以，， 在中，由勾股定理得，即，解得. 故答案为：. 14. 中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，利用余弦定理解得，，进而可得和. 【详解】在中，因为，， 则的面积为， 即，则，可得， 在中，设， 由余弦定理可得，即， 整理可得 ，解得或（舍去）， 即，，且，， 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得， 且，所以. 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15. 已知，，与的夹角为. （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可； （2）根据向量垂直可得，结合数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 则，所以. 【小问2详解】 若向量与相互垂直， 则，即，解得. 16. 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程 求解； （2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数， 设 ，则，那么 代入 可得 ， 即， 则有，故. 【小问2详解】 设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么 且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为. 17. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合三角函数值的定义分析求解即可； （2）分析可知，根据两角和差公式运算求解，注意讨论的符号性. 【小问1详解】 因为角的终边过点，且， 则，， 所以. 【小问2详解】 因为， 又因为，则， 若，则； 若，则. 18. 如图，在长方体中，，，点为棱上一点. （1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）点为棱的中点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）点为的中点，连接中点与点，则为中位线，则，根据线面平行判定即可求解； （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解. 【小问1详解】 点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 【小问2详解】 由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 19. 如图，已知中，，，，，为线段上两点，且. （1）若，求的值； （2）设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，，结合数量积的定义运算求解； （2）由正弦定理可得，，根据面积公式结合三角恒等变换可得，进而分析最值； （3）由正弦定理可得，，代入运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，，， 若，则，，可得， 所以. 【小问2详解】 若，则，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 可得的面积 ， 因为，则， 当，即时，取到最大值. 【小问3详解】 设，由（2）可得：，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 若，则， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $