江苏南京市金陵中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试 一、选择题（共8小题） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 3. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 5. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的最小正周期为，若，为的一个零点，则正数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（ ） A. ，，，的极差等于，，，，的极差 B. ，，，的平均数等于，，，，的平均数 C. ，，，的中位数等于，，，，的中位数 D. ，，，的标准差大于，，，，的标准差 10. 已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 11. 已知，、分别为该三角形的外心、垂心，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则在上的投影向量的坐标为 B. “”是“为等腰三角形”的充分不必要条件 C. 若，，，则 D. 若，则 三、填空题（共3小题） 12. 已知是虚数单位，复数的模为________. 13. 如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为_________. 四、解答题（共5小题） 15. 设复数 （其中为虚数单位，），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 17. 设向量，（，）函数，. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调增，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求出的解析式. 条件①：； 条件②：在区间上单调减. （3）在（2）的条件下，若锐角满足，求的值. 18. 校园绿化是提升校园品质、改善空气质量、创造怡人学习生活环境的重要组成部分.某校决定对一块半径为，的半圆形空地进行绿化建设. （1）如图，甲单位提供的设计方案是：建设一块矩形绿化园，其中，位于半圆的直径上，，位于半圆上，记.求矩形面积关于的函数解析式，并求的最大值； （2）如图，乙单位提供的设计方案是：在半圆的圆弧上取两点，，使得，扇形区域和均进行绿化建设，同时，在扇形内，再将矩形区域进行绿化建设，其中，分别在直线，上，与平行，，在扇形的圆弧上，求该方案中绿化区域的总面积的最大值，并请在两个方案中进行选择，同时说明理由. 19. 设定义在数集上的函数，其中是正整数， . （1）若，，， ①求函数的最大值 ②解不等式； （2）复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数.当，，时，若存在实数，及实部不为零的虚数，使得为实数，且该实数不小于，求的模的取值范围. 金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试 一、选择题（共8小题） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（共3小题） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（共3小题） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共5小题） 【15题答案】 【答案】（1） （2）. 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）选条件②，； （3） 【18题答案】 【答案】（1）， （2）最大值，选择方案二，理由见解析 【19题答案】 【答案】（1）①；② （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $