专题01 整数的认识（专项训练） -2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 以整数核心概念为纲，通过真题分类构建“概念辨析-性质应用-综合拓展”三阶训练体系，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-3/填空11|质数合数互质判定、因数倍数关系推理|从数的分类（奇/偶、质/合）到基本性质（最大因数=最小倍数）| |性质应用|选择4-9/填空13-14|2/3/5倍数特征、最大公因数最小公倍数计算|数的整除特征→公因数公倍数→实际问题（拼正方形/分花束）| |综合拓展|解答21-30|差量法求除数、新定义数（依赖数/十三数）推理|概念融合（如“间同数”结合整除与数位）→创新题型建模|

专题01 整数的认识（专项练习） 2026年数学小升初真题分类汇编（人教版） 一、选择题 1．下列说法中不正确的选项是（    ）。 A．两个合数也有可能互质。 B．如果，则和的最大公因数是4。 C．一个数的最大因数等于它的最小倍数。 D．正方形的边长是质数，它的周长一定是合数。 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 3．在91、93、95、97、99这五个奇数中，质数共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 5．在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 6．如果a是一个不为0的自然数，那么a和的最小公倍数是它们最大公因数的（    ）倍。 A．a B． C． D．1 7．▲表示一个不为0的数字，■表示0。下面组成的数字中，一定是2、3、5的公倍数的是（    ）。 A．▲▲▲■ B．▲■▲■ C．▲■■▲ D．▲■▲▲ 8．某校有一个周长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最大公因数是1，这个花圃的面积是（    ）。 A． B． C． D． 9．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．李阿姨带了300元去超市购物，购买的商品有一袋95元的面粉，一桶56元的花生油，一台128元的电风扇，下面的第（    ）种情况时，估算比精确计算更有价值。 A．收银员将每种商品的价格输入收款机时 B．李阿姨考虑带的钱够不够时 C．李阿姨被告知要付多少钱时 D．收银员找给李阿姨零钱时 二、填空题 11．☆×（O＋△），在☆、O、△中各填一个质数，使算式成立，则☆＝______。 12．已知m、n、k为正整数，m≥n≥k，2m＋2n－2k是208的倍数，则m＋n－k的最小值为______。 13．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸( )张。 14．在1、2、3、…、N，这N个自然数中，共有a个质数，b个合数，m个奇数，n个偶数，则（m－a）＋（n－b）＝( )。 15．用0、1、2、3、4、5这6个数中选择4个组成没有重复数字的四位偶数，将这些偶数从小到大排列起来，第66个是______。 16．小明在期中考试时，语文得79分，常识得90分，数学考得最好。已知小明的三科平均分是个偶数，那么小明数学得______分。 17．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有______种。 18．黑板上写着1至2025共2025个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，在这个数所有可能的取值中，最大值为______。 19．我们约定，自然数中能被3整除的数称为“三合数”，不能被3整除的数称为“三素数”，从1到20的自然数中任取一个“三合数”与一个“三素数”相乘得到84个乘积，则这84个乘积的和为______。 20．如果大家都能养成随手关灯的好习惯，那么全国每年可节约用电1961000000千瓦时，省略亿后面的尾数约是( )千瓦时；减排二氧化碳一百八十三万三千吨，这个数写作( )吨，改成用“万”作单位是( )吨。 三、解答题 21．123除以一个正整数得到的余数为11，543也除以这个正整数得到的余数为15，那么这个正整数是多少？ 22．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数，两位数为合数，两位数为质数，那么其中的合数是多少？ 23．华兴镇在实施“生态美居”工程建设中，准备在A－B－C这条路上等距离安装路灯（A、B、C处都要安装）。这条路上最少需要安装多少盏路灯？ 24．“馨香”花店用18朵康乃馨和27朵勿忘我做花束，顾客要求每个花束里面的康乃馨朵数相等，勿忘我的朵数也相等，最多能做多少束？每个花束里有多少朵花？ 25．A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 26．数学辩论题。 观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，B与C互质，则A与C一定互质。你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论。 27．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：每人从下面3张卡片中任选2张，如果积是2的倍数，甲获胜；如果积是3的倍数，乙获胜；如果积既是2的倍数又是3的倍数就重来。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 28．从古至今，数学上有一种许多人为之疯狂的数，叫完美数，如6的因数有1、2、3、6，这几个因数有这样的关系：，像6这样的数，称作完美数。请你判断28是不是完美数，写出你的想法。 29．如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中，，所以2135是“依赖数”。 (1)最小的四位依赖数是___________。 (2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数。 30．一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题01 整数的认识 2026年数学小升初真题分类汇编》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C C A C B B 1．B 【分析】若两个数除了1这个公因数外没有其它公因数，则这两个数互质。最大公因数指两个或多个整数共有因数中最大的一个。一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，则一个数的最大因数等于它的最小倍数。质数是除了1和它本身外没有其它因数的数，合数是除了1和它本身外还有其它因数的数。正方形周长＝边长×4。据此解答。 【详解】A．两个合数4和9，只有公因数1，则4和9互质。两个合数4和8，除了有公因数1之外，还有公因数2和4，则4和8不互质，所以两个合数也有可能互质。可得选项A说法正确。 B．如果，则＝4×，4和是的因数，可知和的最大公因数是。可得选项B说法错误。 C．一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，则一个数的最大因数等于它的最小倍数。可得选项C说法正确。 D．正方形周长＝边长×4，边长是质数时，周长除了有边长这个因数外，还有4这个因数，则长方形周长一定是合数。可得选项D说法正确。 所以选项B中的说法是错误的。 故答案为：B 2．D 【分析】连续偶数之间的差值为2，已知三个连续偶数中最大的是A，那么中间的偶数是（A－2），最小的偶数是A－2－2＝A－4。 【详解】A－2－2＝A－4 因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（A－4）。 故答案为：D 3．A 【分析】如果只有和它本身两个因数，这样的数叫作质数，除了和它本身还有别的因数的数叫作合数，据此解答。 【详解】的因数有和，还有和，不是质数。 的因数有和，还有和，不是质数。 的因数有和，还有和，不是质数。 的因数只有和，所以是质数。 的因数有和，还有和、和，不是质数。 是质数，所以一共有个质数。 故答案为：A 4．B 【分析】数码之和指的是每个数的各位数字相加的总和。 数列为从1到99的连续奇数，包括一位数和两位数，一位数奇数有：1、3、5、7、9，其数码之和为1＋3＋5＋7＋9＝25；两位数奇数（从11到99）：十位数字从1到9，个位数字为1、3、5、7、9，两位数奇数的十位是1~9，每个十位对应5个奇数（如十位是1时，对应11、13、15、17、19），因此十位数码之和为（1＋2＋3＋…＋9）×5＝45×5＝225；个位数码之和为：（1＋3＋5＋7＋9）×9＝25×9＝225。最后将一位数奇数的数码之和和两位数奇数的数码之和（分为十位数码之和和个位数码之和）相加即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9 ＝5×5 ＝25 （1＋2＋3＋…＋9）×5 ＝（5×9）×5 ＝45×5 ＝225 （1＋3＋5＋7＋9）×9 ＝（5×5）×9 ＝25×9 ＝225 25＋（225＋225） ＝25＋450 ＝475 因此所有数码（数字）之和等于475。 故答案为：B 【点睛】本题需把连续奇数1、3、5、…、97、99按一位数、两位数分类，两位数再分为十位数和个位数，分别计算它们的数码之和，再相加。 5．C 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除； 5的倍数特征：一个数的末尾是0或5的数，能被5整除。 21□0的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为2＋1＋□的和是3的倍数，据此分析即可。 【详解】2＋1＋□＝3＋□，且□里只填一个数字，有如下几种情况： 当□＝0时，3＋□＝3＋0＝3，3是3的倍数； 当□＝3时，3＋□＝3＋3＝6，6是3的倍数； 当□＝6时，3＋□＝3＋6＝9，9是3的倍数； 当□＝9时，3＋□＝3＋9＝12，12是3的倍数； 所以在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 6．C 【分析】相邻的两个自然数互质，互质的两个数最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，据此分析即可。 【详解】a和的最小公倍数是； a和的最大公因数是1； ÷1＝ 故答案为：C 7．A 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．▲▲▲■的个位是0，且有3个▲，所以这个数一定是2、3、5的公倍数，符合题意； B．▲■▲■的个位是0，但只有2个▲，所以这个数是2、5的倍数，不是3的倍数，不符合题意； C．▲■■▲的个位不是0，且只有2个▲，所以这个数不是2、3、5的公倍数，不符合题意； D．▲■▲▲的个位不是0，有3个▲，所以这个数是3的倍数，不是2、5的倍数，不符合题意。 故答案为：A 8．C 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，因为12＝6×2，所以长＋宽＝6（米）。因为6＝5＋1＝4＋2，5和1的最大公因数是1，4和2的最大公因数是2，所以长方形的长是5米，宽是1米。长方形面积＝长×宽，把数据代入计算即可。 【详解】12÷2＝6（米） 6＝5＋1＝4＋2 5和1的最大公因数是1，4和2的最大公因数是2。 5×1＝5（m2） 某校有一个周长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最大公因数是1，这个花圃的面积是5 m2。 故答案为：C 9．B 【分析】105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等，则总人数一定能被每排的人数整除，即每排的人数是105的因数，再根据“不能少于10人，也不能多于30人”，选择合适的情况即可。 【详解】105的因数有：1、3、5、7、15、21、35、105；符合题意的有：15人、21人。 所以105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有2种。 故答案为：B 10．B 【分析】根据生活实际，估算适用于快速判断总金额是否足够，而精确计算用于确定具体金额。据此判断。 【详解】A．收银员输入价格需准确，必须精确计算，此选项错误； B．李阿姨考虑带的钱够不够时，估算总价是否超300元，估算更高效，此选项正确； C．李阿姨被告知要付多少钱时，付款金额需准确，必须精确计算，此选项错误； D．收银员找给李阿姨零钱时，找零需准确金额，必须精确计算，此选项错误。 故答案为：B 11．11 【分析】先将209分解质因数，即209＝11×19；其中11无法分成两个质数相加，19可以分成2和17两个质数相加的形式。 【详解】209＝11×19＝11×（2＋17） 则☆＝11 12．104 【分析】208的最小倍数为208，则2m＋2n－2k的值为208，即可求出m＋n－k的最小值。 【详解】2m＋2n－2k＝2（m＋n－k） 208的最小倍数为208： 2（m＋n－k）＝208 m＋n－k＝208÷2＝104 即m＋n－k的最小值为104。 13．6 【分析】用每张长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形，正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长看每边有几个长，几个宽，就得出一共几张这样的长方形纸。 【详解】12的倍数有：12，24，36，48，60…，8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…，12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边长是24厘米， 24÷12＝2（张） 24÷8＝3（张） 需要张数：2×3＝6（张） 至少需6张这样的长方形纸。 14．1 【分析】根据（1）奇数和偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。（2）质数（素数）定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。合数定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。来分析。 【详解】根据分析可知： 在1，2，3，…，N，这N个自然数中，偶数个数＋奇数个数＝N，即m＋n＝N， 质数个数＋合数个数＝N－1（因为1既不是素数，又不是合数），即a＋b＝N－1。 （m－a）＋（n－b） ＝m－a＋n－b ＝（m＋n）－（a＋b） ＝N－（N－1） ＝1 即（m－a）＋（n－b）＝1。 15．3054 【分析】组成的数是四位偶数，且数字不重复。偶数的个位必须是0、2或4；四位数的千位不能是0。按照从小到大的顺序，先确定千位数字。依次计算千位是1、千位是2的符合条件的数各有多少个，通过累加个数，判断第66个数的千位数字是多少。在确定千位数字后，再判断百位数字从小到大的顺序组成的四位偶数个数，确定第66个数字的百位数是多少，具体推断解答。 【详解】千位为1时，个位上有0，2，4三种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×3＝36（个），36＜66； 千位上为2时，个位上有0，4两种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×2＝24（个） 36＋24＝60（个） 60＜66 千位上是3时，个位上有0，2，4三种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×3＝36（个） 36＋60＝96（个） 60＜66＜96，第66个数字的千位上是3，并且是千位上是3的第6个偶数，百位是0时，个位有2，4两种选择，十位有3种选择，所以偶数个数有3×2＝6（个），所以是百位上是0的最大偶数，即3054，即第66个是3054。 16．95 【分析】总数＝平均数×份数；奇数×偶数＝偶数，则总分是偶数；奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数等一偶数。所以数学分数一定是奇数，数学考得最好，则数学分数大于90分；并且总分数是3的倍数，3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此即可求解。 【详解】三科平均分是个偶数，语文得79分，是奇数，常识得90分，是偶数，则数学成绩是奇数，且大于90分。 大于90的奇数有：91，93，95、97、99。 如果数学成绩得91分：79＋90＋91＝260；2＋6＋0＝8，8不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不是91分。 如果数学成绩得93分：79＋90＋93＝262；2＋6＋2＝10，10不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不是93分。 如果数学成绩得95分：79＋90＋95＝264；2＋6＋4＝12，12能被3整除，符合题意，所以数学成绩可能是95分。 如果数学成绩得97分：79＋90＋97＝266；2＋6＋6＝14，14不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不可能是97分。 如果数学成绩得99分：79＋90＋99＝268；2＋6＋8＝16，16不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不可能是99分。 小明数学得95分。 17．960 【分析】（1）确定（a＋b）和（c＋d）为奇数的条件：根据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，偶数×任何数＝偶数，奇数×偶数＝偶数。因此（a＋b）×（c＋d）为奇数，需（a＋b）和（c＋d）均为奇数。又因为奇数＋偶数＝奇数，所以a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。 （2）计算选2个奇数和2个偶数的组合数：1~9中奇数有5个（1、3、5、7、9），偶数有4个（2、4、6、8）。从5个奇数中选2个的组合数为种，从4个偶数中选2个的组合数为种。 （3）计算选出的4个数的排列方式：对于每组这样的4个数，分配它们到a、b、c、d使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶。 总分配方式为4！＝4×3×2×1＝24种。 其中，a和b同为奇数或同为偶数的分配方式：若a和b同为奇数，则从2个奇数中分配a和b有2！＝2×1＝2种方式；从2个偶数中分配c和d有2！＝ 2×1＝2种方式，共2！×2！＝2×2＝4种；同理a和b同为偶数也有4种，共8种。 因此，a和b一奇一偶的分配方式有24−8＝16种。 （4）计算总取法数：10×6×16＝960种。 【详解】根据分析可知：a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。 从5个奇数中选2个的组合数为（种）， 从4个偶数中选2个的组合数为（种）， 选出的4个数的排列方式：用使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶总分配方式，减去a和b同为奇数或同为偶数的分配方式，即24−8＝16（种） 总取法数：10×6×16＝960（种） 因此，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有960种。 【点睛】本题核心是利用“奇数×奇数＝奇数”的性质，将问题转化为“选取2奇2偶并分配到两组‘一奇一偶’的和中”，需结合组合数（选数）、分配方式（分组）和排列数（组内顺序）综合计算。 18．2024 【分析】要想最后剩下的数最大，就要尽量擦去较小的数，保留较大的数。按照规则每次擦去两个数写上它们的平均数，依次从最小的数开始操作，逐步合并计算，最后就能得到最大的结果。 【详解】先求剩下数的最大，那么擦去的数应该尽量小，找到规律： 首先擦去1，3，写上2， 擦去2，2，写上2， 擦去2，4，写上3， 擦去3，5，写上4， 擦去4，6，写上5， …， 擦去2023，2025，写上2024， 所以剩下数的最大值为2024。 在这个数所有可能的取值中，最大值为2024。 19．9261 【分析】先找出1到20的自然数里所有的“三合数”和“三素数”。三合数有：3、6、9、12、15、18；三素数有：1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20。所有乘积的和＝3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20，根据乘法分配律的逆运算，分别求出所有“三合数”与“三素数”的和，再相乘。 【详解】由分析可知，这84个乘积的和列式为： 3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20 ＝3×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20）＋…＋18×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20） ＝（3＋6＋9＋12＋15＋18）×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20） ＝63×147 ＝9261 这84个乘积的和为9261。 20． 20亿 1833000 183.3万 【分析】（1）省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，即把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字； （2）亿以内数的写法，从最高位写起，先写亿级再万级最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0； （3）将一个数改写成用“万”作单位的数，要先找到万位，再在万位的右下角点上一个小数点，然后添上“万”字即可。 【详解】（1）1961000000的千万位上是6，6＞5，向亿位进1，即9＋1＝10，亿位写0，再向十亿位进1，即1＋1＝2。因此，1961000000千瓦时，省略亿后面的尾数约是20亿千瓦时。 （2）“一百八十三万”对应万级183，“三千”对应个级3000，减排二氧化碳一百八十三万三千吨，写作1833000吨。 （3）1833000的万位是3，在3右下角点小数点得183.3000，去掉末尾0后为183.3万。因此，改成用“万”作单位是183.3万吨。 21．16 【分析】由题意可知，123除以一个正整数得到的余数为11，说明123－11能被这个正整数整除，543除以这个正整数得到的余数为15，说明543－15也能被这个正整数整除，那么这个正整数是123－11和543－15的公因数，先用短除法求出123－11和543－15的最大公因数，再求出最大公因数的因数就是这两个数的公因数，因为除法算式中余数一定小于除数，所以这个正整数应该大于15，据此解答。 【详解】123－11＝112 543－15＝528 分析可知，112和528的最大公因数是2×2×2×2＝16，16的因数有1，2，4，8，16，所以112和528的公因数有1，2，4，8，16，其中16＞15，即这个正整数是16。 答：这个正整数是16。 【点睛】分析题意明确这个正整数是112和528的公因数，并且确定这个正整数必须大于15是解答题目的关键。 22．78 【分析】由题意可知，A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且均为一位数。根据条件，和为质数，而10以上的质数个位只能是1，3，7，9，所以B和D只能是7和9。即A、B、C、D依次为6、7、8、9。这样和为67和89是质数，为78是合数，符合题意。据此解答。 【详解】因为10以上的质数个位只能是1，3，7，9 所以A、B、C、D依次为6、7、8、9 ＝78 答：其中的合数是78。 【点睛】本题考查质数与合数的应用。解题关键在于10以上的质数个位只能是1，3，7，9，从而求出A、B、C、D分别为多少。 23．18盏 【分析】根据题意，要在A－B－C这条路上等距离安装路灯（A、B、C处都要安装），要求这条路上最少需要安装路灯的数量，那么相邻两盏路灯之间最长的距离是630和560的最大公因数； 先求出630和560的最大公因数，再分别求出AB段、BC段里（不含A、B、C处）有几个这样的最大公因数，根据两端不栽的植树问题“棵数＝间隔数－1”，求出这两段安装路灯的数量，最后相加，并加上A、B、C三处的路灯数量，即是这条路上最少需要安装路灯的数量。 【详解】630＝2×3×3×5×7 560＝2×2×2×2×5×7 630和560的最大公因数是：2×5×7＝70 即每70米安装一盏路灯。 AB段安装（不包括A、B处）： 630÷70－1 ＝9－1 ＝8（盏） BC安装（不包括B、C处）： 560÷70－1 ＝8－1 ＝7（盏） 一共安装（含A、B、C处）： 8＋7＋3＝18（盏） 答：这条路上最少需要安装18盏路灯。 24．9束；5朵 【分析】求最多能做多少束，就是求18和27的最大公因数；两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出18和27的最大公因数；再用康乃馨的朵数与勿忘我的朵数和除以最大公因数，即可解答。 【详解】18＝2×3×3 27＝3×3×3 18和27的最大公因数是3×3＝9，最多能做9束。 （18＋27）÷9 ＝45÷9 ＝5（朵） 答：最多能做9束，每个花束里有5朵花。 25．14.2 【分析】A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大，所以有A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36，由此可知：B＝C－5，D＝C＋3，可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数；在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28，由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28，所以，A、B、C、D、E即可求出，再根据平均数＝总数量÷总份数，问题即可解决。 【详解】因为A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大 所以有，A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36 由此可知：B＝C－5，D＝C＋3 可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数 在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28 由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28 所以C＝15 于是A＝7，B＝10，D＝18，E＝21 五个数的平均数为： （7＋10＋15＋18＋21）÷5 ＝71÷5 ＝14.2 答：这五个整数的平均数是14.2。 【点睛】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法。 26．见解答 【分析】公因数只有1的两个非自然数，叫做互质数；若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，并举例说明即可。 【详解】不同意； 若A与B互质，B与C互质，A与C不一定互质。 例如：3与5互质，7与9互质，3和9的公因数有：1、3。 27．公平；原因见详解 【分析】判断游戏规则是否公平，主要看双方获胜的概率是否相同，先把任意两个数的积列出来，看一共有几种情况，再看2的倍数的个数和3的倍数的个数，然后比较出现的概率，如果相同则公平，如果不相同则不公平，据此解答。 【详解】1×2＝2 1×3＝3 2×3＝6 由上可知，从3张卡片中任选2张积一共有3种情况，其中2的倍数有2、6，3的倍数有3、6，积既是2的倍数又是3的倍数有6，此时需要重来，若出现需要重来的情况就重新选，直到出现只满足“2的倍数”或“3的倍数”的结果，每次不重来时，甲和乙各有1种获胜的可能，概率相等，所以游戏是公平的。 28．是；见详解 【分析】先找出28的所有因数，然后把除了28以外的其它因数相加，和等于28，就是完美数；否则不是完美数。 【详解】28的因数有1、2、4、7、14、28； 答：28是完美数。 29．(1)1022 (2)2226和3066 【分析】（1）要求最小的四位依赖数，根据数位越高数值影响越大的原则，应使千位数字尽可能小，其次是百位、十位、个位。千位最小为1，百位最小为0，再根据依赖数的定义计算十位和个位，验证是否符合数字要求。 （2）首先根据依赖数的定义，用千位数字和百位数字表示出十位和个位数字。接着表示出后三位组成的数，代入“特色数”的判定条件，化简得到关于和的整除关系。最后结合每位数字0到9的范围限制，通过枚举法确定和的值，从而求出所有特色数。 【详解】（1）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。 根据“依赖数”的定义可知： 要使这个四位数最小，千位数字应取最小值。因为是四位数，最小为1。 百位数字应取最小值，最小为0。 当，时： 十位数字 个位数字 此时，均为0到9之间的数字，符合要求。 所以最小的四位依赖数是1022。 （2）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。 后三位表示的数为。 将和代入上面的表达式中： 后三位表示的数为 根据题意，“特色数”需满足：后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3 代入特色数的判定式： 因为是的倍数，，。 所以的余数，等同于的余数。 根据题意，余数为3，即余3。 同时需满足数字限制： 1.是千位数字，。 2.是数位上的数字，。 3.由且，可知，即只能取1，2，3，4。 4.由，可知。 分类讨论的取值： ①当时： 余3，即余2。 在范围内，可取0，1，2。 若，余0；若，余4；若，余1。 均不符合余3的条件，故无解。 ②当时： 余3，即余1。 在范围内，可取0，1，2，3。 若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。 则取2符合条件，，，即特色数是2226。 ③当时： 余3，即余0。 在范围内，可取0， 1， 2， 3。 若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。 则取0符合条件，件，，，即特色数是3066。 ④当时：由于，则只能是0和1。 当取0时，余4，不符合余3的条件；当取1时，余2，不符合余3的条件。 答：所有的特色数是2226和3066。 30．（1）3253不是；254514是；见详解 （2）①见详解； ②7878 【分析】（1）3253的末三位数是253，末三位以前的数字是3，判断它们的差能否被13整除即可；254514的末三位数是514，末三位以前的数字组成的数是254，判断它们的差能否被13整除即可； （2）①用表示任意一个四位“间同数”，则这个四位数可以表示为，化简后结果为，由此可知任意一个四位“间同数”都是101的倍数，即任意一个四位“间同数”都能被101整除； ②由上可知，任意一个四位“间同数”可以表示为，因为这个四位数能被13整除，而101不能被13整除，说明一定是13的倍数，即两位数一定是13的倍数，那么这个两位数最小是13，最大是91，最大值与最小值的差为101×（91－13），据此解答。 【详解】（1）3253：253－3＝250 250÷13≈19.23 因为3253的末三位与末三位以前的数字组成的数的差不能被13整除，所以3253不是“十三数”。 254514：514－254＝260 260÷13＝20 因为254514的末三位与末三位以前的数字组成的数的差能被13整除，所以254514是“十三数”。 （2）①假设四位间同数为（，）。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为是101的倍数，所以任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②分析可知，四位“间同数”为，且这个数一定是13的倍数，因为101不能被13整除，所以一定是13的倍数。 13×1＝13 13×2＝26 13×3＝39 13×4＝52 13×5＝65 13×6＝78 13×7＝91 由上可知，最小为13，最大为91。 101×（91－13） ＝101×78 ＝7878 答：满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差是7878。 【点睛】本题主要考查“十三数”与“间同数”，分析题意理解这两种数的特征，并可以用含有字母的式子表示出任意一个四位“间同数”是解答题目的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $