精品解析：江苏省苏州第十中学校2025-2026学年高二下学期期中调研测试数学试题

**基本信息** 江苏省苏州第十中学2026年高二下期中数学试卷，聚焦空间向量、导数应用核心知识，通过新定义“拐点”、圆柱材料最省等问题，融合数学抽象、逻辑推理与空间观念，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量关系（1）、函数单调性（2）|以充分必要条件考查空间向量与线面关系（1）| |多选|3/18|空间向量命题判断（9）、三次函数拐点（10）|新定义“拐点”关联对称中心，渗透创新意识（10）| |填空|3/15|空间坐标运算（12）、导数实际应用（13）|圆柱材料最省问题体现数学建模与应用意识（13）| |解答|5/77|导数极值与单调性（15）、立体几何动态问题（17）|19题分层探究函数单调性与恒成立，深化逻辑推理（19）|

江苏省苏州第十中学2025-2026学年第二学期高二期中测试 数学 2026.04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则，即充分性成立； 由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则或，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， 由， 所以该函数的单调递减区间是. 3. 已知函数的图像开口向下，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用瞬时变化率的定义和导数求解. 【详解】由得， . 由导数的定义可知，解得. 又因为的图像开口向下，所以，所以. 4. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 5. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误. 故选：B 7. 曲线与曲线的公切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解. 【详解】的定义域为，则. 的定义域为，则. 设与相切的切点为，切线方程为，即. 设与相切的切点为，切线方程为， 即. 由题意知，，由，得， 代入另一个方程解得，则. 代入中，得，即. 8. 已知函数有3个零点，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知是一个零点，当时，分离参数可得，构造函数，根据导数与单调性及极值的关系得到的单调性，求出的值域，即可求解. 【详解】令 ，则 . 当时，左边，右边，所以是方程的一个零点. 当时，可化为. 令，则. 令 ，则. 令，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即当时，恒成立. 又，所以当时，恒成立， 所以在和上单调递增， 所以当时，；当时，， 即当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，所以为偶函数. 当时，. 令，则，则. 根据导数定义，而， 所以当时，，又当或时，. 所以，即，则的取值可以是，故B正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中不正确的是（ ） A. 已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B. 已知过点的平面法向量为，则点到平面距离为 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知，，则在上的投影向量坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量共线判断A；根据点到平面的坐标计算判断B；根据基底的概念判断C；根据投影向量计算判断D. 【详解】对于A：由题意知，，所以与同向共线，夹角为0，不是锐角，A错误. 对于B：，所以点到平面距离为，B正确. 对于C：假设存在实数，使得， 整理得. 因为是空间的一组基底，所以， 存在非零解满足条件，所以三个向量线性相关，故不能作为基底，C错误. 对于D：在上的投影向量为，D正确. 10. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 存在，，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出令，结合的对称中心、求出可判断A；令，求出可判断B； 设，转化为使得不等式成立，令，根据在为单调递减函数求出可判断C；利用导数求出极值，再结合图象求出可判断D. 【详解】对于A，，，令， 可得，解得，所以， 再由，解得，故A正确； 对于B，由A知，由， 即 可得，或，解得，或，， 所以方程有三个根，故B正确； 对于C， 设，则， 要使得不等式成立，即成立， 令， 可得在为单调递减函数，即， 可得，令， 由在单调递增， 可得，则实数的取值范围为，故C错误； 对于D， 令，解得，或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得在处有极大值，为， 在处有极小值，为， 且由解得，或， 若函数在区间上有最大值，则， 解得，故D正确. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则___________，若，则___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 第一空：由空间两点的距离公式可算得. 第二空：可算得值. 【详解】若，，，故 若，则， ， 解得： 故答案为：； 13. 某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的高为，底面半径为，根据容积为个立方单位可得，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】设圆柱的高为，底面半径为. ∵该圆柱形的如罐的容积为个立方单位 ∴，即. ∴该圆柱形的表面积为. 令，则. 令，得； 令，得. ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴当时，取得最小值，即材料最省，此时. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 14. 若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义分析可得，然后得出，化简即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 设函数的图象在、两点处的切线斜率分别为、， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，即， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值是，最大值是； （2）． 【解析】 【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值. （2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 的定义域为，，，则， 解得， 故，令，即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 【小问2详解】 在区间上恒成立，故， 设，当时，是增函数，其最小值为， 故，即实数的取值范围为． 16. 如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，. （1）求对角线的长. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，再利用模长公式即可求出答案； （2）求出，，，再根据数量积公式求向量的夹角即可求出答案. 【小问1详解】 由， 故 ， 【小问2详解】 因为底面是边长为的正方形，则， 又，所以 ， ； 所以异面直线与夹角的余弦值为． 17. 如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. （1）当为何值时，直线与平面所成的角为. （2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设出点坐标，再表示出直线的方向向量与平面的法向量，借助空间向量的夹角公式表示出线面角的正弦即可得解； （2）求出平面的法向量后，利用空间向量的夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 则， 整理得，故，则（负值舍去）， 则， 即当时，直线与平面所成的角为； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 又平面的法向量， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性得极值； （2）不等式恒成立转化为在上恒成立，设，转化为求的最大值，确定的零点的范围，得出最大值的范围后可得最小的整数． 【小问1详解】 当时，， . 当时，，则在上单调递增； 当时.，则在上单调递减. 所以在时取得极大值且极大值为，无极小值； 【小问2详解】 因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则. 设， 显然在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即， 当时，，；当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以， 故整数m的最小值为1. 【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的极值，研究不等式恒成立问题．求解不等式恒成立问题，常常需要转化，用分离参数法转化为求函数的最值，本题中函数的最值点不能直接求出，我们用表示，通过得出的范围，从而可得最大值的范围，然后得出结论． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，（其中），，都有，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分与进行讨论，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）由（1）可得不合题意，则可利用时的单调性表示出函数最小值，利用最小值大于等于零计算即可得解； （3）由题意可得，分别计算与，可得，再构造函数，结合其单调性可得. 【小问1详解】 ， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； 【小问3详解】 由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州第十中学2025-2026学年第二学期高二期中测试 数学 2026.04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图像开口向下，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 5. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 7. 曲线与曲线的公切线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有3个零点，则可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中不正确的是（ ） A. 已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B. 已知过点的平面法向量为，则点到平面距离为 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知，，则在上的投影向量坐标为 10. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 方程有三个根 C. 存在，，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 D. 若函数在区间上有最大值，则 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则___________，若，则___________. 13. 某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 14. 若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值； （2）若在上是增函数，求实数的取值范围． 16. 如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，. （1）求对角线的长. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. （1）当为何值时，直线与平面所成的角为. （2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意，恒成立，求整数m的最小值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，（其中），，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $