四川省成都市树德中学2024-2025学年高二下学期5月阶段性检测数学试题

1 树德中学高二数学 5 月阶考参考答案 一、选择题（1-8 小题每小题 5 分，9-11 题每小题 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分，共 58 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B C B D C D D BC ABD BC 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 1； 13. 150； 14. ` *)(na n n= N ；18. 三、解答题（共 77 分） 15. 解（1） ( )f x 的定义域为 (0, )+ ，对 ( )f x 求导，得 ( ) x a f x x −  = ，因为 (1) 0f  = ，所以 1a = ； （2）由（1）知， ) 1 ( ) ( (0, ) x f x x x  + − = ， 当 1)(0,x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减，当 , )(1x + 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增， 所以在区间 1 ,e e       上， ( )f x 在 1x = 处取得极小值，即极小值为 (1) 0f = ， 又 1 1 1 e e 2 f   =     ， 1 (e) e 2 2 f = −  ，所以求 ( )f x 在区间 1 ,e e       的值域为[0,e 2]− . 16. 解 （1）由题，知当 1n = 时， 1 2a = ，又 1 2 22 2 1 22 nn n a aa ++ =+ − ① 111 2 1 2 2 1( 2) 22 2 nn n a a n a −− − + = −+ + ② 由①−②，得 2 12 ( 2)nna n −=  当 1n = ， 1 2a = 满足 2 12 nna −= ，故数列 na 的通项公式为 2 1 *2 ( )nna n −= N ； （2）由（1）知， 2 1 2 1 2 2 1 log 2 log 2 n n n b − + =  ，即 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1 nb n n n n   = = −  − + − +  ，所以 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 nnS b b n n n n b +   = − + − + + −  − +  + = + = + 所以数列 nb 的前n 项和 2 1 nS n n = + . 2 17. 解 （1）取 BC中点为 D，连接 AD、PD， 因为 ABC△ 为等腰直角三角形且 AB AC= ，所以BC AD⊥ ，又 PBC△ 为正三角 形，所以BC DP⊥ ，又 AD DP D= ，所以BC ⊥平面PAD ，又PA平面 PAD ，所以BC PA⊥ ，所以PA BC⊥ ； （2）由 2BC PA= ，不妨设 1PA = ，则 2BC PB PC= = = ， 1AB AC= = ， 因为 2 2 22AB AP PB+ = = ，所以 AB AP⊥ ，同理， AB AC⊥ ， AP AC⊥ ，所以 AB、AC、AP两两垂直，以点 A为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz− ， (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (0,1,0)C ， (0,0,1)P ， (1,0, 1)PB = − ， ( 1,1,0)BC = − ， 平面 ABC的法向量可以是 (0,0,1)AP = ，设平面 PBC的法向量为 ( , , )n x y z= ， 因为 0 0 PB n BC n   =   = ，所以 0 0 x z x y − =  − + = ，不妨令 1x = ，则 1y z= = ， 所以 (1,1,1)n = ， 因为 3 cos , 3 n PA n PA n PA    = =  ，所以 2 3 6 sin , 1 3 3 n PA    = − =     ，由原图，知二面角P BC A− − 的 平面角为锐角，所以二面角 P BC A− − 的正弦值为 6 3 . 另解 由（1）知， PDA 为二面角的P BC A− − 的平面角，结合 2BC PA= ，可得 6 sin 3 PDA = . 18. 解 （1）由椭圆的对称性，知 ( 3,1)R 不在椭圆上，故 1 3, 2 P   −    、 1 3, 2 Q       、 (2,0)T 三点在椭圆上， 代入椭圆方程，可解得 2a = ， 1b = ，所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y+ = . （2）（i）若直线 1l 、 2l 中任意一条斜率为零时，直线 MN的方程为 0y = ； 若直线 1l 、 2l 的斜率都不为零时，设直线 1l 的方程为 1x my= + （直线 2l 的方程为 1 1x y m = − + ）， 3 2 2 1 1 4 x my x y = +   + =  联立，消去 x，得 2 2(1 4 ) 2 3 0m y my+ + − = ， 设 B、C两点的坐标分别为 1 1( , )B x y ， 2 2( , )C x y ，由韦达定理，得 1 2 2 1 2 2 0 2 4 3 4 m y y m y y m      + = − +  = − + ，进而有 1 2 22 4 y y m m + = − + ，将 1 2 22 4 y y m m + = − + 代入直线 1l 的方程为 1x my= + ，得 1 2 2 4 1 2 4 y y x m m + = + = + ，即 2 2 4 , 4 4 m M m m   −  + +  ，同理， 2 2 2 4 , 1 4 1 4 m m N m m     + +  ， 当 2 2 2 4 4 4 1 4 m m m = + + 时，即 2 1m = ，直线MN x⊥ 轴，直线MN 与 x 轴的交点坐标为 4 ,0 5       ， 当 2 1m  时，直线MN 的斜率存在， 2 5 4( 1) MN m k m = − ，直线MN 的方程为 2 2 2 2 5 4 1 4 4( 1) 1 4 m m m y x m m m   − = −  + − +  ，整理，得 2 5 4 4( 1) 5 m y x m   = −  −   ，所以直线MN 恒过点 4 ,0 5       ，又直线 MN 斜率不存在时，直线MN 也经过点 4 ,0 5       ，综上所述，直线MN 恒过点 4 ,0 5       . （ii）直线 1l 、 2l 的斜率显然都不为零，设直线MN 经过的定点为 4 ,0 5 G       ， 2 2 1 1 1 2 2 5 1 4 4 AMN M N m m S AG y y m m − =  − =   − + + △ ，整理，得 2 4 2 1 1 2 4 17 4 AMN m S m m + = + + △ ，即 2 1 1 2 1 4 9 AMN m mS m m + =   + +    △ ， 1 1 1 92 4 1 AMNS m m m m =   + +    + △ ，引入函数 ) 9 ( ) 4 ( [2, )f x x x x  += + ， 2 (2 3)(2 3) ( ) x x f x x − +  = ，易知 ( )f x 在 [2, )x + 单调递增，所以 ( )f x 在 [2, )x + 的最小值为 25 (2) 2 f = ， 4 所以 1 1 1 1 92 25 4 1 AMNS m m m m =    + +    + △ （等号当且仅当 2 1m = 时成立），所以 AMN△ 的最大值为 1 25 . 19. 解 （1）函数 ( )f x 的定义域为 R，对 ( )f x 求导，得 ( ) e ( 1)axf x ax = + ， 若 0a = 时， ( ) 1f x = ， ( )f x 在 ( , )− + 上单调递减；若 0a  时，令 ( ) 0f x = ，解得 1 x a = − ， 当 1 ,x a     − −   ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减；当 1 ,x a    −   +   ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 若 0a  时，令 ( ) 0f x = ，解得 1 x a = − ， 当 1,x a     − −   ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增；当 1 ,x a    −   +   ， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； （2）不等式 ( ) ( )f x g x 在 (0, )x + 上成立，等价于 ( ) ( ) 0f x g x−  在 (0, )x + 上成立，即 e e 2 0ax x x−− −  在 (0, )x + 上成立，引入函数 ( ) e e 2ax xh x x−= − − ， (0, )x + ， ( ) e e 2ax xh x a − = + − ， (0) 1h a = − . （i）若 0a  ， (0) 1 0h a = −  ，当 (0, )x + 时， ( ) e 2 1xh x −  −  − ， ( )h x 单调递减， ( ) (0) 0h x h = ，与 题意矛盾，舍去； （ii）若0 1a  ， (0) 1 0h a = −  ， 1 2 1 2 ln ln1 2 2 ( ln ) e 2 e 0a a a ah a a a a − −  =  + − =  ，由零点存在定理，知存在 0 ) 1 l( , 2 n0x a a  使得 ( ) 0h x = ，当 0(0, )x x 时， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递减， ( ) (0) 0h x h = ，与题意矛盾，舍 去； （iii）若 1a  ， (0) 1 0h a = −  ，当 (0, )x + 时， ( ) e e 2 2 e e 2 0x x x xh x − −  + −   − = ，故 ( )h x 单调递增， ( ) (0) 0h x h = ；综上所述，实数a 的取值范围为[1, )+ ； （3）由（2）知，当 1a = 时，e e 2 0x x x−− −  在 (0, )x + 恒成立，令 2 ln 0x n n + =  （其中 *nN ）， 2 2 2ln 0 2 n n n n n n + + − −  + ，即 2 2ln ( 2 n n n n +  + ） ，又因为 1 1 2 2 ln ( 2 n n k k k k k k= = +  +   ） ，所以 2 1 ( 1)( 2) 2 ln 2 2 n k n n k k= + +  +  . 2025-5 高二数月 5 第1页共 2 页 树德中学高 2023 级高二下期 5 月阶段性测试数学试题 命题人：刘大华 审题人：韦莉、陈杰、邓连康、常勇 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的。 1. 某个弹簧振子在振动过程中的位移 y（单位：mm）与时间 t（单位：s）之间的关系为 2π 18cos 3 y t= − ， 则该弹簧振子在 3t s= 时的瞬时速度是（ ）mm/s A. 0 B. 6π C. 12π D. 18π 2. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称 为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个 球， ，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球 A. 55 B. 66 C. 110 D. 136 3. 函数 ( )f x 的导函数 ( )y f x= 的图象如图所示，则函数 ( )f x 的极值点个 数为（ ）个 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某班级举行活动，同学们准备了四个节目：二胡、相声、小品、舞蹈，现对这四个节 目的出场先后进行编排，要求相声和小品相邻，则不同的编排方式有（ ）种 A. 6 B. 12 C. 24 D. 32 5. 设数列 na 为等比数列， 1 1a = ， 2 3 3 3a a = ，则 5 6 1 2 a a a a + = + （ ） A. 3 B. 3 C. 6 D. 9 6. 若函数 ( ) exf x ax= − 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 1 0, e       B. (0,e) C. (e, )+ D. 2(e , )+ 7. 已知数列 na 为等差数列，且数列 na 的前 n项和 nS 有最大值，若 1013 1014 0a a+  ， 1013 1014 0a a  ，则 nS 取得最小正值时， n的值为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2024 D. 2025 8. 已知定义在 (0, )+ 的函数 ( )f x ，其导函数为 ( )f x ，若 3 2( ) 2 ( ) lnx f x x f x x + = ， 且 1 ( e) 4e f = ，则 ( )f x （ ） A. 仅存在最小值 B. 仅存在最大值 C. 既存在最小值，又存在最大值 D. 既无最小值又无最大值 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分，有二个正确选项的，每个选项 3 分，有三个正确选项的，每个选项 2 分， 有选错的得 0 分. 9. 6 1 2 x x   −    的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 6 项 B. 各二项式系数之和为 64 C. 展开式中 2x 项的系数为 192− D. 展开式中系数最大的项为70x 10. 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 13 0a a=  ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列 n S n       为等差数列 B. 数列 nS 为等差数列 C. 数列 lg nS 为等差数列 D. 数列 n n S a       的最小项为 1 11. 设函数 2( ) ( 3)f x x x= − ，下列说法正确的是（ ） A. 曲线 ( )y f x= 为轴对称图形 B. 1 2 3 4049 2025 2025 202 (2) 8102 5 2025 f f f f f         + + +             + + = −    C. 当 1 ,0 2 x    −    时， (2 ) ( )f x f x−  D. 若不等式 ( ) 4 0f x kx k− +  恰有两个正整数解，则实数 k 的取值范围为 2 0, 3       三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 22a a= ， 5 31 16 S = ，则 1a = _____. 13. 五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有_.种. 14. 已知数列 na 满足 1 2 1n na a n++ = + ，且 1 1a = ，则数列 na 的通项公式为_____；记 n nb a= ，则 1 2 99 1 1 1 b b b   + + +    的值为_____（其中[ ]x 为不超过实数 x 的最大整数，如[1.1] 1= ）. 2025-5 高二数月 5 第2页共 2 页 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）已知函数 ( ) lnf x x a x a= − − ， aR ，且 (1) 0f  = . （1）求 a 的值； （2）求 ( )f x 在区间 1 ,e e       的值域. 16.（15 分）已知数列 na 满足 1 2 22 2 1 22 nn n a aa ++ =+ − . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2 2 1 1 log log n n n b a a + =  ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 17. （15 分）如图，在三棱锥 P ABC− 中， ABC△ 为等腰直角三角形， PBC△ 为正三角形， AB AC= . （1）证明： PA ⊥ BC ； （2）若 2BC PA= ，求二面角 P BC A− − 的正弦值. 18.（17 分）已知椭圆 : 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + =   ，四点 1 3, 2 P   −    、 1 3, 2 Q       、 ( 3,1)R 、 (2,0)T 中恰 有三个点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点 (1,0)A 作两条互相垂直的直线 1l 、 2l ，直线 1l 交椭圆于 B、C两点，直线 2l 交椭圆于 D、E两点； （i）设 BC中点为 M，DE中点为 N，证明：直线 MN过定点； （ii）求 AMN△ 面积的最大值. 19.（17 分）已知函数 ( ) eaxf x x= ， 2( ) e 2xg x x x−= + ，其中 e为自然对数的底数， aR . （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若不等式 ( ) ( )f x g x 在 (0, )x + 上成立，求实数 a 的取值范围； （3）设 *nN ，证明： 2 1 ( 1)( 2) 2 ln 2 2 n k n n k k= + +  +  .