第十九章 全等三角形题型突破 讲义 2025-2026学年人教版（五四制）七年级数学下册

该初中数学单元复习讲义通过题型分类系统梳理全等三角形知识体系，从全等形概念、性质到判定方法（SSS、SAS等）再到角平分线应用，按"基础认知-性质运用-判定推理-实际应用"递进呈现，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念（如全等形判断），综合题提升推理（如补充SAS判定条件），实际应用题（如测量木墙距离）培养数学眼光与应用意识。解析规范步骤，助力学生掌握推理方法，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

第十九章全等三角形题型突破2025-2026学年人教版 （五四制）七年级下册（20题型） 题型1：全等形的概念 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 3.如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是　 　． 题型2：全等三角形 1．下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 2.如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 3.如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（　　） A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED 题型3：利用全等三角形的性质求线段 1．如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 2.如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 3.如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 题型4：利用全等三角形的性质求角度 1．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数为（　　） A．84° B．42° C．48° D．60° 2.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝94°，∠B＝55°，则∠CAD＝　 °． 3.如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 题型5：利用全等三角形的性质求面积与周长 1.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E是BD上一点，若△BAD≌△CED，AB＝10，AC＝14，则△CED的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 2.已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，则△DEF的周长为　 　 cm，面积为　 　 cm2． 3.如图，△ABC≌△A'B'C′，其中AB＝3，A′C′＝7，B′C′＝5，则△ABC的周长为 　 　． 题型6：方格中的全等 1．如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 2.如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　） A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 3.如图所示的正方形的方格中，∠1+∠3﹣∠2 ＝ 　 　度． 题型7：三角形全等的判定（SSS） 1．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 2.如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：． 3．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 题型8：三角形全等的判定（SAS） 1．如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（　　） A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD 2．如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 3.如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 题型9：三角形全等的判定（ASA） 1.如图，已知点B，D，E，C在同一直线上，∠1＝∠2，AB＝AC．求证：△ABE≌△ACD． 2．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，AB＝DE且AB∥DE，∠A＝∠D，求证：△ACB≌△DFE． 3.如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 题型10：三角形全等的判定（AAS） 1.如图，已知，用“AAS”证，还需（    ） A． B． C． D． 2.如图，AC＝AD，AD∥BC，∠B+∠CED＝180°，求证：△ABC≌△DEA． 3．如图，已知∠ABC＝∠BAD，∠C＝∠D，求证：△ABC≌△BAD． 题型11：三角形全等的判定（HL） 1．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF 3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF． 题型12：全等判定方法的判断 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A、B之间的距离，先在平地上取一点，分别连接并延长、到点D、E，使、，连接，此时，通过测量的长就可以得到假山两端A、B之间的距离．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 3．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 题型13：补充判定全等的条件 1．如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AC∥EF B．∠E＝∠C C．∠ABC＝∠FDE D．AB＝DF 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，添加一个条件，能够判断△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠DAB＝∠EAC B．∠D＝∠B C．∠E＝∠C D．∠D＝∠C 3．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　） A．BC＝BE B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DEB D．AC＝DE 题型14：全等三角形的判定与性质综合 1.如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 2.如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    3.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 题型15：全等三角形的应用 1.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 2.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） ​ A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 3.如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD．从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量DE的长为28米，则A、B两点之间的距离为 　 　米． 题型16：用角平分线的性质求长度 1.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 3.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于　 ． 题型17：用角平分线的性质求面积 1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，在ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则（    ） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 3.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 题型18：角平分线的作图 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 2.如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 3.如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 题型19：角平分线的性质的实际应用 1.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2.如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 3.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 题型五：角平分线的判定 1.如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC． 2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 3.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【答案】 第十九章全等三角形题型突破2025-2026学年人教版 （五四制）七年级下册（20题型） 题型1：全等形的概念 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 3.如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是　 　． 【答案】95° 题型2：全等三角形 1．下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 【答案】C 2.如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 【答案】B 3.如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（　　） A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED 【答案】D。 题型3：利用全等三角形的性质求线段 1．如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　） A．9 B．4 C．5 D．6 【答案】C 2.如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 【答案】6 3.如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析． （2）7． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 题型4：利用全等三角形的性质求角度 1．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数为（　　） A．84° B．42° C．48° D．60° 【答案】B。 2.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝94°，∠B＝55°，则∠CAD＝　 °． 【答案】31。 3.如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB是锐角，∠B＝30°，∠ACD＝60°，延长BA交DE于点F，交CE于点G． （1）判断直线BF与CE是否垂直？请说明理由； （2）若AC∥DE，求∠DCE的度数． 【答案】（1）BF⊥CE，理由见解析； （2）30°． 【解答】解：（1）BF⊥CE，理由： ∵△ABC≌△DEC，∠B＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠B＝∠E＝30°，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝∠DCE+∠ACG＝∠ACD＝60°， ∴∠BGC＝180°﹣∠B﹣∠BCG＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BF⊥CE； （2）由（1）知∠E＝30°， ∵AC∥DE， ∴∠ACG＝∠E＝30°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACG＝60°﹣30°＝30°． 题型5：利用全等三角形的性质求面积与周长 1.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E是BD上一点，若△BAD≌△CED，AB＝10，AC＝14，则△CED的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C． 2.已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，则△DEF的周长为　 　 cm，面积为　 　 cm2． 【答案】12，6． 3.如图，△ABC≌△A'B'C′，其中AB＝3，A′C′＝7，B′C′＝5，则△ABC的周长为 　 　． 【答案】15． 题型6：方格中的全等 1．如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　） A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 【答案】C． 3.如图所示的正方形的方格中，∠1+∠3﹣∠2 ＝ 　 　度． 【答案】45 题型7：三角形全等的判定（SSS） 1．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 2.如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 3．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 题型8：三角形全等的判定（SAS） 1．如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（　　） A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD 【答案】D 2．如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 【答案】 3.如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明：由条件可得AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 题型9：三角形全等的判定（ASA） 1.如图，已知点B，D，E，C在同一直线上，∠1＝∠2，AB＝AC．求证：△ABE≌△ACD． 【答案】解：∵∠1＝∠2， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 2．如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，AB＝DE且AB∥DE，∠A＝∠D，求证：△ACB≌△DFE． 【答案】 证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ACB与△DFE中， ， ∴△ACB≌△DFE（ASA）． 3.如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）． 题型10：三角形全等的判定（AAS） 1.如图，已知，用“AAS”证，还需（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，AC＝AD，AD∥BC，∠B+∠CED＝180°，求证：△ABC≌△DEA． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠C＝∠CAD， ∵∠B+∠CED＝180°，∠AED+∠CED＝180°， ∴∠B＝∠AED， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． 3．如图，已知∠ABC＝∠BAD，∠C＝∠D，求证：△ABC≌△BAD． 【答案】 证明：在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（AAS）． 题型11：三角形全等的判定（HL） 1．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 【答案】A 2．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF 【答案】D 3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF． 【答案】 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°． 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． ∴BC＝EF． ∴BC﹣BE＝EF﹣BE． 即：CE＝BF． 题型12：全等判定方法的判断 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A、B之间的距离，先在平地上取一点，分别连接并延长、到点D、E，使、，连接，此时，通过测量的长就可以得到假山两端A、B之间的距离．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 【答案】SSS 题型13：补充判定全等的条件 1．如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，AD＝FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AC∥EF B．∠E＝∠C C．∠ABC＝∠FDE D．AB＝DF 【答案】A 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，添加一个条件，能够判断△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠DAB＝∠EAC B．∠D＝∠B C．∠E＝∠C D．∠D＝∠C 【答案】A 3．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　） A．BC＝BE B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DEB D．AC＝DE 【答案】D． 题型14：全等三角形的判定与性质综合 1.如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：解法一， ． 在和中， ． 解法二 ． 在和中， ． （2）解：由（1）知， ， ． 2.如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    【答案】证明：如图，延长至点，使，连接，   是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 3.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)的长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②如图1，作轴于点轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴； （2）解：如图2，作于点，则， ，，轴于点，轴于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴的长为． 题型15：全等三角形的应用 1.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】C． 2.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） ​ A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【答案】D． 3.如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD．从点D出发沿与河岸BF垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量DE的长为28米，则A、B两点之间的距离为 　 　米． 【答案】28． 题型16：用角平分线的性质求长度 1.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 3.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于　 ． 【答案】2cm，2cm，2cm。 题型17：用角平分线的性质求面积 1.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 2．如图，在ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则（    ） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 【答案】A 3.如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 题型18：角平分线的作图 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 2.如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 3.如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【答案】解：如图，点P为所作． 题型19：角平分线的性质的实际应用 1.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 2.如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（　　） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 3.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A． 题型五：角平分线的判定 1.如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC． 【答案】证明：如图，∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． 又∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴在Rt△BDE与Rt△CDF中，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF． ∴AD平分∠BAC． 2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 3.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【答案】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∴∠B＝90°，AE平分∠BAD， ∴BE⊥AB， ∴BE＝EF． ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CE＝EF． 又∵∠C＝90°， ∴EC⊥DC． ∵EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $