第十九章 全等三角形（单元测试·冲刺卷）数学新教材人教版五四制七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十九章 全等三角形 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C C D A C A B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．③ 12．M 13．乙 14．2 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分） 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 17．（本题8分） 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 18．（本题9分）如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（本题9分） 【详解】（1）证明：过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， 在四边形中，，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴点D在的平分线上． （2）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵点D在的平分线上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及线段数量关系的探究． 20．（本题9分） 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 21．（本题10分） 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵ ∴由（2）得， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 22．（本题10分） 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． 23．（本题12分） 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十九章 全等三角形 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（本题3分）下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 4．（本题3分）沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（本题3分）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是 ． 12．（本题3分）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 13．（本题3分）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 14．（本题3分）如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，若，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分）如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接，再在l的另一边取了个点D，使得， 且， 同时， 若测得米，米， 求的长． 17．（本题8分）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 18．（本题9分）如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（本题9分）如图，在四边形中，，于点E，且． (1)试证明点D在的平分线上； (2)试判断、和三条线段的数量关系并说明理由． 20．（本题9分）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 21．（本题10分）已知：如图，在中，，D、E分别为、上的点，且、交于点F．若、为的角平分线． (1)若，的度数为______． (2)请用含α的代数式表示． (3)若，，，求的长． 22．（本题10分）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 23．（本题12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十九章 全等三角形 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（本题3分）下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（本题3分）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 4．（本题3分）沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（本题3分）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是 ． 12．（本题3分）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 13．（本题3分）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 14．（本题3分）如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，若，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分）如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接，再在l的另一边取了个点D，使得， 且， 同时， 若测得米，米， 求的长． 17．（本题8分）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 18．（本题9分）如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（本题9分）如图，在四边形中，，于点E，且． (1)试证明点D在的平分线上； (2)试判断、和三条线段的数量关系并说明理由． 20．（本题9分）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 21．（本题10分）已知：如图，在中，，D、E分别为、上的点，且、交于点F．若、为的角平分线． (1)若，的度数为______． (2)请用含α的代数式表示． (3)若，，，求的长． 22．（本题10分）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 23．（本题12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十九章 全等三角形 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误； B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误． 故选：B． 2．（本题3分）下列条件中能判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．三组对应角相等，根据不能判定，不合题意； B．两组对应角相等，一组对应边相等，根据能判定，符合题意； C．和的夹角应为，而和的夹角应为，题目未给出，无法满足条件，不能判定，不合题意； D．和的夹角应为，而和的夹角应为，题目未给出，无法满足条件，不能判定，不合题意； 故选：B． 3．（本题3分）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 4．（本题3分）沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加，由可得，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（本题3分）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过O分别作，，， BO是平分线， ， CO是平分线， ， ， ，，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键． 6．（本题3分）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：A． 7．（本题3分）已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分和两种情况解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和全等， 当时，解得， 把代入，得， ∵， ∴不合题意； 当时，解得， 把代入，得，符合题意； 综上，的值为， 故选：． 8．（本题3分）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，关键是由全等三角形的性质推出，，． 由、的坐标得到，，由全等三角形的性质推出，，，求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ，， ∵， ，，， ， 点的坐标是． 故选：B． 10．（本题3分）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（本题3分）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形全等的四个判定定理所需要的条件. 根据三角形全等的判定定理进行判断. 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去； 第四块，仅保留了原三角形的部分边，故该块不行； 故答案为③． 12．（本题3分）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 【答案】M 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． 根据证明得，进而可求出结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上， ∴点M到两边距离相等． 故答案为：M． 13．（本题3分）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 14．（本题3分）如图，在中，，I为各内角平分线的交点，过点I作的垂线，垂足为H，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键． 作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接， ∵I为各内角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2 15．（本题3分）如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴ (）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（8小题共75分） 16．（本题8分）如图，要测量池塘的长度，但点F，C之间不能直接测量，已知点B，F，C，E在同一条直线l上，小明想了个办法先在l的一边取了个点A，连接，再在l的另一边取了个点D，使得， 且， 同时， 若测得米，米， 求的长． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 17．（本题8分）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 18．（本题9分）如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（本题9分）如图，在四边形中，，于点E，且． (1)试证明点D在的平分线上； (2)试判断、和三条线段的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）通过作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角相等，进而证明点D到两边的距离相等，从而得出点D在的平分线上； （2）通过全等三角形的性质得到线段相等关系，进而推导出、和三条线段的数量关系． 【详解】（1）证明：过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， 在四边形中，，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴点D在的平分线上． （2）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵点D在的平分线上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及线段数量关系的探究． 20．（本题9分）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ， 【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程) 【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ． 【答案】（感知）角平分线上的点到两边距离相等 （探究） （应用） 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解． （感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理． （探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比． （应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到两边距离相等． （探究）∵是的角平分线， ∴点到和的距离相等（角平分线性质）． 设点到和的距离为， 则，， ∴， ∵， ∴与的面积比； （应用）∵分别平分和， ∴点是的内心，内心到三边的距离相等， ∵，， ∴点到、的距离也为3， 的面积可分割为、、的面积之和（如图）， 即， ∴ ， ∵的周长是，即， ∴． 故答案为：． 21．（本题10分）已知：如图，在中，，D、E分别为、上的点，且、交于点F．若、为的角平分线． (1)若，的度数为______． (2)请用含α的代数式表示． (3)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线和三角形内角和定理得到，代入数据求解即可； （2）根据角平分线得到，由三角形内角和定理可得，然后再由三角形内角和定理的，再代入求解即可； （3）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵ ∴由（2）得， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． 22．（本题10分）在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）通过构造辅助线的方式证明和全等，得到，，从而推导，再证明和全等得到，最终通过已知条件转化线段关系得到； （2）通过构造辅助线的方式先得出，再证明和全等，得到，，随后证明和全等，得到，最终根据条件转化可得到． 【详解】（1）解：延长到点G，使，连接， ∵, ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． （2）解：仍然成立． 理由：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的计算，线段关系的转化，作出对应的辅助线发现其中包含的关系是解此题的关键． 23．（本题12分）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $