第十章二元一次方程组单元提升小练 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、拓展创新三层设计，覆盖二元一次方程组的概念、解法及应用，梯度合理，注重数学抽象与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二元一次方程组概念、解的定义、基本解法|直接概念辨析（如选择1）、简单代入运算（如填空12），夯实基础| |能力提升|方程组解法综合、实际问题建模、解的关系应用|结合《九章算术》情境（选择4）、经济问题（填空18），培养模型意识| |拓展创新|新定义问题、整体换元、动态问题|引入“共轭方程组”（选择9）、图形面积问题（选择10），发展创新思维|

二元一次方程组单元提升小练 一、选择题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 2．已知关于、的二元一次方程组，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中有“盈不足”问题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意：众人一起买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又少4钱．设人数为，物品价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（   ） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 7．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“辅助智能体测”系统．该系统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建议．项目组在采购训练用智能跳绳时，发现供应商提供两种优惠方案： 方案一：全部按定价的8折购买． 方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折． 经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元；而如果用方案一的金额按方案二购买，可多买10根．设每根跳绳定价为元，计划购买根（），则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 10．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 二、填空题 11．若是关于、的二元一次方程，则的值________________． 12．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为________． 13．已知是方程的解，则________． 14．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 15．如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 16．二元一次方程组中的系数“”印刷不清楚，已知此方程组的解、互为相反数，则原题中的“⊕”所代表的数为_____． 17．甲种合金含铜5份，含金2份；乙种合金含铜5份，含金9份，那么取甲种合金_____克，乙种合金_____克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 18．某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 19．某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 20．已知关于的二元一次方程组， ①当这个方程组的解的值互为相反数时，． ②当时，方程组的解也是方程的解． ③无论取什么实数，的值始终不变． ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0． ⑤若，则． 则上述结论中正确的是_____．（填序号） 三、解答题 21．解方程组： (1)； (2)． 22．下面是嘉琪解方程组的过程，老师判断后说其中有错误． 解： ，得，                         第一步 把代入①，得，          第二步 所以方程组的解为             第三步 (1)请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； (2)在（1）的基础上，化简：． 23．推进乡村全面振兴，需要大力发展农产品加工业，做好独特品种的特色农产品开发．大樱桃是怀仁市的特色农产品，某村集体组织农户将大樱桃按果实大小包装成精品大果、优级中果两种五斤装礼盒出售．已知每件精品大果礼盒比每件优级中果礼盒的售价多20元，且15件精品大果礼盒和10件优级中果礼盒的总售价为2500元．问：精品大果礼盒与优级中果礼盒每件售价分别为多少元？ 24．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 25．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 26．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得 (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组 (3)对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值． 试卷第6页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C C A B A A C 1．D 【详解】解：∵选项A中，第二个方程里，含未知数的项的次数为2，不符合二元一次方程组定义，∴A不符合题意． ∵选项B中，方程组共含有三个未知数，不符合二元一次方程组定义，∴B不符合题意． ∵选项C中，第二个方程是分式方程，不是整式方程，不符合二元一次方程组定义，∴C不符合题意． ∵选项D中，方程组共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且两个方程都是整式方程，符合二元一次方程组定义，∴D符合题意． 2．D 【详解】解： 由①②得：， ∴， ∴． 3．B 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 4．C 【详解】解：设人数为，物品价格为钱， 根据题意得，． 5．C 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 6．A 【详解】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元， 由题意得：， ，得， ∴， ∴现各买一杯，需要花费41元． 7．B 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 得，， ， 将代入得，， ， 方程组的解是． 8．A 【详解】解：原计划购买根跳绳，． ∵方案二比方案一节省元， ∴，整理得． ∵用方案一原计划的总金额按方案二购买，可多买根，即共购买根， ∴． 综上，方程组为． 9．A 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 10．C 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 11．0 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ，， 由得或， 解得或， 由得， ． 12．1 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：． 13．2 【详解】解：将代入方程中， 得， 即， 则． 14． 【详解】解：设醇酒买斗，则行酒买斗． 由题意得，， 由①得， 把③代入②得， 解，得， 把代入③得， 所以原方程组解为， 所以醇酒买了斗． 15．1 【详解】解：与相等， ，即， 解得， 把代入得： ， 解得． 16．5 【详解】解： 方程组的解x，y互为相反数， ， 将代入，得： ， 即， 解得：， ， 将，代入，得： ， 即， 解得：． 17．40；60 【详解】解：设取甲种合金克，乙种合金克， 根据题意有：， 解得：，， 答：取甲种合金40克，乙种合金60克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 18． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元， ∴， 即， ∴获利（元） 即该商店可获利元． 19． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意得： 解得：， 所以甲的速度为． 20．①③ 【详解】解：解方程组，得， ① 当x，y互为相反数时，，， 解得，故①正确； ② 将代入， 左边，右边，， 仅当时成立，故②错误； ③ ，与无关，故③正确； ④ 当x，y为自然数时，和均为非负整数． 由为整数可知a为整数． 又且， 即且， 解得． 故整数a可取0或1．所以a的值不唯一，故④错误； ⑤ 由得， 即， ∴， ∵，， ∴， 解得，故⑤错误． 综上，正确的是①③． 21．(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， ， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， , 将，得， ， 解得， 将代入②，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 22．(1)第一步开始出现错误，正确的解答过程见解析 (2) 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下 ： ， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：将代入得 原式 ． 23．精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元 【详解】解：设精品大果礼盒每件售价为x元，优级中果礼盒每件售价为y元．   根据题意，得 解得 答：精品大果礼盒每件售价为108元，优级中果礼盒每件售价为88元． 24．(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 25． 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或； （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或． 26．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：对于方程组 令 则原方程组可化为 整理得 解得 因此 解得 （2）解：已知方程组的解为 将两边同时除以，得 因此 解得 （3）解：由新运算定义和已知条件，得 要求 得 得 整理得即 $