第10章二元一次方程组 单元同步练习题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 2．已知二元一次方程组，方程①减去②，得（ ） A． B． C． D． 3．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于，的二元一次方程组给出下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．都不正确 5．购买甲、乙两种笔记本共用50元．若甲种笔记本单价为4元，乙种笔记本单价为6元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购买笔记本的方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6．今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢，有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢，问：燕、雀各几何（《选自《张丘建算经》）古时，1斤等于16两，1两等于24铢，则题目大意为：1只雀重33铢，1只燕重29铢，雀和燕一共有25只，共重781株，燕、雀各有多少只？设雀有只，燕有只，则下列方程组正确的是（    ） A．B．C．D． 7．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知方程，若用含的代数式表示，则__________． 9．若单项式与是同类项，则_____． 10．若实数a，b，c满足且，则_______． 11．若规定，若，，则的值是_____． 12．观察下列表格，写出方程组的解是______． … -1 2 5 8 11 … … -19 -12 -5 2 9 … … -1 2 5 8 11 … … -70 -46 -22 2 26 … 13．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 14．如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______． 三、解答题 15．解方程组： (1)； (2)； (3)． 16．已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 17．甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 18．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 19．阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 20．解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 参考答案 1．B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 【详解】解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 2．D 【分析】按照题目要求对两个方程做减法运算，化简后即可得到结果． 【详解】解：方程①减去②，得， 去括号，得， 合并，得． 3．C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 4．C 【分析】先解方程组得到解为，，然后逐一验证两个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； ∴①②都正确． 5．A 【分析】设甲、乙两种笔记本的购买数量，根据总费用列出二元一次方程，结合x、y为正整数，且甲数量是乙的整数倍，利用整除性确定符合条件的方案数． 【详解】解：设购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 根据题意得 ， 整理得 ，变形得 ， ∵、均为正整数， ∴， ∴， 又∵为偶数，是奇数， ∴为奇数，的可能取值为， ∵甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，即为正整数， 分别验证： 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； 当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合； ∴符合条件的方案共种． 6．A 【分析】根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，依次列出方程即可得到正确方程组． 【详解】设雀有只，燕有只， ∵雀和燕一共有只， ∴可得第一个方程：， ∵只雀重铢，只燕重铢，总重量为铢， ∴只雀的总重量为，只燕的总重量为，可得第二个方程：， 因此所列方程组为，对应选项A． 7．B 【分析】由图形可看出：小长方形的个长一个宽，小长方形的个宽一个长，设出长和宽，列出方程组即可得答案． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为． 8． 【分析】将含的项移到方程的右边，再两边除以即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 9． 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 10．60 【分析】已知两个含a，b，c的等式，利用消元法消去未知数，得到与的关系式，再变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：由题意得： 得：， ． 11． 【分析】由题意可得，解二元一次方程组得出，，先计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：∵规定，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 12． 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，只需从表格中找出同时满足两个方程的公共解，即可得到方程组的解． 【详解】解：观察表格可知，，同时满足方程和，是两个方程的公共解， ∴原方程组的解为 13． 2 【分析】对于甲的方案，因为设客房有间，根据“每间住7人多7人”可得客人总数为，根据“每间住9人空一间”可得客人总数为，如果这两个表达式都表示客人总数，那么可列出等式，据此判断甲的方程是否正确． 对于乙的方案，因为设客人有人，根据“每间住7人多7人”可得客房数为，根据“每间住9人空一间”可得客房数为，如果乙的等式中客房数的表达式符合题意，那么判断乙的方程是否正确． 对于丙的方案，因为设客房间、客人人，根据“每间住7人多7人”可列，根据“每间住9人空一间”即住满的房间共间，客人总数为，变形可得，如果这两个方程符合等量关系，那么判断丙的方程组是否正确． 最后统计正确方案的个数． 【详解】解：甲：设客房有间，根据总人数相等列方程， 每间住人，总人数为，每间住人，空出间，总人数为，因此，甲正确. 乙：设客人有人，根据客房数量相等列方程， 每间住人，人无房住，客房数量为，每间住人，空出间，客房数量为，因此方程应为，乙所列方程错误，乙不正确. 丙：设客房有间，客人有人，根据题意可得， 由一房七客多七客，得，即， 由一房九客一房空，得，整理得， 因此方程组正确，丙正确. 综上，甲丙两人正确，正确的个数为. 14． 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形和题意列出方程组求出的值，进而即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得， ∴一个小长方形的面积为． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 将①代入②，得： ， 解得：， 将代入①，得：， 所以原方程组的解是 （2）解：， 把代入②，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为； （3）解：原方程组可化为 ，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为． 16． 【分析】由得：，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 17．2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 18．(1) (2)5 【分析】（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出； （2）先把代入得，，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴联立得，， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入，， ∴，， 把上式两式相加得， ∴． 19．(1) (2)10 【分析】（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 20．(1)甲型挖掘机需租用6台，乙型挖掘机需租用3台. (2)共有3种租用方案：方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台；方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台. 租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； (3) 【分析】（1）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租用方案； （3）求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意列出关于，的二元一次方程组与w的关系，解之可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台； （2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； （3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元． 学科网（北京）股份有限公司 $