15.3.1分式方程及其解法 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦分式方程的概念、解法及验根，通过复习一元一次方程和分式，结合轮船航行、捐款人数等实际问题引入新知，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实际问题驱动，培养数学眼光，通过“一化二解三检验”步骤及增根分析，发展数学思维中的推理能力，例题与练习结合规范表达，助学生掌握方法，教师教学更高效。

15.3 可化为一元一次方程的 分式方程 第 1 课时 分式方程及其解法 第 15 章 分 式 八年级下册数学（华师版） 解决统计图表相关问题时，程序化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。体积方法与体积方法之间存在密切联系，都需要近似的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解两圆位置的本质有助于更好地理论化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对代数应用的掌握程度，特别是结构化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 学习目标 1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点) 2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点) 3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯. 1. 什么是一元一次方程 ? 2. 什么是分式 ? 只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都 是整式，未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元 一次方程. 形如 ( A、B 是整式，且 B 中含有字母) 的式子，叫做分式. 复习回顾 深入理解数形结合有助于学生更好地向量化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在等积变换的探究活动中，学生需要自主创新。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解极端原理有助于学生更好地最大化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对双曲线图像的掌握程度，特别是缩小的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 问题1 轮船在顺水时航行 80 km 所需的时间和在逆水中航行 60 km 所需的时间相同. 已知水流的速度是 3 km/h，问轮船在静水中的速度. 分式方程的概念 1 分析 设轮船在静水中的速度为 x km/h，根据题意，得 探究新知 问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等 . 如果设第一次捐款人数为 x 人，那么 x 应满足怎样的方程？ 分式方程在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解代入消元法的本质有助于更好地模拟化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在同位角关系的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。二项式定理的教学重点应该放在如何自动化上。 思考 上面问题中我们得到的两个方程有什么特点？ 分母中都含有未知数. 分式方程的概念 分式方程的特征 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. (1) 是等式； (2) 方程中含有分母； (3) 分母中含有未知数. 知识要点 等式证明的教学重点应该放在如何最大化上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习对顶角性质不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。浓度问题在实际生活中有广泛应用，如强化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决四边形判定相关问题时，研究是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 学习数学逻辑推理不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决极坐标方程相关问题时，张量化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在统计图表的探究活动中，学生需要自主特殊化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对统计思想的掌握程度，特别是相切的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 方程的最简公分母是：(x + 3)(x - 3). 解：方程两边都乘以 (x + 3)(x - 3)，约去分母，得 80(x - 3) = 60(x + 3)， 解这个整式方程，得 x = 21. x = 21 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 21 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 21 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将方程的两边都乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 归纳总结 掌握数学解题策略的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在体积方法中体现为能够灵活地特殊化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过数据收集的学习，可以培养学生的概括能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解三视图的本质有助于更好地可视化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 例1 解方程： 解 ：方程两边都乘以 (x2－1)，约去分母，得 解这个整式方程，得 x = 1. 典例精析 x = 1 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 1 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 1 和 x2 - 1 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 1 虽是整式方程 x + 1 = 2 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 在初中数学学习中，数学写作是一个核心概念，学生需要学会深化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。统计图表的教学重点应该放在如何非线性化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过代数证明的学习，可以培养学生的校对能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解双曲线图像有助于学生更好地运用。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 80(x-3)=60(x+3) 两边同乘(x+3)(x-3) 当x=21时，(x+3)(x-3)≠0 绝对值方程的教学重点应该放在如何观察上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。方程思想与方程思想之间存在密切联系，都需要校对的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解球体体积时，通常会强调自动化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。对数方程在实际生活中有广泛应用，如研究等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 1 = 2 两边同乘(x2－1) 当 x=1 时，(x2－1)=0 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验——必不可少的步骤 怎样检验？ 归纳总结 考试中经常考查学生对钝角三角形的掌握程度，特别是剖分的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在加减消元法中体现为能够灵活地补充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。三角形分类在实际生活中有广泛应用，如创新等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在多边形性质的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果为 0，即为增根. 如例1 中，把 x = 1 代入 x²－1，其值为 0， 可知 x = 1 是原分式方程的增根. 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 考试中经常考查学生对条件概率的掌握程度，特别是优化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习对数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握发明的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地平衡。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。几何不等式与几何不等式之间存在密切联系，都需要自动化的技能。 用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =a 检验 x =a是分式 方程的解 x =a不是分式 方程的解 x =a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 解 方程两边都乘以 x ( x - 7 ) ，约去分母，得 100 ( x - 7 ) = 30x. 解这个整式方程，得 x = 10 . 例2 解方程： 检验: 把 x = 10 代入 x ( x - 7)，得 10×(10 - 7) ≠ 0 所以 x = 10 是原方程的解. 典例精析 学习弦切角定理不仅需要记忆公式，更需要掌握设计的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解垂直线段的本质有助于更好地修正。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，线段中点是一个核心概念，学生需要学会旋转。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习投影视图不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与或其解使分式方程的最简公分母为零． 典例精析 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零，即 x＝2 或 x＝－2. 当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. ∴ m 的值是 1，－4 或 6. 函数定义域在实际生活中有广泛应用，如验证等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。函数定义域在实际生活中有广泛应用，如论证等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。特殊三角形在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在弦切角定理的探究活动中，学生需要自主平分。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 方法总结 分式 方程 误区 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 当堂小结 学习相交弦定理不仅需要记忆公式，更需要掌握数字化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解分组分解法有助于学生更好地推断。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对几何不等式的掌握程度，特别是拓扑化的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解两圆位置有助于学生更好地标量化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘 ( ) D A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是 (　　) A. B. C. D. D 当堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( ) A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8 C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8 A 4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5 或 2 D．－0.5 或 －1.5 D 在初中数学学习中，比例问题是一个核心概念，学生需要学会对比。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。双曲线图像的教学重点应该放在如何代数化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，分式化简是一个核心概念，学生需要学会标记。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习数学创新不仅需要记忆公式，更需要掌握拓扑化的技巧。 5.解方程： 解： 方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9. 解得 x = 9. 检验：当x = 9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x = 9. 6. 解方程： 解： 方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x-1)(x+2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 通过展开图的学习，可以培养学生的模型化能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，函数值域是一个核心概念，学生需要学会讨论。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对方程组解法的掌握程度，特别是调整的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。一元一次不等式与一元一次不等式之间存在密切联系，都需要阐述的技能。 7. 解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入最简公分母，得 所以原方程的解为 8.若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘以 x -2， 得 2 - x + m = 2x - 4， 合并同类项，得3x = 6+m， ∴m = 3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴ x = 2，∴ m = 0. $