精品解析：河南驻马店市泌阳中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，那么向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设内角，，的对边分别为，，，且，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图所示，已知在中，D是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正六边形中，若，则 （ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 10. 对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将1920°转化为弧度数为__________． 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则______.（结果用数值表示） 14. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设k为实数，若向量，，. （1）若与垂直，求k的值； （2）当k为何值时，A，B，C三点共线. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时x的值. 17. 如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 （1）求的值 （2）若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 18. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向. （1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. （2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） （3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 19. 在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，. ①求边b的值； ②若的平分线交于点D，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，那么向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】向量，，. 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 3. 设内角，，的对边分别为，，，且，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据大边对大角判断角B范围，再直接利用正弦定理求解即可． 【详解】∵，，，∴，，即. 由正弦定理，得， ∴， 故选：A． 4. 如图所示，已知在中，D是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据D为AB中点进行向量转化即可 【详解】，因为D为AB中点，所以，即. 5. 如图，在正六边形中，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据图知，，. 则 ， 所以. 故选：B. 6. 若向量， 满足：，，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和夹角公式，即可求解. 【详解】由 可得， 所以， 因 ,所以， 所以与的夹角是. 7. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦、余弦以及正切函数的周期以及单调性求解即可. 【详解】选项A.的最小正周期为，不符. 选项B.的最小正周期为 ，但当 时， ， 在 上单调递增，因此 在区间内单调递增，不符. 选项C. ，周期 ，不符合. 选项D. ， 是将轴下方部分翻折到上方，最小正周期为. 当 时， ，在上单调递减，因此 在区间内单调递减，符合. 8. 在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于 ，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 10. 对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线，向量的模，数量线性运算法则依次判断各选项. 【详解】连接，记其交点为， 因为四边形为菱形，所以 设，则， 因为，方向相同，大小相等，所以，A正确； 因为不一定相等，所以B错误； 因为，， 所以，， 所以，C错误； 因为， 所以，D正确； 故选：AD. 11. 记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形的边角关系以及正余弦定理依次判断即可. 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设，，，则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，在中，，则，因此，即为等腰三角形，故C正确； 对于D， ，得，故，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将1920°转化为弧度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由角度制化为弧度制公式求解． 【详解】解：， 故答案为： 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则______.（结果用数值表示） 【答案】18 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 所以 14. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据与 的夹角为锐角，由，且与 不共线解不等式求解. 【详解】因为， 所以， 因为与 的夹角为锐角， 所以，且与 不共线， 所以，且， 解得且. 故答案为：且. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设k为实数，若向量，，. （1）若与垂直，求k的值； （2）当k为何值时，A，B，C三点共线. 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据向量共线定理求解即可. 【小问1详解】 由与垂直，， . . 【小问2详解】 由题意可得：， ， 若A，B，C三点共线，则， 可得，解得或. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时x的值. 【答案】（1），； （2）时，函数取最大值，时，函数取最小值 【解析】 【分析】（1）先根据正弦函数递减区间列出的范围，解出的单调递减区间. （2）通过代入平移得到解析式，由的取值范围求出整体角的范围，结合正弦函数在该区间的最值，求出的最大值与最小值. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦函数的单调性分析，得到，， 解得，， 因此函数的单调递减区间为，； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ， 当时，， 当时，即时，函数取最大值， 当时，即时，函数取， 当时，即时，函数取. 所以当时，即时，函数取最小值. 17. 如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 （1）求的值 （2）若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，再根据向量数量积求解即可. （2）用表示，再根据向量数量积以及二次函数的最值求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，， 则， ， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为点M为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 18. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向. （1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. （2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） （3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】（1）左侧，理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可. （2）利用沿河岸方向的分速度大小等于 ，再求出夹角的余弦及航行时间. （3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解. 【小问1详解】 由题设，在反方向上的分速度为 ， 所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧. 【小问2详解】 要能到达处，则在反方向上的分速度为 ， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为 ， 所以当时，游船能到达处，用时 . 【小问3详解】 由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为 ，则航行时间为 ， 因此水平方向航行距离 ， 所以游船航行到达北岸的实际航程 . 19. 在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，. ①求边b的值； ②若的平分线交于点D，求的长. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可. （2）①根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. ②根据等面积以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 ①由余弦定理可得， 又，可得，可得， 又， 所以，则； ②由题意， 即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $