2026年中考数学三轮冲刺17：二次函数中平移、旋转、翻折综合问题（全国通用）

**基本信息** 聚焦二次函数平移、旋转、翻折三大变换，以顶点式分析、关键点坐标变换、轴对称为核心方法，构建从单一变换到复合综合的递进训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移变换|含2026西安模拟题等|顶点式“左加右减、上加下减”规律，分步平移法则|从坐标平移到解析式重建，基础变换到动态情境应用| |旋转变换|含2026贵州遵义一模等|特殊角坐标变换（90°/180°），一般角构造全等/相似求坐标|从旋转中心/角度分析到图形位置分类讨论，结合几何性质建模| |翻折变换|含2026上海一模等|轴对称性质，x/y轴翻折顶点坐标与a值变换规律|从对称点坐标求解到翻折后重叠/交点问题，强化数形结合|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺17:二次函数中平移、旋转、翻折综合问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 二次函数变换综合题是中考压轴高频题型，多见于解答压轴，分值 8—12 分，难度偏高，是高分段分水岭。核心失分点：变换后坐标求错、解析式重建混乱、图形位置漏讨论、变换性质用错、数形结合不熟练。 2、 考点聚焦 围绕二次函数平移变换→旋转变换→翻折变换→单变换解析式求法→双变换综合→变换后交点 / 面积 / 存在性六大核心模块，平移、旋转、翻折综合是近年压轴热点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 情境动态化，常结合动点、动线、图形重叠；由单一变换转向平移 + 旋转、旋转 + 翻折复合考查；跨模块融合，常与等腰、直角、相似、圆结合；新增参数变换、变换后最值、存在性探究，强调空间想象与逻辑推理。 4、 地域差异 一线城市侧重复合变换、多情况讨论、参数探究、图形重叠；三四线城市侧重基础平移、简单旋转、单次翻折、坐标与解析式，全国遵循 “重变换、重坐标、重建模、重讨论” 命题原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、二次函数平移变换综合 具体解决方法： 用顶点式分析：设原函数为y = a(x - h)2 + k，平移后顶点为(h', k')，则新解析式为y = a(x - h')2 + k'。 记平移规律：左右平移变h（左加右减），上下平移变k（上加下减）。如向右移m个单位，得y = a(x - h - m)2 + k。 分步平移：先左右再上下，或反之，结果一致。 （2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（   ）例题 A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限 C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则 题型二、二次函数旋转变换综合 具体解决方法： 旋转中心、角度、方向是关键，优先求关键点旋转后坐标； 特殊角（90°/180°）：用坐标旋转规律（横纵坐标互换、变号）；绕原点转180°：顶点(h,k)变(-h,-k)，a变-a，解析式为y = -a(x + h)2 - k；绕顶点转180°：顶点不变，开口反向，解析式为y = -a(x - h)2 + k。 一般角度：构造全等 / 相似三角形，利用几何性质求坐标； 重建解析式：代入旋转后两点，求二次函数表达式； 旋转后图形：分析形状、位置，分类讨论避免漏解。 （2026·贵州遵义·一模）【活动主题】例题 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 题型三、二次函数翻折变换综合 具体解决方法： 翻折本质是轴对称，对称轴为折痕，对应点连线垂直对称轴； 沿坐标轴 / 直线翻折：求顶点、与坐标轴交点的对称点坐标； x轴翻折：顶点(h,k)变(h,-k)，开口反向（a变-a），解析式为y=-a(x-h)2-k。 y轴翻折：顶点变(-h,k)，开口不变，解析式为y=a(x+h)2 +k。 翻折后解析式：代入对称点，结合开口方向、形状不变求解； 翻折后重叠 / 交点：画示意图，找临界位置，列方程求解。 （2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则__________．例题 经典模拟题 1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 2．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，是上一动点（不含两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点．使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接．则以下结论中错误的是（    ） A．线段长度的最小值为 B．四边形的面积最大值为10 C．当时， D．当为中点时，是线段的垂直平分线 6．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 7．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）． (1)若抛物线经过，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 8．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式． (2)若点，均在抛物线上，且，求t的值． (3)线段两端点的坐标为，，若抛物线向上平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 9．（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 10．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 真题再现 1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 5．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 6．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 7．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 8．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 9．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺17:二次函数中平移、旋转、翻折综合问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 二次函数变换综合题是中考压轴高频题型，多见于解答压轴，分值 8—12 分，难度偏高，是高分段分水岭。核心失分点：变换后坐标求错、解析式重建混乱、图形位置漏讨论、变换性质用错、数形结合不熟练。 2、 考点聚焦 围绕二次函数平移变换→旋转变换→翻折变换→单变换解析式求法→双变换综合→变换后交点 / 面积 / 存在性六大核心模块，平移、旋转、翻折综合是近年压轴热点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 情境动态化，常结合动点、动线、图形重叠；由单一变换转向平移 + 旋转、旋转 + 翻折复合考查；跨模块融合，常与等腰、直角、相似、圆结合；新增参数变换、变换后最值、存在性探究，强调空间想象与逻辑推理。 4、 地域差异 一线城市侧重复合变换、多情况讨论、参数探究、图形重叠；三四线城市侧重基础平移、简单旋转、单次翻折、坐标与解析式，全国遵循 “重变换、重坐标、重建模、重讨论” 命题原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、二次函数平移变换综合 具体解决方法： 用顶点式分析：设原函数为y = a(x - h)2 + k，平移后顶点为(h', k')，则新解析式为y = a(x - h')2 + k'。 记平移规律：左右平移变h（左加右减），上下平移变k（上加下减）。如向右移m个单位，得y = a(x - h - m)2 + k。 分步平移：先左右再上下，或反之，结果一致。 （2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象向右平移3个单位后经过坐标原点，点，在该函数图象上，则下列关于该二次函数的说法错误的是（   ）例题 A．对称轴为直线 B．顶点在第二象限 C．与直线的交点横坐标是和0 D．若，则 【答案】D 【详解】 已知原二次函数 ，向右平移3个单位后得到 ， 平移后过原点，代入得 ， ∴， ∴原二次函数可整理为 ． 选项A：由顶点式可知对称轴为直线 ，说法正确； 选项B：顶点坐标为 ，因为，则，所以顶点在第二象限，说法正确； 选项C：令 ，整理得 ，解得 或 ，交点横坐标为和，说法正确； 选项D：，开口向下，点离对称轴越远，函数值越小．已知，因此离对称轴更远，所以； 综上，说法错误的是． 题型二、二次函数旋转变换综合 具体解决方法： 旋转中心、角度、方向是关键，优先求关键点旋转后坐标； 特殊角（90°/180°）：用坐标旋转规律（横纵坐标互换、变号）；绕原点转180°：顶点(h,k)变(-h,-k)，a变-a，解析式为y = -a(x + h)2 - k；绕顶点转180°：顶点不变，开口反向，解析式为y = -a(x - h)2 + k。 一般角度：构造全等 / 相似三角形，利用几何性质求坐标； 重建解析式：代入旋转后两点，求二次函数表达式； 旋转后图形：分析形状、位置，分类讨论避免漏解。 （2026·贵州遵义·一模）【活动主题】例题 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)能 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； （3）解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． 题型三、二次函数翻折变换综合 具体解决方法： 翻折本质是轴对称，对称轴为折痕，对应点连线垂直对称轴； 沿坐标轴 / 直线翻折：求顶点、与坐标轴交点的对称点坐标； x轴翻折：顶点(h,k)变(h,-k)，开口反向（a变-a），解析式为y=-a(x-h)2-k。 y轴翻折：顶点变(-h,k)，开口不变，解析式为y=a(x+h)2 +k。 翻折后解析式：代入对称点，结合开口方向、形状不变求解； 翻折后重叠 / 交点：画示意图，找临界位置，列方程求解。 （2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则__________．例题 【答案】8 【详解】解：原函数为，关于轴翻折后，函数变为， 再向上平移2个单位，得平移后的函数为， 联立原函数与平移后的函数：，整理得 ， 即， 设交点的横坐标为和，则根据根与系数的关系，有，， 交点距离为， 由题意，，两边平方得，所以． 故答案为：8． 经典模拟题 1．（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【详解】解∶将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到新二次函数为，即， 由表可得，当时，；当时，， ∴，解得， ∴新二次函数为． ∴其图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，． 综上所述，选项A、B、D正确，选项C错误． 2．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴的对称轴为直线， ∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称， ∴，整理得； 而的值不确定，因此只有B选项正确． 3．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为：， ∴平移后抛物线顶点坐标为，且二次项系数为，开口向下， ∵抛物线绕原点旋转后，抛物线形状不变，开口方向向上，顶点坐标关于原点对称， ∴旋转后抛物线的二次项系数由变为，顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的表达式为． 4．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 令，解得或， ∴原函数与轴两交点为和，两交点间距离为，即四边形的一条对角线长为． 对原二次函数配方，得， ∴原函数顶点坐标为， ∵图象沿轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号， ∴翻折后顶点坐标为， ∴两顶点之间的距离为，即四边形的另一条对角线长为． ∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等， ∴， 解得． 5．（2026·安徽·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，是上一动点（不含两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点．使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接．则以下结论中错误的是（    ） A．线段长度的最小值为 B．四边形的面积最大值为10 C．当时， D．当为中点时，是线段的垂直平分线 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵，， ∴当时，最大，最大值为1，此时最小，最小值为3， 由勾股定理得，， ∴线段长度的最小值为5，A正确，故不符合题意； ∵， ∴当最大时，四边形的面积最大，最大值为，B正确，故不符合题意； 由折叠的性质可知，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴，C正确，故不符合题意； 当P为中点时，则， 由③可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴，即不是的中点， ∴不是线段的垂直平分线，D错误，故符合题意； 故选：D． 6．（2026·福建南平·一模）抛物线过点，，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线上有两点，，使得一定成立，则a的取值范围为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线过点，，且P、Q是两个不同交点， ∴，且， ∴其对称轴为： ∵抛物线向上平移2个单位得到，对称轴不变， ∴的对称轴仍为． ∵，，两点到对称轴的距离分别为： 当时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使恒成立，需，即： 解得或， 即或． ∵ ∴． 当时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使恒成立，需， 即： 解得，即． ∵， ∴． 综合两种情况可得：a的取值范围为：或． 7．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）． (1)若抛物线经过，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①解：将，代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为， 该抛物线的顶点坐标为． ②解：根据题意可知，向下平移个单位得到的新抛物线的解析式为， 将点代入，得，即， ， 当时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 的取值范围为． （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， ， 即当时，；当时，， 代入抛物线得， 解得或（不合题意舍去）， 该抛物线的解析式为． 8．（2026·安徽芜湖·二模）已知抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式． (2)若点，均在抛物线上，且，求t的值． (3)线段两端点的坐标为，，若抛物线向上平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于， 解得 ． （2）解：根据题意，得，， ， 或， 解得或． （3）解：由已知． 则抛物线向上平移h个单位长度后的表达式为： ， 平移后的抛物线的顶点坐标为． ①当抛物线的顶点落在线段上时，，解得； ②当抛物线经过点时，， 解得， ③当抛物线经过时，， 解得， 时，满足题意． 综上所述，h的取值范围是或． 9．（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为或；② 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 情况1：对称轴在区间左侧：时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 情况2：对称轴在区间内， 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 情况3：对称轴在区间右侧：时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为或； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 10．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①平移次数为3；② (3) 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； （3）解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 真题再现 1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 3．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 5．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 6．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3） 解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，∴， 由翻折得， ∵．∴，∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 7．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）①           ② 【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是． 8．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 9．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 10．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，这两个交点之间的距离为 【详解】（1）解：依题意，分别把代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴， 故， 分别过点E、D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴； 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； （3）解：存在，过程如下： 由（2）得， 整理 ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结． 如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 即 ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴， 令， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令则， ∴， 即， ∴， 则， ∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为． 2 1 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